小学五年级数学下册教案 因数和倍数（第一课时）概念建构与有序思维

小学五年级数学下册教案因数和倍数（第一课时）概念建构与有序思维一、设计理念与指导思想【非常重要】本节课的设计，根植于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉持“以学习者为中心”的理念，致力于实现从“教知识”向“育素养”的深度转变。教学设计不再仅仅定位于让学生记住“因数与倍数”的定义，而是将其视为一次完整的数学概念“再创造”过程。我们深信，数学学习的本质是思维活动的展开。因此，本课将充分借助“数形结合”的直观力量，引导学生在操作、观察、比较、归纳中，亲历从具体到抽象、从感性到理性的认知飞跃。课程将“有序思考”作为贯穿始终的思维主线，不仅是为了解决找因数“不重复、不遗漏”的技术性问题，更是为了培养学生逻辑思维的严谨性与条理性，为其未来学习更复杂的数论知识（如公因数、公倍数、质数与合数）奠定坚实的思维基础。同时，通过揭示数学概念之间的内在联系与相互依存关系，渗透辩证统一的唯物主义思想，让学生在掌握知识与技能的过程中，获得数学思想的熏陶和情感态度的升华，真正实现学科育人的价值13。二、教材内容深度解析本课“因数和倍数”是人教版五年级下册第二单元的起始课，是整个数论知识体系的奠基之作。它上承整数四则运算，特别是“整除”的隐性经验，下启后续的2、5、3的倍数的特征、质数与合数、最大公因数、最小公倍数等核心知识。教材编排遵循“从生活中来，到生活中去”的原则，通过学生熟悉的除法算式引入，体现了数学知识的现实背景。然而，其深层逻辑在于帮助学生完成从“计算技能”到“数论概念”的认知跃迁。从知识结构来看，本课包含三个核心层次：第一层次，概念的定义与理解——在整数除法中，如果商是整数且没有余数（即整除），我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。这里必须严格限定在“非0自然数”的范围内，并强调概念之间的“相互依存性”。第二层次，概念的探究与应用——掌握找一个数的因数和倍数的方法。这是一个程序性知识的建构过程，需要引导学生从无序尝试走向有序列举，并在此过程中发现因数与倍数的基本性质（如一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的）。第三层次，数学思想的渗透——在探究活动中，渗透分类思想、集合思想、函数思想以及无限与有限的辩证思想136。三、立体化学情研判【重要】五年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已熟练掌握整数乘除法，具备了一定的观察、比较和归纳能力，对“倍数”一词在日常生活中也有过朴素接触（如“几倍”），这为新课学习提供了有利的知识基础和心理准备。然而，初次接触系统化的数论概念，学生将面临三大认知挑战：其一，概念的抽象性与相互依存性。学生容易受已有认知的干扰，将“因数”与乘法算式中的“乘数”简单等同，或将“倍数”与“几倍”混淆，更难以理解“因数与倍数不能单独存在，必须相互依存”这一本质特征。他们可能会孤立地说“12是因数”，而忽略了其关系性表述13。其二，思维的片面性与无序性。在找一个数的因数时，学生往往能找到一部分，但容易遗漏，尤其是当数字较大时，思维容易陷入混乱，缺乏有序、全面的思考策略。这是由他们思维发展的阶段性决定的，需要教师通过有效的策略引导，帮助他们建立“有序枚举”的思维模型13。其三，对“无限”概念的朴素理解困难。“一个数的倍数是无限的”这一结论，对于习惯了有限运算结果的学生来说，是一种认知上的拓展，需要通过推理和想象来建构。基于此，教学策略必须对症下药：通过直观操作（如拼长方形）化解概念的抽象性；通过大量的对比辨析强化关系的依存性；通过设置认知冲突和探究任务，引导学生自主建构有序思考的方法，从而实现对知识本质的深刻理解310。四、教学目标定位基于核心素养与学情分析，设定本课时教学目标如下：（一）知识与技能目标1.【基础】学生能结合具体情境和算式，准确理解因数和倍数的意义，掌握概念的内涵与外延（非0自然数），并能用规范的语言描述两个数之间的因数和倍数关系。2.【重要】掌握找一个数的因数和倍数的方法。能有序、不重复、不遗漏地找出100以内一个自然数的所有因数，并能列举出一个自然数的指定个数倍数。3.【重要】初步理解并掌握一个数的因数与倍数的基本特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。（二）过程与方法目标1.通过观察、分类、操作、归纳等数学活动，经历因数和倍数概念的建构过程，发展抽象概括能力和逻辑推理能力。2.在探究找一个数的因数的过程中，体验“有序思考”的数学思想方法的价值，形成全面、系统地分析问题的意识和习惯3。3.初步运用集合图等工具表示数的因数，体会数形结合的直观性。（三）情感态度与价值观目标1.在探究数学概念内在联系的过程中，感受数学的严谨性与逻辑美，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。2.在小组合作交流中，培养倾听、质疑、分享的良好学习品质，形成积极的合作学习氛围。3.通过揭示因数与倍数的相互依存关系，初步感受事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义观点。五、教学重点与难点（一）教学重点1.理解并掌握因数和倍数的概念，能正确判断两个数之间的因数和倍数关系。2.掌握有序找一个数的因数和倍数的方法。【确立依据】这两个重点是本课知识体系的核心，是后续所有学习的基石。正确理解概念是正确应用的前提，而掌握有序方法则是解决具体问题的关键技能，同时也是培养逻辑思维能力的载体13。（二）教学难点1.【难点一】深刻理解因数和倍数概念的“相互依存性”，即不能孤立地称一个数是因数或倍数。2.【难点二】自主探索并掌握有序、全面地找出一个数的所有因数的方法，尤其是理解“成对找”的策略。【确立依据】“相互依存性”是对概念本质的深度抽象，学生受前有认知影响较深，容易产生误解，需要大量辨析才能突破。“有序找因数”则是对思维策略的挑战，需要学生从随意的试数，过渡到系统、规律的枚举，是一次思维方式的优化与提升139。六、教学准备（一）教师准备：多媒体课件（PPT），内含情境导入动画、探究任务要求、典型例题及练习题；12个完全相同的小正方形磁力贴或卡片，用于课堂演示；设计并打印分层《学习任务单》（包含前测分类、拼图记录、因数探究、倍数探究及拓展挑战等模块）。（二）学生准备：每人准备12个同样大小的小学具（如小圆片、小正方形卡片）；铅笔、橡皮、直尺等常规学习用具。七、教学过程设计与实施【教学环节一】情境创设，初感依存——概念的引入与建构（约12分钟）（一）唤醒经验，分类感知上课伊始，教师利用课件出示一组除法算式，请学生快速口算并分类。算式：12÷2=9÷5=30÷6=7÷3=8÷5=18÷3=学生独立计算后，在小组内交流分类标准。预设学生能根据“商是否有余数”或“能否除尽”将其分为两类。教师根据学生汇报，将算式板书为两类：第一类（整除）：12÷2=630÷6=518÷3=6第二类（非整除）：9÷5=1.8（或1余4）7÷3=2余18÷5=1.6（或1余3）【设计意图】通过分类，唤醒学生对“整除”的潜在经验，为本课概念的学习做好铺垫，同时渗透分类思想。（二）聚焦整除，定义概念教师引导学生聚焦第一类算式，并提出核心问题：“仔细观察这些算式，它们有什么共同的特点？”引导学生发现：被除数、除数、商都是整数，而且商没有余数。教师顺势引出概念：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说商是整数，余数为0），我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。以12÷2=6为例，教师规范表述：“因为12除以2等于6，商是整数且没有余数，所以，2和6是12的因数，12是2和6的倍数。”【重要】教师随即板书定义，并用醒目的符号（如双向箭头）标示出因数与倍数的对应关系，初步暗示相互依存。（三）剖析算式，强化依存1.【巩固练习】出示30÷6=5，请学生仿照老师的样子，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。2.【拓展迁移】出示乘法算式3×6=18。提问：“在乘法算式中，我们也能找到因数和倍数吗？你是怎么想的？”引导学生理解，乘法是除法的逆运算，3×6=18，说明18÷3=6，18÷6=3，所以3和6是18的因数，18是3和6的倍数。3.【难点辨析，高频考点】课件出示辨析题：“根据12÷2=6，能否说12是倍数，2是因数？为什么？”组织学生小组讨论，全班交流。引导学生认识到：因数和倍数是表示两个数之间的一种关系，它们是相互依存的。不能单独说一个数是因数或倍数，必须说清楚“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。正如我们不能单独说谁是谁的儿子，必须说谁是谁的父亲一样。教师顺势总结，并板书核心关键词：【相互依存】。【设计意图】通过从除法到乘法的迁移，拓宽概念的应用范围。通过精心设计的辨析题，制造认知冲突，将学生的思维引向深处，精准突破“相互依存”这一难点。此环节也是【高频考点】的集中体现。【教学环节二】操作探究，建构方法——因数的探究与有序思考（约15分钟）（一）数形结合，初探因数1.活动任务：课件出示“用12个小正方形拼成一个长方形”的任务。提问：“每排摆几个，摆几排，才能正好摆完？你能用乘法算式把你拼摆的想法记录下来吗？”2.学生动手操作（可用学具拼摆，或在脑中想象画图），并在学习任务单上记录：（）×（）=12（）×（）=12（）×（）=123.学生汇报，教师根据学生回答，在课件上动态演示不同的拼法，并同步板书相应的乘法算式：1×12=12，2×6=12，3×4=12。4.【重要】教师引导学生观察：“每道乘法算式中的两个乘数，与12有什么关系？”引导学生得出：它们都是12的因数。由此，我们找到了12的所有因数：1，2，3，4，6，12。【设计意图】借助“形”的直观，支撑“数”的概念。拼长方形的过程，将抽象的因数概念转化为直观的“长与宽”的组合，不仅让学生深刻理解了“因数”即“能整除这个数的数”，更为后续“成对找因数”的方法提供了直观模型，渗透了数形结合思想9。（二）方法迁移，寻找因数1.提出问题：如果没有小正方形帮忙，你能找出18的所有因数吗？2.学生自主尝试，教师巡视，收集不同学生的作品。3.展示与交流。教师选取典型作品（如有遗漏的、无序的、有序的）在投影仪上展示。案例A：18的因数有1，18，2，9，3，6。（无序但齐全）案例B：18的因数有1，18，2，3，6。（遗漏了9）案例C：18的因数有1，18，2，9，3，6。（有序且齐全）4.【难点突破】组织学生对比、评价：“你觉得哪种方法更好？为什么？怎样才能找得既快又全，既不重复也不遗漏？”引导学生讨论总结出“有序思考”的策略：（1）想乘法：从1开始，一对一对地找。1×18=18，2×9=18，3×6=18，4不行，5不行，6重复了，找到出现重复因数为止。（2）想除法：同样从1开始除。18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷4不行……一直除到商比除数小，就找全了。5.教师根据学生汇报，板书找因数的方法：【有序思考，成对寻找】。并指导学生用规范的格式记录，如从小到大排列：1，2，3，6，9，18，或用集合图表示。6.即时练习：用你喜欢的有序方法，找出24的因数。学生独立完成，同桌互查，强调有序性。【设计意图】此环节是本课的重中之重。通过展示学生的不同思维层次的作品，引发自我反思和认知冲突，从而让学生自己“发现”并“内化”有序思考的价值。教师的角色是组织者、引导者，将“找全”的技术性目标上升为“有序”的思维性目标19。【教学环节三】类比迁移，完善认知——倍数的探究与特征发现（约10分钟）（一）自主探究，寻找倍数1.迁移任务：我们学会了找一个数的因数，那如何找一个数的倍数呢？请同学们以小组为单位，研究“2的倍数有哪些？你能想办法把它们都找出来吗？”。2.学生小组合作探究。预设学生会有不同方法：用2乘1、乘2、乘3……（2×1=2，2×2=4，2×3=6……）；用除法想哪些数除以2商是整数。3.小组汇报。学生发现，2的倍数有2，4，6，8，10……永远也找不完。4.【重要】教师追问：“为什么找因数时我们能找完，而找倍数却找不完呢？”引导学生初步感知：一个数的因数是有限的，而倍数是无限的。因此，在记录倍数时，最后要用省略号“……”表示无限多。5.即时练习：找3的倍数有哪些？找5的倍数有哪些？学生独立完成，并尝试用集合图表示。（二）对比归纳，发现特征教师引导学生将找出的18的因数和2的倍数放在一起观察比较，并提出大问题：“观察我们找出的因数和倍数，关于一个数的因数和一个数的倍数，你有什么发现？可以小组内讨论。”【非常重要】学生在讨论交流的基础上，师生共同归纳总结，形成板书：6.一个数的最小因数是（1），最大因数是（它本身）。7.一个数的因数的个数是（有限的）。8.一个数的最小倍数是（它本身），（没有）最大的倍数。9.一个数的倍数的个数是（无限的）。【设计意图】通过类比迁移，让学生运用找因数的方法经验自主探究找倍数，培养了学习能力。通过对比观察，引导学生从具体例子中归纳出抽象的一般性规律，完成了从特殊到一般的归纳推理过程，不仅掌握了知识，更提升了数学思维品质17。【教学环节四】分层练习，寓学于乐——概念的应用与思维深化（约8分钟）（一）基础辨析，巩固概念【基础】1.判断下面的说法对不对，并说明理由。（1）因为36÷9=4，所以36是倍数，9是因数。（）（2）15是3的倍数，也是5的倍数。（）（3）1是所有非0自然数的因数。（）2.填空题。30的因数有（），其中最小的因数是（），最大的因数是（）。7的倍数有（），最小的倍数是（）。（二）游戏互动，深化理解【热点】“看学号，快反应”游戏。规则：每个同学都有自己的学号，请听清要求，符合条件的同学请迅速起立。第一轮：起立的同学，你们的学号是8的因数。（学号1，2，4，8起立）第二轮：起立的同学，你们的学号是8的倍数。（学号8，16，24……起立）第三轮：请学号是9的因数的同学起立。（学号1，3，9起立）第四轮：请学号是9的倍数的同学起立。（学号9，18，27……起立）游戏后提问：“为什么8号同学在第一轮和第二轮都起立了？你发现了什么？”引导学生得出：一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数。追问：“为什么学号是1的同学，在很多轮次里都需要起立？”引导学生得出：1是所有非0自然数的因数。【设计意图】游戏环节将枯燥的练习转化为有趣的思维活动，极大地激发了学生的参与热情。在轻松愉快的氛围中，巩固了概念，深化了对特征的理解，特别是对“相互依存”和“本身”这两个关键点的体验尤为深刻15。八、板书设计因数和倍数（第一课时）（相互依存）概念：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。找因数（有序、成对）：找倍数（有序、无限）：18的因数有：1，2，3，6，9，18。2的倍数有：2，4，6，8，10，…（集合图）（