数字信号处理-使用Python分析与实现 课件 第5章 数字滤波器的基本结构

1第5章数字滤波器的基本结构李蓉艳同济大学电子与信息工程学院2024年12月第5章数字滤波器的基本结构2数字滤波器的基本结构数学描述图形表示差分方程单位样值响应系统函数IIR滤波器的结构格型滤波器结构信号流图方框图全零点格型结构全极点格型结构零极点格型结构FIR滤波器的结构直接型结构级联型结构直接型结构级联型结构并联型结构频率采样结构线性相位FIR滤波器结构本章重点-滤波器结构3理解滤波器每种实现结构的特点和适用范围，选择滤波器实现结构时需要考虑计算效率、稳定性、运算误差、实现的复杂性等因素。IIR滤波器的结构包括直接型、级联型、并联型等结构。FIR的结构则有直接型、级联型、频率采样型、线性相位结构，以及快速卷积结构等。45.1数字滤波器的表示方法线性移不变系统的数学描述系统函数N阶差分方程

单位脉冲响应

在滤波器实现中，必须变换成一种算法，使用计算机或专用硬件完成对输入信号的运算。5滤波器结构的方框图或者信号流图加法器乘法器延迟器节点的值=所有输入支路的值之和支路的值=支路起点处的节点值×传输系数5.1数字滤波器的表示方法6选择适合的网络结构实现滤波器系统（1）计算复杂性。指乘法次数，加法次数，取值、存储的次数，两个数的比较次数等。计算复杂性会影响计算速度。（2）存储量。指系统参数、输入信号、中间计算结果以及输出信号的存储。（3）运算误差。主要是指有限字长效应，由于输入输出信号、系统参数、运算过程都受二进制编码长度限制，就会带来各种量化（有限字长）效应产生的误差。所以要研究不同网络结构对有限字长效应的敏感程度，研究需要多少位字长才能达到一定的精度。（4）频率响应调节的方便程度。这主要反映在零点、极点的调节方便程度上。5.1数字滤波器的表示方法75.2数字滤波器结构的分类有限冲激响应数字滤波器（FIR）数字滤波器无限冲激响应数字滤波器（IIR）自回归系统(autoregressive,AR)自回归移动平均系统(autoregressivemovingaverage，ARMA)移动平均系统(movingaverage,ARMA)（全零点系统）过去输出

（全极点系统）（零极点系统）

当前输入

当前和过去输入过去输出当前输入和过去输入8

IIR滤波器为递归型结构，有输出到输入的反馈，在有限z平面上有极点。单位冲激响应为无限长。9

在有限z平面上没有极点；单位样值响应为有限长；系统是输入序列的移位加权和的形式；没有输出到输入的反馈，是非递归结构。FIR滤波器105.3无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的基本结构IIR系统的基本网络结构：直接型（I型、Ⅱ型）级联型并联型115.3.1直接型结构

直接I型结构直接Ⅱ型结构

12

5.3.1直接型结构13

其中，一对共轭零点和一对共轭极点组成一个二阶子系统

单个实零点和单个实极点组成一个一阶子系统

5.3.2级联型结构14

解

利用scipy.signal中tf2sos可以求得二阶基本节的级联形式的参数。输出结果：二阶基本节级联形式的滤波器系数数组形状必须为（n_sections，6）。数组每一行对应一个二阶部分，前三列提供分子系数，后三列提供分母系数。b=[4,-1.656,-1.656,1]a=[1,0.4,-0.27,-0.09]sos=tf2sos(b,a,analog=False)运行结果为[[4.-4.377724271.440027741.0.30.][1.0.694431070.1.0.1-0.3]]

15【例5.3.2】求【例5.3.1】逆运算的系统函数结构b=[4.-1.59999999-1.600000011.0.]a=[1.0.4-0.27-0.090.]

级联型结构中每一级都可以独立确定系统的一对（共轭）零极点；便于调整滤波器频率响应性能运算误差的积累相对直接型要小；具有最少的存储器；量化效应对级联型结构的系数影响较直接型小；是实际系统中常采用的结构形式。解由二阶基本节的级联形式也可以逆运算得到系统函数，使用利用scipy.signal中sos2tf()函数实现。运行结果与系统函数一致。165.3.3并联型结构将系统函数式按极点展开部分分式形式，并将每一对共轭极点的分式合并成实系数的并联二阶子系统，得到IIR滤波器的并联型结构

并联型结构方便调整极点，不方便调整零点各并联子系统的误差互不影响，运算误差最小可同时对输入信号进行运算，运算速度高17

解：使用residuez函数计算部分分式分解的参数，然后合并共轭极点的分式得到并联的二阶环节。编写Python程序计算并联型结构的参数c=[-0.73469388]B=[[0.01957760.23216947][1.465116280.]]A=[[1.-0.70.49][1.-0.60.]]

185.4有限长单位冲激响应（FIR）滤波器的基本结构FIR滤波器的结构：直接型结构级联型结构频率采样型结构线性相位的FIR滤波器结构

195.4.1直接型结构（横截型、卷积型结构）

202.级联型结构

一对共轭成对的零点放在一起，组成一个系数为实数的二阶子系统每一个二阶子系统都用直接型实现

213.频率采样型结构频域插值公式

梳状滤波器（FIR系统）

谐振器

22

频率响应为

梳状滤波器

3.频率采样型结构23谐振器（IIR系统）

频率域采样结构仍属FIR网络结构3.频率采样型结构24频率采样型结构的特点

3.频率采样型结构25修正的频率采样型结构

3.频率采样型结构26

修正的频率采样型结构27

修正的频率采样型结构28

3.频率采样型结构29

30频率采样结构为

31

解编写直接型结构转换为频率采样结构的函数tf2fs，调用函数计算h=np.array([1,2,3,2,1])C,B,A=tf2fs(h)程序结果为C=[5.23610.76399.]B=[[-0.8090.809][0.309-0.309]]A=[[1.-0.6181.][1.1.6181.][1.-1.0.]]由于N=5，故只有一个一阶基本节，频率采样结构的系统函数为

325.4.4线性相位FIR滤波器的结构

系统频率响应的相位就是严格线性的。

335.4.4线性相位FIR滤波器的结构

线性相位FIR滤波器的结构（N为偶数）34

线性相位FIR滤波器的结构（N为奇数）线性相位结构比直接型结构少用一半的乘法器，节省了运算量。5.4.4线性相位FIR滤波器的结构35

36*5.5格型滤波器的结构

全零点系统（FIR）的格型结构

37信号流图中的基本单元

定义

Z变换38

求得

39

解：由系统函数形式，得

40全极点系统（IIR）的格型结构

全极点结构的IIR滤波器的系统函数为

其中

41