2026-2027学年辽宁省大连市高考压轴卷数学试卷（含答案解析）

2026-2027学年辽宁省大连市高考压轴卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）A．30 B． C． D．623．已知全集为，集合，则（）A． B． C． D．4．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）A． B． C．8 D．65．已知函数是奇函数，则的值为（）A．－10 B．－9 C．－7 D．16．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1807．已知（），i为虚数单位，则（）A． B．3 C．1 D．58．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且9．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（）A． B． C． D．10．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．11．已知，则下列说法中正确的是（）A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是假命题12．若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中,点在曲线：上,且在第四象限内．已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________．14．在中，点在边上，且，设，，则________（用，表示）15．设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为______．16．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角的对边分别是，已知.（1）求角的值；（2）若，，求的面积．18．（12分）已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.19．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.20．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函数，.（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.22．（10分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为（单位：瓶）时，的数学期望的取值范围？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选：D本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.2、B【解析】

根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.3、D【解析】

对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.4、C【解析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，则，，设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：，则当且仅当时，取等号.故选：C．本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.5、B【解析】

根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.【详解】因为函数是奇函数，所以，.故选：B本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.6、A【解析】

因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】，，.故选：A.本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7、C【解析】

利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.【详解】由，得，解得.故选:C.本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.8、D【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：，，.故选：D..本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.9、C【解析】

原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.【详解】解：由及正弦定理得.因为，所以代入上式化简得.由于，所以.又，故.故选：C.本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.10、C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.11、D【解析】

举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】当时，故命题为假命题；记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；∴是假命题故选D本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．12、D【解析】

根据复数的运算，化简得到，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算，可得，所对应的点为位于第四象限.故选D.本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.【详解】解:依题意设切点,因为,则,又因为曲线在点处的切线为,,解得,又因为点在第四象限内,则,.则又因为点在切线上.所以.所以.故答案为:本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.14、【解析】

结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示，即可得到结果．【详解】在中，因为，所以，又因为，所以．故答案为：本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化．15、【解析】

可看出，这样根据即可得出，从而得出满足条件的实数的个数为1．【详解】解：，或，在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，由图可知与无交点，无解，则满足条件的实数的个数为．故答案为：．考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程无解，属于基础题．16、【解析】

由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集.【详解】因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数，又当时，，得时，，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以不等式等价于，即或，解得或，所以不等式的解集为：.故答案为：.本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得，，代入得，运用三角形的面积公式可求得其值.【详解】（1）由及正弦定理得，即由余弦定理得，，.（2）设外接圆的半径为，则由正弦定理得，，，.本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，等价于，根据绝对值不等式易求，根据二次函数易求，然后解不等式即可.【详解】解：（1）当时，，则当时，由得，，解得；当时，恒成立；当时，由得，，解得.所以的解集为（2）对任意，都存在，得成立，等价于.因为，所以，且|，①当时，①式等号成立，即.又因为，②当时，②式等号成立，即.所以，即即的取值范围为：.知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.19、（1）点M的极坐标为或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，由，得，∵∴或，所以点M的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.20、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.【详解】（1），，设曲线与轴相切于点，则，即，解得.所以，当时，轴为曲线的切线；（2）令，，则，，由，得.当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.，.①当，即当时，函数有一个零点；②当，即当时，函数有两个零点；③当，即当时，函数有三个零点；④当，即当时，函数有两个零点；⑤当，即当时，函数只有一个零点.综上所述，当或时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极