两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)-高一上学期数学课时作业人教版A版（含解析）

PAGE两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)tan3π4+tanA.3 B.-3 C.-332.(5分)(2025·大理高一检测)已知tan(π4-α)=-3,则cosα+sinαcosα-A.-3 B.3 C.13 D.-3.(5分)若α-β=60°,则tanα-tanβ-3tanαtanβ=()A.0 B.1 C.3 D.24.(5分)在△ABC中,内角A,B满足tanAtanB=3,则△ABC为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形5.(5分)已知sinα=55且α是锐角,tanβ=-3,且β为钝角,则α+β的值为()A.π4 B.π3 C.2π3 6.(5分)(多选)已知锐角α,β满足sinα-cosα=16,tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,则()A.π4<α<π2 B.β<πC.π4<α<β D.π4<β7.(5分)已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ=8.(5分)tan15°+tan105°=.

9.(5分)已知α,β为锐角,sinα=255,sin(α-β)=-101010.(10分)已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,α,β∈(0,π),求2α-β【综合应用练】11.(5分)(2026·枣庄高一检测)已知cos(π4-α)=35,sin(5π4+β)=-1213,α∈(π4,3π4),β∈(0,π4A.5665 B.-5665 C.1665 12.(5分)(多选)已知α,β均为锐角,且2sin(α+β)=3sin(α-β),则()A.tanα=5tanβB.5tanα=tanβC.若α+β=π4,则tanβ=D.tan(α-β)的最大值为213.(5分)已知锐角α,β满足(tanα-1)(tanβ-1)=2,则α+β的值为.

14.(10分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3.(1)求tan2α的值;(2)求tan2β的值.15.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.

答案解析【基础全面练】1.(5分)tan3π4+tanA.3 B.-3 C.-33【解析】选A.由题意可得tan=tan(3π4-5π12)=tanπ32.(5分)(2025·大理高一检测)已知tan(π4-α)=-3,则cosα+sinαcosA.-3 B.3 C.13 D.-【解析】选D.因为tan(π4-α)=-3,所以1-tanα1+tanα=所以cosα+sinαcos3.(5分)若α-β=60°,则tanα-tanβ-3tanαtanβ=()A.0 B.1 C.3 D.2【解析】选C.由α-β=60°,可得:tan(α-β)=tan60°=3,又因为tan(α-β)=tanα所以tanα-tanβ=3+3tanαtanβ,即tanα-tanβ-3tanαtanβ=3.4.(5分)在△ABC中,内角A,B满足tanAtanB=3,则△ABC为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形【解析】选A.由A,B∈(0,π),且tanAtanB=3>0,得A和B均为锐角,又tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB1又C∈(0,π),所以C也为锐角,故△ABC为锐角三角形.5.(5分)已知sinα=55且α是锐角,tanβ=-3,且β为钝角,则α+β的值为()A.π4 B.π3 C.2π3 【解析】选D.sinα=55且α是锐角,可得cosα=255,tanα又tanβ=-3,且β为钝角,故α+β∈(π2,3π2tan(α+β)=tanα+tanβ1α+β的值为3π46.(5分)(多选)已知锐角α,β满足sinα-cosα=16,tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,则()A.π4<α<π2 B.β<πC.π4<α<β D.π4<β【解析】选AB.因为α为锐角,sinα-cosα=16>0,sinα>cosα,tanα>1,所以π4<α<又tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,所以tan(α+β)=tanα所以α+β=π3,又α>π4,所以β<π7.(5分)已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ=2【解析】因为2tanθ-tan(θ+π4)=7,所以2tanθ-tan即2tanθ-2tan2θ-tanθ-1=7-7tanθ,即2tan2θ-8tanθ+8=0,即2(tanθ-2)2=0,解得tanθ=2.8.(5分)tan15°+tan105°=-23.

【解析】tan15°+tan105°=tan(45°-30°)+tan(45°+60°)=tan45°-tan30=-23.9.(5分)已知α,β为锐角,sinα=255,sin(α-β)=-1010,则tan(α+β)=【解析】因为α,β为锐角,所以0<α<π2,0<β<π2,所以-π2<α-β<π2,所以cos(α-β因为sinα=255,所以cosα=1-因为sin(α-β)=-1010,所以cos(α-β)=sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=255×31010所以cosβ=1-sin2β所以tan(α+β)=tanα+tanβ110.(10分)已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,α,β∈(0,π),求2α-β【解析】因为tanβ=-17,tan(α-β)=1所以tanα=tan[(α-β)+β]=tan(tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α因为tanα=13>0,tanβ=-17<0,所以α∈(0,π2),β∈(π2,π),所以α-β∈又因为tan(α-β)=12>0,所以α-β∈(-π,-π2),2α-β=α+(α-β)∈(-又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-3π4【综合应用练】11.(5分)(2026·枣庄高一检测)已知cos(π4-α)=35,sin(5π4+β)=-1213,α∈(π4,3π4),β∈(0,π4A.5665 B.-5665 C.1665 【解析】选A.因为α∈(π4,3π4),则π4-α∈(-π2,0),且cos(π4-α)=35,可得sin(π4-α又因为β∈(0,π4),则5π4+β∈(5且sin(5π4+β)=-1213,可得cos(5π4+β)=-所以sin(α+β)=sin[(5π4+β)-(π4-α)-π]=-sin[(5π4+β)-(=-sin(5π4+β)cos(π4-α)+cos(5π4+β)sin(π4-α)=-(-1213)×35+(-512.(5分)(多选)已知α,β均为锐角,且2sin(α+β)=3sin(α-β),则()A.tanα=5tanβB.5tanα=tanβC.若α+β=π4,则tanβ=D.tan(α-β)的最大值为2【解析】选ACD.由2sin(α+β)=3sin(α-β),得2(sinαcosβ+cosαsinβ)=3(sinαcosβ-cosαsinβ),即sinαcosβ=5cosαsinβ,由α,β为锐角,得cosα≠0,cosβ≠0,对于A,B,tanα=5tanβ,A正确,B错误;对于C,由α+β=π4,得tan(α+β)=tan即5tan2β+6tanβ-1=0,而tanβ>0,解得tanβ=14对于D,tan(α-β)=tanα-tan当且仅当5tanβ=1tanβ,即tanβ=13.(5分)已知锐角α,β满足(tanα-1)(tanβ-1)=2,则α+β的值为3π4【解析】由(tanα-1)(tanβ-1)=2,可得tanα+tanβ=tanαtanβ-1,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1由α,β是锐角,可得α+β∈(0,π),所以α+β=3π414.(10分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3.(1)求tan2α的值;【解析】(1)tan2α=tan[(α+β)-(β-α)]=tan(α+β(2)求tan2β的值.【解析】(2)tan2β=tan[(α+β)+(β-α)]=tan(α+β15.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离B