函数模型的应用-高一上学期数学课时作业人教版A版（含解析）

PAGE函数模型的应用(时间:45分钟分值:75分)【基础全面练】1.(5分)(2025·长春高一检测)根据统计,一名工人组装第x件产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,x<aca,x≥a(a,c为常数).A.75,25 B.75,16C.60,144 D.60,162.(5分)(2025·达州高一检测)声强级L(单位:dB)公式L=10lgI10-12,其中I为声强(单位:W/m2),繁忙的交通道路声强约为10-5W/m2,其声强级为()A.60dB B.70dBC.80dB D.90dB3.(5分)(2025·松原高一检测)核燃料是重要的能量来源之一,在使用核燃料时,为了冷却熔化核燃料,可以不断向反应堆注入水,但会产生大量放射性核元素污染的冷却水,称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚,它有可能辐射损伤细胞和组织,影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年,半衰期公式为:N=N0(12)tT,N0为初始值,T为半衰期,t为时间,则氚含量变成初始量的110(lg2≈0.3010)A.155年 B.159年C.162年 D.166年4.(5分)某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下()A.0.015克 B.(1-0.5%)3克C.0.925克 D.10005.(5分)某工厂生产一种溶液,按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,若使这种溶液的杂质含量达到市场要求,则过滤次数最少为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)()A.7 B.8 C.9 D.106.(5分)(多选)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5cm的管道中时,流量为1250cm3/s,则()A.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为162cm3/sB.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为152cm3/sC.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为4cmD.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为32cm7.(5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据M与小数记录法的数据N满足M=5+lgN.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6,则其视力的小数记录法的数据约为.(参考数据:10100008.(5分)西北某地区大力兴建防风林带,计划每年通过种植新的苗木使护沙林面积以相同的增长率增加.若通过5年时间可以使面积增加到原来的2倍,则增长率约为;以此速率增加,要使护沙林面积达到原来的5倍及以上,至少需要种植新苗木年(参考数据:lg2≈0.30,52≈1.15)9.(5分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2q10(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为个单位.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,其飞行速度是10.(10分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式;(2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【综合应用练】11.(5分)(2025·亳州高一检测)已知某种污染物的浓度C(单位:摩尔/升)与时间t(单位:天)的关系满足C=C0ek(t-1),其中C0是初始浓度(即t=1时该污染物的浓度),k是常数,第2天(即t=2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升,第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升,若第n天测得该污染物的浓度变为27C0,则n=()A.4 B.5 C.6 D.712.(5分)(多选)(2025·朝阳高一检测)按复利计算利息的储蓄,本金为a(单位:万元),每期利率为r,本利和为y(单位:万元),存期数为x.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金,当存期数为2时,本利和为1.1万元,当存期数为4时,本利和为1.21万元,则()A.y=a(1+r)xB.r>5%C.甲的本金为1万元D.当存期数为8时,甲的本利和超过1.44万元13.(10分)(2026·广东高一检测)舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x,则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析,将舆论事件出现起第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格:天数123舆论场指数1248156为研究舆论场指数的变化情况,技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据:①f(x)=ax+bx+c②f(x)=plogqx+g;③f(x)=m×nx+s,其中含x的项的系数均不为0.(1)请根据表格数据从①,②,③中选择一个最合适的函数模型,求出其函数解析式,并预测第4天时的舆论场指数;(2)若本次舆情不是严重的,求t的最小值.

答案解析【基础全面练】1.(5分)(2025·长春高一检测)根据统计,一名工人组装第x件产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,x<aca,x≥a(a,c为常数).A.75,25 B.75,16C.60,144 D.60,16【解析】选C.由题意可得:a>4,故c4=30c2.(5分)(2025·达州高一检测)声强级L(单位:dB)公式L=10lgI10-12,其中I为声强(单位:W/m2),繁忙的交通道路声强约为10-5W/m2,其声强级为(A.60dB B.70dBC.80dB D.90dB【解析】选B.在L=10lgI10-12中,当I=10-5W/m2时,L=10lg10所以所求声强级为70dB.3.(5分)(2025·松原高一检测)核燃料是重要的能量来源之一,在使用核燃料时,为了冷却熔化核燃料,可以不断向反应堆注入水,但会产生大量放射性核元素污染的冷却水,称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚,它有可能辐射损伤细胞和组织,影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年,半衰期公式为:N=N0(12)tT,N0为初始值,T为半衰期,t为时间,则氚含量变成初始量的110(lg2≈0.3010)A.155年 B.159年C.162年 D.166年【解析】选B.设氚含量变成初始量的110000大约需要经过t年,则(12)两边同时取倒数:12t=1log1两边同时取倒数整理得:t=48lg2≈4804.(5分)某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下()A.0.015克 B.(1-0.5%)3克C.0.925克 D.1000【解析】选D.设每年减少的比例为x,因此1克这种放射性元素,经过100年后剩余1×(1-x)100克,依题意得(1-x)100=0.5,所以x=1-1000.5,3年后剩余为(1-x)3,将x5.(5分)某工厂生产一种溶液,按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,若使这种溶液的杂质含量达到市场要求,则过滤次数最少为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选B.设经过n次过滤,这种溶液的杂质含量达到市场要求,则2100×(23)n≤即(23)n≤120,两边取对数,得nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥1+lg2lg36.(5分)(多选)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5cm的管道中时,流量为1250cm3/s,则()A.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为162cm3/sB.当气体在半径为3cm的管道中时,流量为152cm3/sC.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为4cmD.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为32cm【解析】选AC.依题意可设v=kr4,k为常数.当气体在半径为5cm的管道中时,流量为1250cm3/s,所以1250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,故A正确,B错误.由2r4≥512,解得r≥4,故C正确,D错误.7.(5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据M与小数记录法的数据N满足M=5+lgN.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.6,则其视力的小数记录法的数据约为0.4.(参考数据:1010000【解析】将M=4.6代入M=5+lgN,得lgN=-0.4,则N=10-0.4=1100.4=110108.(5分)西北某地区大力兴建防风林带,计划每年通过种植新的苗木使护沙林面积以相同的增长率增加.若通过5年时间可以使面积增加到原来的2倍,则增长率约为15%;以此速率增加,要使护沙林面积达到原来的5倍及以上,至少需要种植新苗木12年(参考数据:lg2≈0.30,52≈1.15)【解析】设增长率为x,初始面积记为m,依题意可得m(1+x)5=2m,即1+x=21故x=215-1≈0设种植n年后,护沙林面积达到原来的5倍及以上,则m(1+x)n≥5m,即(1+x)n≥5,因为1+x=215,则2n5≥5,即n5≥log25=lg5lg2=1-所以至少需要种植新苗木12年.9.(5分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2q10(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为10个单位.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,其飞行速度是15m/s【解析】由题意,燕子静止时v=0,即5log2q10解得q=10;当q=80时,v=5log28010=15(m/s)10.(10分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式;【解析】(1)根据题意可知,当销售利润0≤x≤20时,y=0.1x;当x>20时,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15);所以可得奖金y关于销售利润x的关系式为y=0.(2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(2)易知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元,所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31;即业务员老江的销售利润是31万元.【综合应用练】11.(5分)(2025·亳州高一检测)已知某种污染物的浓度C(单位:摩尔/升)与时间t(单位:天)的关系满足C=C0ek(t-1),其中C0是初始浓度(即t=1时该污染物的浓度),k是常数,第2天(即t=2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升,第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升,若第n天测得该污染物的浓度变为27C0,则n=()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选D.由题设C0ek(2-1)=C0ek=5C0ek(4可得n-12=3⇒12.(5分)(多选)(2025·朝阳高一检测)按复利计算利息的储蓄,本金为a(单位:万元),每期利率为r,本利和为y(单位:万元),存期数为x.已知甲按照这种储蓄存入了一笔本金,当存期数为2时,本利和为1.1万元,当存期数为4时,本利和为1.21万元,则()A.y=a(1+r)xB.r>5%C.甲的本金为1万元D.当存期数为8时,甲的本利和超过1.44万元【解析】选ACD.由题意得y=a(1+r)x,则a(1+因为(1+5%)2=1.1025>(1+r)2=1.1,所以r<5%,A,C正确,B错误.当x=8时,y=(1+r)8=(1+r)4·(1+r)4=1.212>1.22=1.44,D正确.13.(10分)(2026·广东高一检测)舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标,它通常通过大数据分析技术,对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析,从而得出一个量化的指数,以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前x天(x≥1),若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指