小学五年级数学（人教版上册）核心知识清单：一个数除以小数（第一课时）

小学五年级数学（人教版上册）核心知识清单：一个数除以小数（第一课时）一、核心概念与思想方法（一）【基础】核心概念：转化的数学思想本课时的核心在于“转化”，这是解决数学问题的一种最基本、最重要的思想。“一个数除以小数”的关键，就是将这个我们暂时不熟悉的新问题（除数是小数的除法），转化为我们已经熟练掌握的旧知识（除数是整数的除法）来解决。这种将未知转化为已知的过程，就是数学学习中的迁移思想，是培养数学思维能力的重要途径13。（二）【重要】理论依据：商不变的性质转化的实现并非随意进行，它必须遵循数学的基本规律。这里的理论依据是“商不变的性质”。我们需要精准回忆并深刻理解这一性质：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变110。例如：因为6÷2=3，所以(6×10)÷(2×10)=60÷20=3；(6×100)÷(2×100)=600÷200=3。商仍然是3，没有发生变化。正是基于这个性质，我们可以将除数是小数的除法算式，通过将被除数和除数同时扩大相同的倍数（即同时乘10100或1000等），将除数转化为整数，从而保证商的大小不变。（三）【基础】运算对象：除数是一位或两位的小数本课时主要针对除数是小数，且被除数的小数位数不少于除数小数位数，或者虽少于但能通过补0解决的情况。这是小数除法运算体系中的关键一环，连接着“除数是整数的小数除法”与更复杂的小数运算28。二、核心计算方法与步骤（法则精析）（一）【非常重要】【高频考点】标准计算流程：“一看，二移，三算”本课时的计算法则可以精炼地概括为三个步骤，这是必须掌握的操作程序。1.【第一步：一看】看清除数有几位小数。这是确定移动位数的基础。例如，在算式7.65÷0.85中，除数0.85有两位小数110。2.【第二步：二移】移动小数点。这是本课时的核心操作，也是最容易出错的环节。具体操作是：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也相应地向右移动几位（依据商不变的性质，被除数和除数扩大相同的倍数）。在移动过程中，如果被除数是整数，或者位数不够，就在它的末尾用“0”来补足27。★关键点：移动小数点时，要以除数为基准。除数是几位小数，被除数和除数就一起向右移动几位。3.【第三步：三算】按照除数是整数的小数除法进行计算。这时，原算式已经转化为我们学过的知识，可以按照“除数是整数的小数除法”的计算法则进行计算，商的小数点要与移动后被除数的小数点对齐12。（二）【难点】特殊情况处理：被除数位数不够，用“0”补足这是本课时最大的难点，也是考查的重点。当被除数的小数位数比除数少时，移动小数点会出现位数不够的情况。此时，必须根据商不变的性质，在被除数的末尾用“0”补足数位17。☆例如：计算12.6÷0.28。第一步：看。除数0.28是两位小数。第二步：移。要将除数0.28转化为整数28，小数点需向右移动两位。根据商不变的性质，被除数12.6的小数点也应向右移动两位。但12.6只有一位小数，向右移动一位变成126后，再移动一位就没有数字了。这时，我们就在126的后面补一个“0”，变成1260。即原算式转化为1260÷2817。第三步：算。计算1260÷28=45。【易错警示】这里补的“0”仅仅是为了凑足位数，保证转化过程的正确性，它改变了被除数的大小（从12.6变成了1260），但由于除数也同步扩大了相同倍数（从0.28变成了28），所以商是不变的。三、典型例题深度解析（一）【基础】例题1：标准情况（被除数与除数小数位数相同或更多）题目：奶奶编“中国结”，编一个要用0.85米丝绳。现在有7.65米丝绳，可以编几个？16101.列式：7.65÷0.852.分析：除数是小数，需要转化为整数。3.计算过程：一看：除数0.85是两位小数。二移：将除数和被除数的小数点同时向右移动两位。0.85→85（小数点向右移动两位，变为整数）7.65→765（小数点向右移动两位，原数变为765）三算：转化后的算式为765÷85，这是一个除数是整数的小数除法（实际上这里被除数变成了整数）。计算765÷85=9。4.解答：7.65÷0.85=9（个）答：可以编9个中国结。▲【思维拓展】这个过程也可以理解为：7.65米和0.85米都是以“米”为单位，我们可以将它们转化为相同的更小单位“厘米”来计算，即765厘米÷85厘米=9，其本质也是利用了商不变的性质3。（二）【重要】【难点】例题2：特殊情况（被除数位数不够，需要补0）题目：计算12.6÷0.28。171.列式：12.6÷0.282.分析：除数有两位小数，但被除数只有一位小数，位数不够，需要在被除数末尾补0。3.计算过程：一看：除数0.28是两位小数。二移：将除数和被除数的小数点同时向右移动两位。0.28→28（小数点向右移动两位，变为整数）12.6→被除数小数点向右移动一位时是126，再移动一位位数不够，需要在126的后面补一个“0”，即变为1260。三算：转化后的算式为1260÷28。按照除数是整数的方法计算：1260÷28=45。4.解答：12.6÷0.28=45【易错警示】如果学生忘记补0，就会算成126÷28，结果显然是错误的。因此，在移动小数点时，必须检查被除数移动后位数是否足够。四、易错点辨析与针对性训练（一）【高频易错点1】移动小数点不同步或只移动除数，不移动被除数★错误案例：计算3.6÷0.4，学生可能写成3.6÷4，忘记了被除数3.6也需要同时扩大10倍变成36。★错因分析：对商不变的性质理解不透彻，只想着把除数变整数，忽略了被除数必须同步变化才能保证商不变。★正确解法：3.6÷0.4=(3.6×10)÷(0.4×10)=36÷4=9。（二）【高频易错点2】被除数末尾补0的时机与个数判断错误★错误案例：计算5÷0.25。除数0.25是两位小数，需要扩大100倍。学生可能将5的小数点向右移动两位后，错误地认为变成了500（正确），但在计算过程中混淆了补0的意义。更常见的错误是移动时只补了一个0，变成50，或者忘记了补0，直接用5÷25计算。★错因分析：对小数位数概念不清，或者移动小数点时机械操作，没有思考位数是否够用。★正确解法：5÷0.25=(5×100)÷(0.25×100)=500÷25=20。（三）【高频易错点3】商的小数点位置确定错误★错误案例：竖式计算时，当原算式转化为除数是整数的小数除法后，商的小数点没有与移动后的被除数的小数点对齐。★错因分析：对于“除数是整数的小数除法”法则掌握不牢，忘记了“商的小数点要和被除数的小数点对齐”这一规则2。★正确解法：在完成小数点移动后，写竖式时，应先点好商的小数点（与新的被除数小数点对齐），再开始计算。五、考点、考向与考查方式分析（一）【基础考点】直接写出得数（口算）考查对算理的熟练程度。如：0.36÷0.4=？6.3÷0.7=？4.8÷0.06=？要求学生能迅速反应出将除数转化为整数后，被除数相应变化的结果1。（二）【非常重要】【高频考点】列竖式计算这是本课时最主要的考查方式。题目会包含两种情况：一是被除数小数位数多于或等于除数的（如2.88÷0.12），二是被除数小数位数少于除数，需要补0的（如8÷0.5，2.4÷0.06）。阅卷时重点关注小数点移动的痕迹、补0的位置以及竖式书写的规范性。（三）【热点考点】改错题（数学诊所）给出错误的竖式计算过程，让学生判断对错并改正。这种方式能有效考查学生对易错点的辨析能力。例如，题目中可能只移动了除数的小数点，而被除数的小数点没动；或者在需要补0的地方没有补10。（四）【重要考点】填空与转化1.在括号里填上合适的数：0.45÷0.09=（）÷9=（）1。2.根据商不变的性质填空：在计算12.6÷0.28时，应将其看作（）÷（）来计算。3.在○里填上“>”“<”或“=”，有时会结合积与因数的关系或商与被除数的关系进行综合考查。（五）【综合应用考点】解决问题（应用题）将本课时知识融入生活情境中，考查学生分析问题、建立模型的能力。★常见题型：1.【求数量】如丝绳编中国结、油桶装油、布料做衣服等。这类问题需注意结果的处理，有时会为后续的“进一法”和“去尾法”做铺垫2。2.【求单价或速度】如“买0.6千克糖果花了7.68元，每千克糖果多少元？”或“一辆汽车行驶36.4千米耗油5.6升，每升油能行驶多少千米？”3.【求面积中的宽或长】已知长方形面积和长（或宽），求另一条边。如“一个长方形广告牌的面积是12.8平方米，长是3.2米，宽是多少米？”6。六、思维拓展与知识关联（一）【拓展】与计量单位的换算一个数除以小数在实际应用中，常与单位换算结合。例如，把大单位换算成小单位（高级单位→低级单位）用乘法；把小单位换算成大单位（低级单位→高级单位）用除法。而这个过程本身就包含了小数除法。如：36厘米=（）米，即36÷100=0.36米。这种理解有助于深化对小数的意义的认识。（二）【关联】构建完整的除法知识体系本课时是小数除法单元的核心，它与前后知识紧密相连248：1.上游知识：整数除法、商不变的性质、除数是整数的小数除法。这部分是学习的基础。2.核心知识：一个数除以小数（第一课时：基本转化；第二课时：补0的情况）。这是本单元的重点和难点。3.下游知识：商的近似数（四舍五入）、循环小数、用计算器探索规律、以及解决问题（进一法、去尾法）。后续学习都是在此计算基础上的延伸和应用。（三）【核心素养指向】运算能力与