基本不等式(一)-高一上学期数学课时作业人教版A版（含解析）

PAGE基本不等式(一)(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是()A.4 B.43C.9 D.182.(5分)(2026·上海高一检测)已知实数a,b,下列四个不等式中正确且能取到等号的是()A.a+1aB.a2+2+C.a+bD.a2+b2≥2ab3.(5分)设a>0,则a+a+4a的最小值为(A.5 B.3 C.4 D.94.(5分)(2026·黄冈高一检测)已知x>0,则3-2x-4x的最大值为()A.3+42 B.3+22C.3-22 D.3-425.(5分)已知正数a,b满足ab=8,则a+2b取得最小值时a,b的值分别为()A.22,22 B.2,4C.42,2 D.4,26.(5分)(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则下列四组数对中,可作为数对(S,l)的有()A.(1,4) B.(6,8)C.(7,12) D.(16,16)7.(5分)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为,此时x=.

8.(5分)设x>0,则x+4x+1的最小值为9.(5分)(2026·哈尔滨高一检测)函数y=2x2-x+310.(10分)已知x>0,y>0,xy=4,求2x+1y【综合应用练】11.(5分)(2025·咸阳高一检测)已知x<1,则2x+2x-1的最大值是(A.-6 B.-4C.-2 D.612.(5分)(2025·青岛高一检测)设x,y>0且x+2y=40,则xy的最大值是()A.200 B.50 C.20 D.1013.(5分)若正实数a,b满足a2+b2=m,则a+b的最大值为(用m表示).

14.(10分)(2026·揭阳高一检测)若0<x<32,求4x(3-2x)的最大值15.(10分)若a>0,b>0且1a+1(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.

答案解析【基础全面练】1.(5分)若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是()A.4 B.43C.9 D.18【解析】选D.因为m>0,n>0,mn=81,所以m+n≥2mn=18,当且仅当m=n=9时,等号成立,故m+n的最小值是18.2.(5分)(2026·上海高一检测)已知实数a,b,下列四个不等式中正确且能取到等号的是()A.a+1aB.a2+2+C.a+bD.a2+b2≥2ab【解析】选D.对于A,取a=-1,则a+1a=-2<2,A错误;对于B,a2+22a2+2·即a2+2=1时取等号,而a2+2对于C,取a=2,b=4,则a+b2=3>对于D,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,则a2+b2≥2ab,D正确.3.(5分)设a>0,则a+a+4a的最小值为(A.5 B.3 C.4 D.9【解析】选A.因为a>0,所以a+a+4a=a+4a+1≥2a·4a+1=5,当且仅当a=4a4.(5分)(2026·黄冈高一检测)已知x>0,则3-2x-4x的最大值为()A.3+42 B.3+22C.3-22 D.3-42【解析】选D.当x>0时,3-2x-4x=3-2(x+2x)≤3-2·2x·2x当且仅当x=2时取等号,所以3-2x-4x的最大值为3-425.(5分)已知正数a,b满足ab=8,则a+2b取得最小值时a,b的值分别为()A.22,22 B.2,4C.42,2 D.4,2【解析】选D.因为a>0,b>0,所以a+2b≥22ab=22×8=8,当且仅当ab=8,a=2b,即a=4,b=2时,等号成立,即a+26.(5分)(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则下列四组数对中,可作为数对(S,l)的有()A.(1,4) B.(6,8)C.(7,12) D.(16,16)【解析】选ACD.设矩形的长和宽分别为x,y,则x+y=12l,S=由xy≤(x+y2)2知,S≤7.(5分)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为14,此时x=12【解析】因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤[x+(1-x)2]2=(12)2=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,“=”成立,即当8.(5分)设x>0,则x+4x+1的最小值为3【解析】因为x>0,所以x+1>1>0,所以x+4x+1=x+1+4x+1-1≥2(x+1)×49.(5分)(2026·哈尔滨高一检测)函数y=2x2-x+3x2【解析】y=2x2-x+3x=2+1x+1+3x+1-3当且仅当x+1=3x+1,即x=3-1时等号成立,故y的最大值为10.(10分)已知x>0,y>0,xy=4,求2x+1y【解析】因为xy=4,且x>0,y>0,所以2x+1y≥22xy当且仅当x=22,y=2时取等号,即2x+1y的最小值为【综合应用练】11.(5分)(2025·咸阳高一检测)已知x<1,则2x+2x-1的最大值是(A.-6 B.-4C.-2 D.6【解析】选C.因为x<1,所以1-x>0,所以2x+2x-1=2(x-1)+2x-1+2=-2[(1-x)+11-x]当且仅当1-x=11-x,即所以2x+2x-1的最大值是12.(5分)(2025·青岛高一检测)设x,y>0且x+2y=40,则xy的最大值是()A.200 B.50 C.20 D.10【解析】选A.依题意得xy=12×x×2y≤12×(x+213.(5分)若正实数a,b满足a2+b2=m,则a+b的最大值为2m(用m表示)【解析】(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2m,当且仅当a=b=2m2时取得等号,于是a+b≤14.(10分)(2026·揭阳高一检测)若0<x<32,求4x(3-2x)的最大值【解析】由0<x<32,得0<3-2x<3,则4x(3-2x)=2·2x(3-2x)≤2·(当且仅当2x=3-2x,即x=34时,等号成立,故4x(3-2x)的最大值为915.(10分)若a>0,b>0且1a+1(1)求a3+b3的最小值;【解析】(1)由ab=1a+1b