数字信号处理-使用Python分析与实现 课件 第6章 无限冲激响应数字滤波器的设计

1第6章无限冲激响应数字滤波器的设计李蓉艳同济大学电子与信息工程学院2024年12月第6章无限冲激响应数字滤波器的设计2IIR数字滤波器的设计滤波器基本概念特殊滤波器经典滤波器频率响应特征参量模拟低通滤波器原型全通滤波器最小相位滤波器IIR数字滤波器设计模拟域频带变换数字化方法巴特沃斯切比雪夫椭圆滤波器数字域频带变换数字低通到数字多通带技术指标设计的一般步骤贝塞尔滤波器本章重点-IIR滤波器设计方法3数字滤波器设计式信号处理中的基本处理方法，掌握模拟低通滤波器原型的原理和设计方法。熟悉滤波器设计指标、指标转换、滤波器频带变换、去归一化、滤波器阶数确定、系数求解及频率响应验证等方法，掌握数字滤波器设计方法。46.1数字滤波器的基本概念数字滤波器——输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。经典滤波器：选频滤波器——将输入信号中无用或者干扰的频率成分滤除，留下有用的频率成分。5

6.1数字滤波器的分类6频率响应

1.数字滤波器的特征参量

6.1数字滤波器的技术指标7相位响应

由于

6.1数字滤波器的技术指标8群延迟响应相位对角频率的导数的负值

由于

6.1数字滤波器的技术指标线性相位滤波器——通带内群延迟特性是常数9群延迟不为常数，意味着不同的正弦频率分量会经历不同的时间延迟在滤波器设计中，希望滤波器的群延迟尽量小，以避免不同频率分量之间的相位差异，从而影响滤波器效果。在控制系统中，群延迟可以影响系统的稳定性和响应速度。6.1数字滤波器的技术指标10通带和阻带的截止频率、通带的最大衰减和阻带的最小衰减。

数字滤波器设计的技术指标11经典的选频滤波器全通滤波器12

基于成熟的模拟滤波器的原型进行IIR数字滤波器的设计，模拟滤波器的原型已经是标准化的成熟公式，可以通过查表获得，给IIR数字滤波器的设计提供了很大的方便。数字滤波器设计的一般步骤136.2全通滤波器

一阶全通系统

二阶全通系统

二阶全通系统对应的差分方程

14高阶全通系统由一阶和二阶全通系统组成

分母多项式

6.2.1全通滤波器的系统函数特点

15全通系统的相位响应其中一个一阶环节可以写为

一阶环节的相位

说明一阶全通环节的相位为负全通系统的相位一定是负数。全通系统的群延迟一定为正。

16全通滤波器的作用级联全通系统，将不稳定的滤波器可以转换为稳定的滤波器。级联全通系统，将混合相位滤波器转换为最小相位的滤波器，不影响滤波器的幅度响应。选择一个合适的零点后，将不稳定系统中位于单位圆外的极点抵消，并将极点反射到单位圆内。级联全通系统，做相位校正——相位均衡器使用全通滤波器做相位校正，得到线性相位，同时不影响幅度响应

对两边求导

176.3最小相位延时系统

混合相位系统：因果稳定系统函数的部分零点在单位圆内，部分零点在单位圆外，其延时不是最小值，也不是最大值。最大相位系统：因果稳定系统函数的全部零点都在单位圆外。它引起的相位延时最大。与最小相位系统有相反的特性。最小相位系统实际应用较多。18

把非最小相位系统单位圆外的零点作为全通系统的零点，转换为等效的最小相位系统和全通系统的级联形式。

6.3最小相位延时系统19

6.3最小相位延时系统20

21

22最小相位系统的相位滞后任意混合相位系统可以分解为最小相位和全通系统的级联

混合相位系统引起的相位延迟比最小相位系统的延迟要大

最大相位系统具有最大的群延时，混合相位系统的群延时居中。最小相位系统的单位冲激响应的包络具有最小延时，最大相位系统的这一包络延时最大，而混合相位系统的这一包络延时居中。

23

24

25利用最小相位系统求逆系统

令补偿系统为

整个系统表示为

26

276.4模拟低通滤波器原型低通滤波器原型：巴特沃斯(Butterworth)滤波器——具有单调下降的幅频特性切比雪夫(Chebyshev)滤波器——在通带或者阻带有等波纹特性椭圆(Ellipse)滤波器——通带和阻带内均呈现等波纹幅度特性贝塞尔(Bessel)滤波器——某一频带范围内具有近似的线性相位IIR滤波器设计方法间接法：借助模拟低通原型滤波器进行设计直接法：计算机辅助设计，直接在时域或频域设计。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。（最常用）28

6.4.1模拟巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数

系统函数

29

6.4.1模拟巴特沃斯低通滤波器30也可以通过查表得到巴特沃斯归一化低通滤波器的极点及系统函数中的多项式系数。

6.4.1模拟巴特沃斯低通滤波器31巴特沃斯低通滤波器参数的确定

则

或者：

通带指标满足要求，阻带指标会有富余阻带指标满足要求，通带指标会有富余6.4.1模拟巴特沃斯低通滤波器32Scipy信号处理库提供了N阶巴特沃斯模拟低通滤波器原型，3dB截止频率为1(rad/s)。返回滤波器的零极点和增益。使用时需要引入Scipy库：importnumpyasnpfromscipyimportsignalN=5z,p,k=signal.buttap(N)w,h=freqs_zpk(z,p,k,fs=1000)使用freqs或者freqs_zpk画出模拟滤波器的频率特性6.4.1模拟巴特沃斯低通滤波器33

34

（4）去归一化。

经验证，滤波器满足设计指标要求356.4.2模拟切比雪夫低通滤波器（1）幅频特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的，称为切比雪夫I型滤波器；（2）幅频特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型滤波器。切比雪夫I型的幅度特性切比雪夫Ⅱ型的幅度特性361.切比雪夫I型低通滤波器

37切比雪夫Ⅰ型低通滤波器幅度响应及其特点通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的

38

切比雪夫Ⅰ型低通滤波器幅度响应及其特点39切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的极点

令

因此有

40

切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的极点41

切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的极点42

也可以查表确定归一化切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的系统函数

去归一化

切贝雪夫Ⅰ型低通滤波器的设计43切比雪夫I型低通滤波器的设计步骤

44切比雪夫Ⅱ型低通滤波器

幅度平方响应

45（1）确定滤波器的技术指标。

切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的设计步骤46z,p,k=cheb1ap(N,Rp)#N阶切比雪夫I型模拟低通滤波器原型，通带的最大衰减为Rp(dB)。通带的截止频率为1(rad/s)。z,p,k=cheb2ap(N,Rs)#N阶切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器原型，阻带的最小衰减为Rs(dB)。阻带的截止频率为1(rad/s)。切比雪夫低通滤波器的原型函数47

48

满足设计指标要求。由于切比雪夫I型通带的等波纹特性，在相同指标要求条件下，设计的滤波器阶数小于巴特沃斯原型设计的滤波器阶数。49模拟椭圆(Elliptic)低通滤波器通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，由此取名为椭圆滤波器。考尔(Cauer)首先对这种滤波器进行了理论证明，所以也称为考尔(Cauer)滤波器。椭圆滤波器的幅度平方函数

通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高，过渡带越窄；阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小，过渡带就越宽。50

模拟椭圆(Elliptic)低通滤波器51

模拟椭圆(Elliptic)低通滤波器52Scipy库提供了椭圆模拟低通滤波器原型，z,p,k表示函数输出为零极点和增益的形式。z,p,k=Ellipap(N,Rp,Rs)#通带衰减为Rp(dB)，阻带衰减为Rs(dB)。滤波器的衰减为Rp时，对应的截止频率为1(rad/s)。除以上滤波器之外，还提供了贝塞尔模拟低通滤波器原型：z,p,k=besselap(N，norm)#通带截止频率为1(rad/s)。norm为可选参数，norm可以为‘phase’,‘delay’,‘mag’。#phase表示相位响应在截止频率1(rad/s)时达到其中点。#delay表示滤波器通带中的群延迟为1。#mag表示滤波器在截止频率1处的幅度响应为-3dB。模拟椭圆(Elliptic)低通滤波器53模拟滤波器的比较（1）阶数相同的情况。当阶数相同，通带和阻带衰减指标相同时，巴特沃斯滤波器过渡带最宽。I和Ⅱ型切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器过渡带要窄。椭圆滤波器的过渡带最窄。（2）当滤波器幅度特性指标相同时。巴特沃斯所需的滤波器阶次最大，切比雪夫I型和Ⅱ型其次，椭圆滤波器的阶次最小。因而椭圆滤波器具有更好的性能，当然设计更为复杂。（3）相位响应。巴特沃斯和切比雪夫滤波器在大约3/4的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器几乎在通带上是非线性相位的。546.5模拟域频带变换设计出低通滤波器系统函数后，根据频率转换关系转变成所要设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数。

模拟低通模拟滤波器

变换函数:低通、高通、带通、带阻模拟滤波器模拟域频带变换55模拟低通模拟低通

变换公式6.5模拟域频带变换

56

模拟低通模拟高通变换公式

6.5模拟域频带变换57

模拟低通模拟带通变换公式

6.5模拟域频带变换58

模拟低通模拟带阻变换公式

6.5模拟域频带变换59模拟域变换端点频率变换公式低通到低通低通到高通低通到带通低通到带阻注：变换前后频率点的衰减值相同。

6.5模拟域频带变换6061Scipy库提供了模拟域频带变换的函数。bt,at=lp2lp(b,a,wo=1.0)#

wo表示截止频率。wo缺省表示截止频率不改变bt,at=lp2hp(b,a,wo=1.0)#

wo表示截止频率。wo缺省表示截止频率不改变bt,at=lp2bp(b,a,wo=1.0,bw=1.0)#

wo通带的中心频率，bw通带带宽bt,at=lp2bs(b,a,wo=1.0,bw=1.0)#wo阻带的中心频率，bw阻带带宽这些函数分别将模拟低通原型滤波器转换为低通、高通、带通、带阻模拟滤波器，bt,at为转换后系统函数的分子和分母多项式系数。Scipy库中还提供了零极点形式的模拟低通原型滤波器转换为模拟高通、带通、带阻等类型的函数：lp2lp_zpk,lp2hp_zpk,lp2bp_zpk,lp2bs_zpk，返回的滤波器形式也是零极点形式。6.5模拟域频带变换62【例6.5.1】分别采用巴特沃斯和切比雪夫I型原型滤波器设计模拟带通滤波器，下通带900Hz，上通带1100Hz，通带内最大衰减为2dB，在小于830Hz或大于1200Hz的阻带内最小衰减为25dB。

63

64

④由低通滤波器转换为带通滤波器

65

(b)频率变换设计带通滤波器66（2）使用切比雪夫I型滤波器进行设计带通滤波器的技术指标和转换成低通滤波器的技术指标与巴特沃斯的①②步相同。从③步开始使用切比雪夫I型进行设计。

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归一化的切比雪夫I型低通滤波器和带通滤波器的幅频特性分别如图所示，切比雪夫I型通带呈现等波纹特性，相同指标情况下需要的阶数少于巴特沃斯滤波器。68

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去归一化，得到低通滤波器的系统函数

70（4）变换为带阻滤波器的系统函数

归一化的巴特沃斯低通滤波器带阻滤波器的幅频特性716.6模拟滤波器到数字滤波器的变换方法

需要满足两个基本条件：冲激响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法变换方法：72冲激响应不变法

一步变换73

修正

因果稳定性不变

冲激响应不变法74缺点：

冲激响应不变法适合于低通和带通滤波器的设计，不适合于高通滤波器和带阻滤波器的设计。冲激响应不变法75

解：根据冲激响应不变法的公式，得到数字滤波器的系统函数为

76

77冲激响应不变法的Python程序利用residue函数写一个冲激响应不变法的小程序Impinvar()，方便模拟滤波器的数字化。defImpinvar(b,a,T):r,p,k=signal.residue(b,a)z=np.exp(p*T)bz,az=signal.invresz(r*T,z,k)returnbz,az

scipy.signal.residue

：SciPy中用于对有理函数（两个多项式之比）进行部分分式分解的函数。signal.invresz：部分分式分解的逆操作，将部分分式恢复为原多项式。78阶跃响应不变法变换原理

单位阶跃响应

混叠失真

79双线性变换法数字角频率与模拟角频率是单值映射关系，克服了频率响应混叠失真的问题变换原理

80

利用欧拉公式

双线性变换法81C的取值有两种情况：

双线性变换法82因果稳定性

满足因果稳定的映射要求双线性变换法83双线性变换的频率关系

Ω刻度均匀的，则ω刻度不均匀

适合分段常数特性的滤波器的设计适合选频滤波器的设计频率预畸变

没有频率响应的混叠失真，适合低通，带通、高通、带阻各种滤波器的设计。84Scipy库中的双线性变换函数bz,az=bilinear(b,a,fs=1)#实现模拟滤波器到数字滤波器的变换。#b,a：模拟系统函数的分子和分母多项式系数#bz，az：转换后数字系统函数的分子和分母多项式系数#fs：采样频率(Hz)，缺省默认为1Hz这个函数没有做预畸变处理。返回数字滤波器系统函数多项式的系数。

此外，有返回为零极点形式的双线性变换函数，其调用格式如下。zz,pz,kz=bilinear_zpk(z,p,k,fs)z,p,k,分别是模拟系统的零极点和增益，fs为采样频率，返回的zz,pz,kz为数字系统的零极点和增益。85基于模拟频带变换的数字滤波器设计方法基于模拟原型设计及模拟频带变换，然后通过数字化方法可以得到需要的数字低通、高通、带通、带阻等各型滤波器。

设计指标：8687

解一、采用冲激响应不变法设计

88

（5）由冲激响应不变法得到低通数字滤波器系统函数

89解二、采用双线性变换法设计（1）将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标

90

91双线性变换法没有高频混叠的问题，能够模仿模拟系统的频率响应特性。同样的指标条件下，切比雪夫原型设计的滤波器阶数要少于巴特沃斯原型设计的滤波器阶数。92

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95基于Python的数字滤波器设计方法（1）Scipy库中提供了模拟原型滤波器的阶次及截止频率的计算函数。根据滤波器截止频率和衰减要求计算模拟原型滤波器的最小阶次及截止频率。N,Wc=signal.buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,analog=’True’,fs=None)N,Wc=signal.cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,analog=’True’,fs=None)N,Wc=signal.cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,analog=’True’,fs=None)N,Wc=signal.ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,analog=’True’,fs=None)返回模拟滤波器需要的最小阶次。参数的含义如下Wp,Ws：通带和阻带的截止频率

对于数字滤波器（analog=’False’），1对应奈奎斯特频率（折叠频率，fs/2）。Wp,Ws分别为标量，对应的是低通和高通滤波器。Wp,Ws为长度为2的序列，对应的是带通和带阻滤波器。Rp,Rs：通带的最大衰减（dB）和阻带的最小衰减(dB)。analog：可选参数，为True时，返回模拟滤波器，否则返回数字滤波器。fs：可选参数，采样频率

96

97【例6.6.4】设计一个切比雪夫Ⅱ型数字滤波器，要求通带在400~2400Hz，通带衰减为3dB；阻带在800Hz以下，2000Hz以上，阻带衰减为30dB。采样频率为8kHz。解：主要的设计语句如下：fs=8000，T=1/fsfp,fss=[400,2400],[800,2000]#截止频率Hzwp1=2*np.pi*fp[0]#截止频率rad/secwp2=2*np.pi*fp[1]ws1=2*np.pi*fss[0]ws2=2*np.pi*fss[1]pwp1=(2/T)*np.tan(wp1*T/2)#频率预畸变pwp2=(2/T)*np.tan(wp2*T/2)pws1=(2/T)*np.tan(ws1*T/2)pws2=(2/T)*np.tan(ws2*T/2)Rp=3，As=20N,wn=signal.cheb2ord([pwp1,pwp2],[pws1,pws2],Rp,As,True)b,a=signal.cheby2(N,As,wn,'stop',analog='True')滤波器阶数N=3模拟滤波器传递函数H(s)=s^6+3.549e+08s^4+2.952e+16s^2+5.755e+23--------------------------------------------------------------------------------------------s^6+2.777e+04s^5+7.406e+08s^4+8.762e+12s^3+6.16e+16s^2+1.922e+20s+5.755e+23数字滤波器传递函数H(z)=0.3217z^6-0.8589z^5+1.532z^4-1.744z^3+1.532z^2-0.8589z+0.3217-------------------------------------------------------------------------------z^6-1.783z^5+1.665z^4-1.289z^3+0.9527z^2-0.391z+0.09063986.7数字域频带变换方法

99数字低通→数字低通

使用一阶全通函数100

数字低通→数字低通101数字低通→数字高通

102数字低通→数字带通

103数字低通→数字带阻

104数字低通变换到数字多通带将低通滤波器的通带位置多次旋转变换为单位圆上的多个通带位置，全通函数变换公式的参数确定

105

数字低通变换到数字多通带3.全通函数的分子分母系数

106

数字低通变换到数字多通带1076.7数字域频带变换方法

108数字低通→数字低通

使用一阶全通函数109

数字低通→数字低通110数字低通→数字高通

111数字低通→数字带通

112数字低通→数字带阻

1136.7.5基于Python的数字域频带变换

114

解：编写程序设计滤波器，调用zmapping函数，主要程序语句如下，完整代码请参考本书电子资源。OmegaP=2*Fs*np.tan(wp/2)OmegaS=2*Fs*np.tan(ws/2)N,OmegaC=signal.buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,As,analog=True)b,a=signal.butte