初中数学九年级中考第一轮复习第25讲：与圆相关的位置关系教学设计

初中数学九年级中考第一轮复习第25讲：与圆相关的位置关系教学设计

一、教学设计基本信息

（一）课题：与圆相关的位置关系系统整合

（二）学科与学段：初中数学九年级

（三）课时安排：3课时（每课时45分钟，总计135分钟），本设计按三课时连续实施呈现，第一课时聚焦点与圆、直线与圆；第二课时聚焦圆与圆、三角形与圆；第三课时聚焦综合建模与中考真题破译。

（四）课型：中考第一轮专题复习课·大单元整合型

二、教学内容分析

（一）课标定位与学业要求

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7~9年级）图形与几何领域，本讲内容属于“图形的性质”主题下的核心板块。课标要求学生：理解点、直线、圆与圆的位置关系；掌握切线的概念，能判定一条直线是否为圆的切线，掌握切线的性质与判定定理，理解切线长定理；能利用尺规作图过圆上一点作圆的切线；了解三角形的内心、外心；能用正多边形与圆的关系解决简单问题；在问题解决中发展几何直观、推理能力和模型观念。复习课不仅是对知识的再现，更强调结构化建构与迁移应用，指向数学核心素养的进阶。

（二）教材内容解构与重组

现行人教版、北师大版、华师大版等主流教材均将本讲内容分散于九年级上册和下册。中考第一轮复习需打破原教材顺序，以“位置关系”为大概念统摄全讲。核心知识块包括：点与圆（三种位置关系及判定、反证法思想）、直线与圆（相交、相切、相离；切线的性质与判定、切线长定理、弦切角、切割线定理、三角形内切圆）、圆与圆（五种位置关系及其数量特征）、正多边形与圆（等分圆周、中心角、边心距）。复习中需将零散知识点编织为“定性判定—定量刻画—性质应用—建模解决”的能力链条。

（三）学情精准画像

1.知识储备：学生在新授课阶段已初步掌握各类位置关系的定义和简单性质，但概念之间孤立，缺乏系统关联，对“圆心到点的距离d与半径R”“圆心到直线的距离d与R”“圆心距d与R+r、|R-r|”这三组判定系统的内在一致性理解不到位。

2.能力短板：几何推理的严谨性不足，尤其是涉及切线证明时“无交点作垂直、有交点连半径”的规范步骤易遗漏；动态分类讨论思想薄弱，如圆与圆位置关系中圆心距范围与公共点个数的对应关系容易混淆。

3.素养进阶点：本讲是培养几何直观、模型思想、推理能力的绝佳载体。学生需要从“记忆位置关系图像”上升到“用代数不等式描述几何位置关系”，从“单一图形计算”上升到“多圆、多线复合图形的综合分析”。

4.备考特殊性：中考中本讲内容分值占比约8%~12%，通常以选择题、填空题考查基本判定，以解答题压轴题形式考查切线综合计算与存在性问题，属于【高频考点】【热点】【压轴点】。

三、教学目标设定（素养指向、行为化表述）

（一）【非常重要】通过梳理点、直线、圆与圆的位置关系判定方法，自主构建“距离—半径比较”的通用判别体系，形成结构化知识图谱，发展抽象能力与系统思维。

（二）【重要】熟练掌握切线的性质定理、判定定理及切线长定理，能综合运用这些定理进行几何证明与计算，能准确区分内心、外心，并解决与内切圆、外接圆相关的面积、周长最值问题。

（三）【重要】经历动态几何问题的分类讨论过程，会用圆心距与半径和差的关系判断圆与圆的位置关系，并能解决含参数的位置关系逆向求值问题。

（四）【一般】了解反证法的基本思想，理解正多边形与圆的关系，会进行等分圆周、中心角、边心距、半径之间的简单换算。

（五）【难点攻克】在复杂图形中识别基本模型（如双切线模型、弦切角模型、内切圆模型），运用转化思想将陌生问题化归为切线长、相似三角形、三角函数问题，提升几何综合分析与建模能力。

四、教学重点与难点

（一）教学重点

1.点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的判定方法及其内在统一性。【高频考点】

2.切线的性质与判定，切线长定理的应用。【必考核心】

3.三角形内心、外心的性质及其应用。【热点】

（二）教学难点

4.动态变化中位置关系的分类讨论（如含参直线与圆、圆心距变化时交点个数问题）。【难点】

5.切线证明中辅助线的规范添加（“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”的选用情境）。【高频失分点】

6.多个圆或多个切线与三角形、四边形交织的复杂图形分析与计算。【压轴点】

五、教学策略与方法选择

本设计遵循“学为中心、关联建构、问题驱动、变式进阶”的复习理念。

（一）大概念统领策略：以“距离与半径的比较”作为统摄三类位置关系判定的元方法，帮助学生实现知识的结构化。

（二）可视化思维策略：借助几何画板动态演示圆心距、半径变化对位置关系的影响，将抽象不等式具象化。

（三）题组变式策略：以一题多解、一题多变、多题归一的方式，在变式中抓住不变的本质，提升思维的深刻性。

（四）建模归因策略：引导学生归纳常见辅助线模型（如见切点连半径、见共点双切线用切线长等），形成程序性知识。

（五）评价嵌入策略：在每个核心活动后设置微诊断，即时反馈，确保复习效益。

六、教学资源与环境准备

（一）教师用：几何画板动态课件（预置点圆距离变式、直线切圆动态演示、圆与圆位置关系变换）、中考真题汇编（近三年全国典型题）、磁力黑板贴圆模型。

（二）学生用：圆规、三角板、彩色笔、预学任务单（前置梳理位置关系思维导图初稿）、课堂探究记录纸。

七、教学实施过程（核心环节，三课时贯通）

第一课时：点与圆、直线与圆——从离散到连续，从定性到定量

（一）课前预学诊断，锚定起点

学生在前置任务单中独立完成：1.用图形语言和符号语言分别描述点与圆的三种位置关系；2.回顾并写出直线与圆相交、相切、相离时圆心到直线的距离d与半径R的大小关系；3.尝试回忆圆的切线定义。教师收齐预学单，扫描典型错误与创意，课堂首环节精准切入。此环节意在暴露学生原有认知结构中的断点与迷思，为系统重构奠基。

（二）情境唤醒，价值引领

课堂伊始，投影展示一组极具视觉冲击力的图片：日环食过程中月球与太阳视圆面的位置变化、自行车轮盘与链条的啮合、奥运五环标志。教师以问题驱动：“这些生活现象中圆与圆、圆与直线之间呈现出哪些不同的位置关系？你能用数学语言刻画它们吗？”学生自由发言，教师顺势将话题聚焦：“今天起，我们将用三课时彻底理清‘圆与它周围对象’的位置关系，而一切的核心都指向同一个判别标准——距离与半径的比较。”此导入旨在激发“为什么复习”的意义感，并埋下统一性思想的种子。

（三）体系重构：点与圆——判定的源头

【非常重要】【高频考点】

1.师生共建：以平面内一定点O为圆心，定长R为半径作⊙O。任取一点P，连接OP，设OP=d。学生明确：点P在圆外⇔d＞R；点P在圆上⇔d＝R；点P在圆内⇔d＜R。教师强调：这是所有位置关系的“逻辑原点”，无论是直线还是另一个圆，最终都是将对象上某点与圆心距离与R比较，或转化为圆心距与半径和差比较。

2.思维提升：反过来，已知点与圆的位置关系，可以确定d的取值范围。例：若点P不在⊙O外，则d≤R。这是逆向求参数范围的雏形。

3.反证法思想渗透（一般要求）：教材中“三点定圆”及“过同一直线上三点不能作圆”的证明蕴含反证法。教师简述反证法逻辑：先假设结论反面成立，推出与已知矛盾，从而肯定原结论。此处不作深究，但点明思想，为高中学习埋伏笔。

（四）核心攻坚：直线与圆的位置关系

【非常重要】【高频考点】【热点】【难点】

1.统一定义的迁移：直线与圆的位置关系，本质是确定直线与圆的公共点个数。教师引导学生回忆：圆心O到直线l的距离记为d，⊙O半径R。d＞R⇔相离（0个交点）；d＝R⇔相切（1个交点）；d＜R⇔相交（2个交点）。学生口答，教师几何画板同步演示d连续变化时交点个数的变化，强化“数形对应”。

2.切线的性质与判定——本讲第一座堡垒。

（1）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。【必考】教师板演基本图形，强调：已知切线、切点，必连半径，得垂直。这是后续所有复杂题的第一个思考方向。

（2）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。【高频】学生易漏“半径外端”条件。教师展示反例：直线过半径内端点且垂直，是否切线？辨析中深化理解。

（3）判定辅助线口诀：【重要】“有点连圆心，证垂直；无点作垂线，证半径”。即若已知直线与圆有公共点（交点明确），则连接该点与圆心，证明垂直；若未指明交点（即不确定是否有公共点），则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径。这是中考切线证明的两种基本范式。

3.切线长定理——对称美的绽放。

【重要】【高频】从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。教师通过折纸活动（剪圆形纸片，折出两条切线）让学生直观感受相等性与轴对称性，随后进行符号推理。强调：切线长是“线段长”而不是“切线长”，注意单位。此定理常与全等三角形、勾股定理结合求线段长度或角度。

4.弦切角定理与切割线定理——选讲层次。

根据各地考情差异，弦切角定理及切割线定理、割线定理在部分教材已删除，但全国中考仍有部分地区以拓展形式考查。本设计将之定位为【重要（针对高难度目标学生）】，在第二课时拓展环节以“阅读材料+微专题”形式呈现，不做全体必考，但为学有余力者提供提升通道。

（五）题组精析，变式突破

1.基础诊断题组（全体反馈）：

例1：已知⊙O半径为3，点P到圆心O距离为5，则点P与⊙O的位置关系是______。

例2：已知⊙O半径为4，圆心O到直线l距离为3，则直线l与⊙O的公共点个数是______。

学生口答，明理。教师追问：若将距离3改为5呢？改为4呢？强化临界点情况。

2.切线判定规范训练（重中之重）：

例3：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，使∠EAC＝∠ABC。求证：EF是⊙O的切线。

师生共析：已有公共点A，且AB为直径，连接OA（即为半径），需证OA⊥EF，即证∠OAE＝90°。利用直径所对圆周角是直角、同弧所对圆周角相等等知识转化。教师严格板演推理全过程，强调“∵AB是直径，∴∠ACB＝90°”等关键跳转，并指导学生用红笔标注辅助线与垂直符号。

3.变式训练（无明确公共点）：

例4：已知∠AOB＝30°，点M在OB上，且OM＝6，以M为圆心、3为半径作⊙M。试问OA与⊙M有怎样的位置关系？请证明。

学生自主分析：OA与⊙M没有明确公共点，故过M作MN⊥OA于N，计算MN长度并与半径3比较。MN＝OM·sin30°＝3，等于半径，故OA与⊙M相切。本题整合三角函数与切线判定，突出“作垂线、证半径”的模型价值。

4.切线长定理应用：

例5：PA、PB分别切⊙O于A、B，∠P＝50°，点C是⊙O上异于A、B的一动点，求∠ACB。

此题为经典易错题，需分两种情况：点C在优弧AB或劣弧AB上。运用切线性质得OA⊥PA，OB⊥PB，四边形内角和求∠AOB，再由圆周角定理求解。渗透分类思想，同时暴露学生遗漏另一解的常见错误。

（六）第一课时小结与作业

学生回顾：点与圆、直线与圆判定本质相同；切线证明的两类辅助线模型；切线长定理基本图形。布置分层作业：A层完成基础判定与简单证明；B层完成含参数直线与圆位置关系分析题；C层（拓展）探究圆外一点到圆上各点距离的最值问题，并尝试与切线长定理联系。

第二课时：圆与圆的位置关系及三角形的“心”

（一）唤醒与衔接

从“一圆一线”升级为“一圆一圆”。教师设问：当我们研究另一个圆与已知圆的位置关系时，可以把另一个圆看成什么？引导学生将第二个圆整体视为一个“大点”，其圆心与第一个圆圆心的距离d就是圆心距，两圆半径分别为R和r（R≥r）。于是圆与圆的位置关系判定核心转变为圆心距d与R+r、|R－r|的比较。【非常重要】【高频】

（二）动态建构圆与圆五种位置关系

1.几何画板演示：⊙O固定，半径R；⊙P从无穷远向⊙O平移，半径r。学生观察并口述：外离⇔d＞R+r；外切⇔d＝R+r；相交⇔|R－r|＜d＜R+r；内切⇔d＝|R－r|（且R≠r）；内含⇔0≤d＜|R－r|（同心圆时d＝0）。教师强调：d＝0且R＝r为重合，中考通常不视为内含特例。

2.对比迁移：点与圆比较d与R；直线与圆比较d与R；圆与圆比较d与R+r、|R－r|。三套判定体系均为“距离与半径（和差）比较”，学生惊呼其内在统一性。教师借此升华：数学的简洁美、和谐美。

3.临界处理：学生易错点——外切与内切只有一个公共点，容易混淆。教师引导：外切时两圆在外部相切，内切时小圆在大圆内部相切；从数量关系看，外切d＝R＋r，内切d＝R－r（R＞r）。记忆诀窍：“加外减内”。

4.参数思想渗透：给出d或R、r中某些量含字母，根据位置关系列不等式（组）求参数范围。如：两圆半径分别为2和3，圆心距为x，若两圆相交，则x的取值范围是______。学生巩固。

（三）三角形的外接圆与内切圆——圆与三角形的位置关系极致体现

1.外心与内心概念辨析【重要】【高频】。

教师以板书画出三角形的外接圆和内切圆，引导学生标注：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部；内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等（即内切圆半径r），始终在三角形内部。

2.直角三角形内切圆半径公式：r＝(a＋b－c)/2（c为斜边）。推导过程：利用切线长定理，设切点将边长分为x、y等，建立方程组。此为高频计算题，要求学生独立推导并记忆。

3.一般三角形内切圆半径：面积法S＝½lr（l为三角形周长），是通法。例：已知三角形三边，求内切圆半径。这是几何与代数的优美结合。

4.最值问题初步：在直角三角形内切圆基础上，改变三角形形状，探究内切圆半径变化趋势。引导学生体会“等周时，正三角形内切圆最大”的直观感知，不作严格证明。

（四）难点攻坚：多圆相切与复合图形

1.两圆外切与内切常与三角形、四边形融合，形成中考填空压轴。教师呈现经典题：半径为R的大圆内有四个小圆两两外切且与大圆内切，求小圆半径。引导学生剥离图层，找出圆心距与半径的等量关系，列方程求解。

2.分类讨论意识再强化：两圆相切未指明内切或外切时，需分两种情况。例：两圆半径分别为3和5，圆心距为2，则两圆位置关系是______。学生易答“内切”，但需注意：圆心距2＝5－3，且5＞3，是内切；若题目改为圆心距为8，则外切；若圆心距为2且未指定半径大小，则还有可能是小圆内切于大圆，但通常约定R≥r。教师强调审题。

（五）课堂练习与即时反馈

设计5分钟限时训练，涵盖：两圆位置关系判定、由位置关系求圆心距范围、直角三角形内切圆半径计算、三角形外心位置判断。当堂交换批改，错误率高的题目立即归因讲解。

（六）第二课时小结与作业

学生绘制圆与圆位置关系数轴图，将五种位置对应的d取值范围标在数轴上。作业：整理三角形内心、外心对比表；完成与两圆相切有关的动态探究题（如：两个等圆内外切，圆心在固定直线上运动，求另一动圆圆心轨迹等，供学有余力者选做）。

第三课时：综合应用、模型提炼与中考实战

（一）模型识别——把复杂图形拆解为基本图形

【非常重要】【难点】【压轴点】

本课时开门见山：中考几何压轴题往往是在一个复杂图形中，嵌入多个基本模型。教师出示一组近年中考真题截图，引导学生快速识别图中包含的模型：

1.“双切线模型”：从圆外一点引两条切线，出现切线长相等、角平分线、等腰三角形、全等三角形。

2.“切割线模型”：从圆外一点引一条切线和一条割线，出现切割线定理（若选学）或通过相似三角形推导比例式。

3.“弦切角模型”：弦切角等于所夹弧对圆周角，常用来进行等角转换。

4.“内切圆模型”：三角形内切圆，三边与圆相切，常用切线长定理列方程。

5.“公共弦模型”：两圆相交，公共弦是天然的桥梁，可连接圆心构造直角三角形。

学生以小组为单位，从教师下发的题组中圈画基本图形，并口述所用知识点。此环节旨在“由繁入简”，培养学生一眼看穿本质的能力。

（二）综合例题精析——一题贯穿全讲

选取一道极具代表性的中考压轴变式题（改编自2023年某省卷）：

已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，AE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC。

（1）求证：AC平分∠DAE；

（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长；

（3）在（2）条件下，点F是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接AF、FC，△AFC的内切圆圆心为I，求线段OI的最小值。

【本题覆盖：切线性质、角平分线判定、相似三角形、勾股定理、垂径定理推论、三角形内切圆、点与圆的最短路径等】

教学实施：

1.自主审题，拆解条件：学生默读题目，标注关键条件“切线”、“直径”、“垂直”。教师引导学生将文字语言翻译为图形条件。

2.第（1）问证明：学生口述思路——由CD是切线，连接OC得OC⊥CD；又AE⊥CD，故OC∥AE，则∠CAE＝∠ACO；等腰△OAC中∠ACO＝∠CAO，等量代换得∠CAE＝∠CAO，即AC平分∠DAE。教师点评：此问核心在于利用切线性质得到垂直，再利用平行线、等腰三角形实现角转移。

3.第（2）问计算：在（1）基础上，求CE长。学生分组讨论，可能解法多样。代表发言：法一，利用△DCO∽△DAE，先求OC＝3，OD＝5，CD＝4，再通过相似求AE和CE；法二，利用三角函数，∠ADC正弦值等。教师引导学生比较不同解法的优劣，突出“建立方程思想”——设CE＝x，在Rt△ACE中用勾股定理，在Rt△OCD中用射影定理等。最终得CE＝12/5。

4.第（3）问最值：此为高区分度设问。学生感到困难，教师引导分解：先明确△AFC内切圆圆心I是角平分线交点，且内切圆半径r＝（AF＋FC－AC）/2，但这样直接处理较复杂。换角度：I在∠AFC平分线上，也在∠FAC平分线上。由于F是动点，I是动点，求OI最小值即求点O到I运动轨迹的最短距离。教师借助几何画板追踪I点轨迹，学生惊奇发现I轨迹是以某点为圆心的圆弧。教师点明：此类问题往往化归为“I在某定圆上”或“I在某直线上”，利用垂线段最短。本题精细分析超出多数学生中考要求，作为培优拓展，重在让学生感受“动中寻定”的数学魅力，不必全部掌握。但核心素养立意——数学建模与逻辑推理得到充分浸润。

（三）易错点全览与“避坑”指南

教师通过PPT呈现近三年中考阅卷中本讲高频错误：

1.切线判定“连半径，证垂直”缺少垂直的证明过程，直接下结论。对策：规范推理三步骤。

2.圆与圆相切忘记分内切外切。对策：审题时圈画“相切”二字，立即警觉分类。

3.内心外心混淆，求内切圆半径错用外接圆公式。对策：强化对比记忆，可用“内切到边，外接到顶点”作为口诀。

4.涉及弦心距时，忽略垂径定理带来的半径、半弦、弦心距直角三角形。对策：见弦常构垂径。

学生逐条对照，反思自己过往作业中的相似错误，完成自我诊断。

（四）全讲结构化总结——思维导图共建

教师板书核心框架，学生口述填充细节。从“一个核心（距离与半径比较）”出发，分支出点、线、圆三类对象，再分支出切线的性质与判定、切线长、三角形的内外心、正多边形与圆等应用领域。每个分支附着关键公式、常见辅助线、中考考查频次。学生现场在记