初中数学九年级微专项3+4：相似图形模型与手拉手模型探究【教案】

初中数学九年级微专项3+4：相似图形模型与手拉手模型探究【教案】

一、教学内容分析

本节课为初中数学九年级一轮复习中的微专项整合课，内容聚焦于“三类基本相似图形”与“手拉手模型”的深度辨析与综合应用。在《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形与几何”领域中，本节课隶属于“图形的相似”与“图形的旋转”主题，是对三角形全等、相似三角形判定与性质、旋转变换等核心知识的升华与建模。从知识体系上看，它上承全等三角形中的“手拉手”模型，将其从全等推广至更一般的相似情形；下启“隐形圆”、最值问题等中考压轴题的综合分析。其核心价值在于帮助学生从运动与变换的观点理解几何图形，掌握识别复杂图形中基本结构的能力，体验从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，最终达成培养几何直观、推理能力与模型观念的核心素养目标。

二、学情分析

学生已经系统学习了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及图形的平移、旋转、轴对称等变换。他们对“手拉手”模型在全等三角形中的应用已有初步认知，能够解决一些简单的、直接呈现模型的题目。然而，面对复杂几何图形时，学生普遍存在以下障碍：一是无法从纷繁的线条中剥离出核心的“手拉手”结构，即模型识别困难；二是当图形从全等变为相似，或从静态变为动态时，难以把握其中变与不变的关系，特别是旋转角与对应边比例的关系；三是缺乏主动构造基本模型来解决未知问题的意识和能力，即逆向建模思维薄弱。因此，本节课旨在通过系统梳理与变式探究，帮助学生突破这些难点。

三、教学目标

（一）知识与技能目标

学生能准确识别并命名“手拉手”模型的三类基本相似图形（以等边三角形、等腰直角三角形、一般等腰三角形为载体的旋转相似）。能熟练写出由该模型推导出的对应角相等、对应边成比例的结论。能运用该模型解决线段求值、角度计算及简单的证明问题。

（二）过程与方法目标

通过观察、类比、归纳，经历从全等到相似的“手拉手”模型建构过程，体会图形变换在几何问题中的桥梁作用。在解决复杂图形问题的过程中，学生能运用分离法、标注法等策略，将复杂图形分解为基本模型，提升分析问题与解决问题的能力。

（三）情感态度与价值观目标

在小组合作探究中，学生敢于对复杂图形进行大胆猜想与小心求证，体验战胜挑战、化繁为简的成功感，进一步增强学习几何的信心。

四、教学重点与难点

（一）【教学重点】【高频考点】

“手拉手”模型中三类基本相似图形的结构特征与核心结论。包括：公共顶点的识别；旋转前后的对应边及其夹角；由原始三角形相似所衍生出的新一对三角形相似。

（二）【教学难点】【难点】

在动态背景或复杂图形中主动构造“手拉手”相似模型。特别是在图形不完整或条件隐含时，如何添加辅助线以生成一对共顶点的旋转相似三角形，进而实现线段或角的转化。

五、教学准备

教师需准备几何画板或GeoGebra动态课件，用于动态演示图形旋转过程中不变的关系；印制探究学习任务单，包含三个微专项的探究问题与阶梯式练习题；准备实物投影仪，用于展示学生的典型解法与作图过程。

六、核心环节——教学实施过程

（一）唤醒经验，引入主题（约5分钟）

教师首先在大屏幕上展示一组生活中的“手拉手”图片，并提问：“在几何世界里，当两个图形‘手拉手’时，它们会发生什么有趣的故事？”引导学生回顾八年级学习过的全等三角形中的“手拉手”模型。教师利用几何画板快速复现一个经典场景：两个等边三角形共顶点旋转，连接对应点后形成一对全等三角形。师生共同回顾核心结论：不仅有△ABD≌△ACE，还有线段BD=CE以及它们的夹角等于旋转角（即∠BFC=∠BAC）。【基础】教师顺势指出，当这对“手拉手”的三角形不再是全等，而是相似时，又会诞生怎样的结论？从而引出本节课的主题，并板书优化后的课题。

（二）微专项3探究：三类基本相似图形建构（约20分钟）

本环节将采用“观察—猜想—验证—归纳”的探究路径，分三个层级依次推进，每个层级都对应一类核心图形。

第一层级：【重要】等边三角形中的旋转相似

教师出示任务单上的探究1：已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点B、C、E不一定共线，连接AD和BE，交于点F。请问图中有相似三角形吗？

学生以小组为单位展开讨论。教师巡视，引导学生关注两个原始等边三角形提供的边角条件（AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°）。教师启发：“当两个等边三角形共顶点C时，如果把它们看作一个整体，发生了怎样的变换？”学生经过思考会发现，△BCE可以看作是由△ACD绕点C逆时针旋转60°得到的。教师追问：“既然是旋转，那么除了全等关系（△BCE≌△ACD）外，是否存在相似关系？”在教师引导下，学生能够指出，由于旋转角相等，即∠BCE=∠ACD，且对应边成比例（BC:AC=CE:CD=1:1），实际上这个比例是1，所以全等是相似的特例。此时，教师利用几何画板改变等边三角形的大小，使两个等边三角形边长不相等，图形变为一大一小两个等边三角形共顶点。让学生再次观察△BCE与△ACD的关系。学生惊喜地发现，虽然△BCE与△ACD不再全等，但它们依然是相似的！【重要】教师引导学生用规范的数学语言表述：因为∠BCE=∠ACD（都等于旋转角60°加上或减去公共角），且BC:AC=CE:CD（都等于两个等边三角形的边长比），所以△BCE∽△ACD。师生共同归纳核心结论1：共顶点的两个等边三角形，无论大小，连接对应点所得的新三角形相似。同时，两条连线段BE和AD的夹角也始终等于旋转角60°。这一发现打破了学生“手拉手必全等”的思维定式。

第二层级：【重要】等腰直角三角形中的旋转相似

教师利用几何画板将图形从等边三角形替换为等腰直角三角形，即△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点A为公共顶点。教师提出探究任务2：此时，连接BD和CE，是否依然存在相似三角形？若有，请指出并说明理由。

学生类比上一环节的经验，尝试寻找旋转关系。他们很快发现，△ABD绕点A逆时针旋转90°可以得到△ACE，因此△ABD≌△ACE（因为AB=AC，AD=AE）。教师适时介入，再次调整动态图形：让两个等腰直角三角形的直角边不再相等，即改变它们的大小，但保持形状相同（相似）。此时，△ABC∽△ADE。教师提问：“在新的图形中，△ABD与△ACE还全等吗？如果不全等，它们还会相似吗？”这一问题具有挑战性，小组内展开热烈讨论。教师走到学生中间，提示学生关注旋转前后边的比例关系。经过讨论与尝试，学生能够发现：在旋转过程中，∠BAD=∠CAE（都等于90°加上∠CAD），而AB:AC=AD:AE（都等于两个等腰直角三角形的腰长比），因此△ABD∽△ACE。【非常重要】这一结论的得出，标志着学生初步建立了“手拉手相似”的模型观念。教师引导学生对比两个层级的图形特征，总结出它们的共性：两个相似的等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）共顶角顶点，绕该顶点旋转任意角，都会产生一对新的相似三角形，这对新三角形的对应边就是“拉手”的线段。

第三层级：【基础】任意相似三角形的推广

教师鼓励学生思维再进一步：刚才的探究都是基于等腰三角形，如果两个相似的任意三角形共顶点旋转，是否仍有类似的结论？教师用几何画板展示一般情况：△ABC∽△ADE，且它们有一个公共顶点A。连接BD和CE。请学生判断△ABD与△ACE是否相似。学生通过测量角度和计算边长比例发现，这一结论依然成立！其本质在于，由△ABC∽△ADE可得AB:AC=AD:AE，且∠BAC=∠DAE，等式两边同时加上∠CAD，即可得到∠BAD=∠CAE，满足了“两边成比例且夹角相等”的判定条件。至此，教师引导学生用文字语言归纳出“手拉手相似模型”的核心本质：【核心模型】两个相似三角形共顶点旋转，则以该顶点为顶点的两对对应边所构成的三角形（即“拉手”后形成的两个三角形）也相似。用符号语言表达：若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE。

（三）微专项4探究：从复杂图形中辨识与构造模型（约25分钟）

本环节旨在通过典型例题，训练学生在复杂图形中迅速锁定基本模型的能力，这是应对中考综合题的关键一步。

例题1：【高频考点】基础辨识

教师出示问题1：如图，在△ABC和△BDE中，点B是公共顶点，且满足AB:CB=EB:DB，∠ABC=∠EBD。连接AE、CD。求证：△ABE∽△CBD。

学生独立审题，尝试在图中寻找“手拉手”的结构。教师请一位学生上台，用不同颜色的粉笔描出两个原始相似三角形（△ABC和△EBD），并指出公共顶点B。然后，让学生找到“拉手”后形成的两个三角形△ABE和△CBD。根据刚刚归纳的模型，学生能够迅速写出证明过程。教师强调：模型的应用前提是准确识别“两个共顶点的相似三角形”，这是解题的第一步，也是最重要的一步。

例题2：【重要】【难点】模型构造

教师出示问题2：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC。求证：BC+CD=AC。

此题图形中没有现成的“手拉手”模型，学生初次接触感到无从下手。教师引导学生分析条件：AB=AD且夹角为60°，这提示我们可以构造一个等边三角形。而∠BCD=120°，其补角为60°。这为旋转创造了条件。教师引导学生思考：我们能否通过旋转变换，将分散的线段BC和CD聚合到一起？

教师启发：“我们以点A为旋转中心，因为AB=AD，且∠BAD=60°，尝试将△ABC绕点A逆时针旋转60°。”在教师的引导下，学生动手画图，将AB旋转到AD的位置，点C旋转到点E。连接DE和CE。此时，学生惊喜地发现，构造出了一个等边三角形ACE（因为旋转角为60°，且AC=AE）。于是BC=DE，原题要证的BC+CD=AC，就转化为DE+CD=CE。而D、C、E三点是否共线？利用∠BCD=120°和旋转角60°，结合∠ACB=∠AED，通过导角可以证明C、D、E共线。问题迎刃而解。【非常重要】教师总结：当已知条件中出现共顶点的相等线段（或成比例线段）时，可以尝试用旋转构造“手拉手”模型，将分散的条件集中到同一个三角形中解决。这就是模型思想的逆向应用。

例题3：【难点】【热点】动态最值中的应用

教师出示问题3（改编自云南中考压轴题）：如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，点B(4,0)，点P是线段AB上的一个动点。以P为直角顶点，作等腰Rt△CPD，且∠CPD=90°，PC=PD，连接OC、OD。求线段OC长度的最小值。

这是一个典型的动态几何问题，难度较大。教师首先引导学生分析动点P的运动引发了两条动线段PC和PD的变化。但观察图形，点P、C、D之间虽然有等腰直角三角形的关系，但似乎和已知的定点A、B没有直接联系。

教师引导学生联想本节课的核心模型：“我们能不能把动点P和两个定点A、B通过某种变换联系起来？”考虑到△CPD是等腰直角三角形，且顶点P在动，可以考虑将整个图形绕点P旋转。但P也在动，不好操作。教师换一个角度：“既然有等腰直角三角形，我们能否在定点B处也构造一个等腰直角三角形，使得两个等腰直角三角形形成‘手拉手’？”

经过小组讨论，有学生提出：过点B作BQ垂直于AB，且使BQ=BP，连接PQ。这样，就构造了一个以B为直角顶点的等腰直角三角形BPQ。此时，观察图形：两个等腰直角三角形△BQP和△CPD，它们有公共顶点吗？没有。但它们的顶点P是公共的！【非常重要】学生恍然大悟，原来这里隐藏的“手拉手”结构是△BQP和△CPD，它们共顶点P，且都是等腰直角三角形，因此它们相似。连接B、C，根据手拉手相似模型，必有△BPC∽△QPD。通过这个相似，可以将动态的QC（或OC）与某些定长联系起来。

教师继续引导学生，根据旋转的性质，将△BPC绕点P旋转45°并缩放，可以得到△QPD。进而可以证明CQ的某些性质。最终，通过分析点Q的轨迹（点Q是随着P的运动由旋转而来的，通过分析BQ与BP的数量关系和垂直关系，可以得出Q的轨迹是一条与AB垂直的直线），将求OC的最小值问题转化为点到直线的距离问题。

本例题虽然复杂，但教师通过层层递进的追问，让学生领略到了如何在高阶综合问题中，洞察并构造出“手拉手相似”模型，将复杂的动态问题转化为静态的几何分析。这极大地拓展了学生的思维视野。

（四）归纳总结，提炼思想（约5分钟）

教师引导学生回顾本节课的探究历程，从知识、方法、思想三个层面进行小结。知识层面，学生总结了三类基本相似图形（等边、等腰直角、一般等腰）在“手拉手”模型下的统一结论：两个相似三角形共顶点旋转，则连接对应点形成的两个新三角形相似。方法层面，学生提炼出“识别公共顶点—寻找原始相似—锁定目标相似”的解题三部曲，以及“旋转构造”这一重要的添加辅助线策略。思想层面，教师点明贯穿始终的“从特殊到一般”的归纳思想、“化动为静”的转化思想以及“模型化”的数学建模思想。

七、板书设计

左侧主板书区：呈现“手拉手相似模型”的核心图形（两个共顶点的相似三角形及其连线），并用彩笔标注出已知相似（△ABC∽△ADE）和结论相似（△ABD∽△ACE），以及比例式（AB:AC=AD:AE）。中部区域：记录三个微专项探究的核心结论和典型例题的解题关键步骤。右侧区域：作为“思想方法角”，用精炼的语言记录本节课的核心思想——“识别模型”、“构造旋转”、“转化化归”。

八、作业与拓展

基础巩固题：完成学案中与例题1、2同类型的基础练习题，旨在强化对基本模型的识别与直接应用。

能力提升题：探究在矩形或正方形中是否存在类似“手拉手”相似模型？请尝试构造并写出你的发现。

综合挑战题：尝试用本节课学到的方法，重新审视之前考