高中数学 加练 综合练8

综合练8(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知复数z满足z1-i=-2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析由复数z满足z1-i=-2+i则z=(1-i)(-2+i)=-1+3i，可得z=-1-3i，故复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(-1，-3)，位于第三象限.2.已知点A(x0，y0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O为坐标原点，若|AF|=3p2，|AO|=23，则此抛物线的准线方程为(A.x=-4 B.x=-3C.x=-2 D.x=-1答案D解析因为x0+p2=3所以x0=p，y0=2p.又p2+(2p)2=12，所以p=2，准线方程为x=-1.3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3=a4-2，S2=a3-2，则公比q等于()A.2 B.-2 C.12 D.-答案A解析由已知，S3=a4-2，S2=a3-2，两式相减得，S3-S2=a3=a4-a3，即a4=2a3，即q=a4a4.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)向左平移φ个单位长度后在区间0，π2上单调递增，则φ等于A.π3 B.π2 C.π答案B解析函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移φ个单位长度后为f(x+φ)=sin(2x+3φ)，当x∈0，π2时，2x+3φ因为f(x+φ)=sin(2x+3φ)在区间0，π2上单调递增，所以-π即-π6+2可得φ=-π6+2kπ3(k又0<φ<π，所以φ=π25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是CB边的中点，过点C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，则BF等于()A.34 B.C.23 D.答案C解析方法一设AF=λAB，∵AD⊥CF，∴AD·CF=0，又D是CB边的中点，∴AD=12(AC+∴12(AC+AB)·(AF-AC∴(AC+AB)·(λAB-AC)=0，∴(λ-1)AB·AC+λAB2-AC2=0，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=12+12=2，且∴AC2=1，AB2=2，AB·AC=2×1×2代入①得(λ-1)+2λ-1=0，解得λ=23∴AF=23∴BF=13AB=2方法二∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，又∵AC=1，AD为中线，∴CD=BD=12∴AD=AC2+CD∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴AD·CE=AC·CD，即CE=AC·CDAD=1×1∴DE=CD2-CE过点F作FH⊥CB交CB于点H，如图，∴∠FHB=90°，∵tan∠FCB=DECE=FH设FH=HB=x，0<x<1，则CH=1-x，∴51055=x1-x，解得x=136.设2a=πb=6c<1，则()A.6c<πb<2a B.2a<6c<πbC.πb<2a<6c D.6c<2a<πb答案D解析方法一由题可知a，b，c均为负数，设2a=πb=6c=t，则0<t<1，1a=logt2，1b=logtπ，1c=log所以πa=logt2π>logtπ2=2b(根据函数y=2x与y=x2的图象知，当2<x<4时，x2>2x，故π2>2π由ab>0得2a<πb；6a=logt64<logt36=2由ac>0得6c<2a.所以6c<2a<πb.方法二设2a=πb=6c=t，则0<t<1，a=log2t=lntln2，b=logπt=lntlnπ，c=log6所以2a=2lntln2，πb=πlntlnπ，6设f(x)=xlnx(x>0且x≠1则f'(x)=lnx当x>e时，f'(x)>0，故f(x)在e，又易知f2=f4，所以f6>f4=f2>fπ>0，所以πlnπ<4ln4=2ln2又lnt<0，所以6c<2a<πb.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远、铅球、跳高分别为事件A，B，C，则下列结论正确的是()A.P(A∪B)=2B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C.P(AB|C)=1D.P(B|A)=P(B)答案ACD解析由题意得P(A)=2448=12，P(B)=1648P(C)=1248=14，P(AB)=848P(BC)=448=112，P(AC)=648P(ABC)=348=1P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=12+13-16=2P(A)P(B)P(C)=12×13×14=124≠P(ABCP(AB|C)=P(ABC)P(C)P(B|A)=P(AB)P(A)=1612=8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23a·sin2A+C2=b·sinAA.B=πB.若a=4，b=5，则△ABC有两解C.当a-c=33b时，△ABCD.若△ABC为锐角三角形，则cosA+cosC的取值范围是3答案ACD解析对于A，因为23a·sin2A+C2=b·所以由A+B+C=π及正弦定理得，23sinA·sin2π-B2=sinB·sin由诱导公式得，23sinA·cos2B2=sinB·sin因为A∈(0，π)，故sinA≠0，所以23cos2B2=2sinB2cos化简得cosB23即cosB2sinB2所以cosB2=0或sinB2即B=π(舍去)或B=π3，故A对于B，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即25=16+c2-8×c×12，得c2-4c-9=0由Δ=(-4)2-4×(-9)=52>0，所以c=2+13(负值舍去)，即△ABC有一解，故B错误；对于C，因为a-c=33b，所以a>c两边平方得a2-2ac+c2=b2由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，由两式消去b2得，2a2-5ac+2c2=0，解得a=2c或a=12c(舍去)则b=3c，又B=π3，解得A=π故△ABC为直角三角形，故C正确；对于D，cosA+cosC=cosA+cos2π=12cosA+32sinA=sin因为△ABC为锐角三角形，且B=π3所以0<A<π2，0<C所以A+π6∈π所以sinA+π6∈32三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知曲线f(x)=lnx+x2a在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为π3，则a答案3+1解析f(x)=lnx+x2a的导数f'(x)=1x∵曲线f(x)在x=1处的切线的倾斜角为π3∴f'(1)=1+2a=3∴2a=3-1∴a=3+1.10.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，且AB⊥BC.记直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，已知β=2α=60°，当三棱锥P-ABC的体积最小时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为.答案16π解析设点P在平面ABC内的射影为P'，因为直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，且β=2α=60°，则α=30°，|P'P|=3|P'C|，|P'P|=33|P'A|于是3|P'C|=|P'A|，以AC为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图.令P'(x，y)，由AB=BC=22，AB⊥BC，得A(-2，0)，B(0，2)，C(2，0)，则3(=(x化简得x-522+y因此点P'在以52，0当|P'C|最小时，|P'P|最小，即三棱锥P-ABC的体积最小，此时P'(1，0)，|P'C|min=2-1=1，|P'P|min=3，|P'A|=3，则|PA|=23，|PC|=2，则|PA|2+|PC|2=|AC|2，因此点P在底面ABC上的射影P'在AC上，且∠APC=90°，又∠ABC=90°，显然AC的中点到点B，P，A，C的距离相等，此时三棱锥P-ABC的外接球的球心为AC的中点，外接球的半径R=12AC=2表面积为4π×22=16π.四、解答题(共28分)11.(13分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12(1)求椭圆C的标准方程；(3分)(2)若B14，0，直线l过C的右焦点且与C交于P①求|PB|的最小值；(4分)②若AP∥BQ，求直线l的方程.(6分)解(1)因为e=ca=12，a所以c=1，b2=a2-c2=3，故椭圆C的标准方程为x24+y(2)①设P(x0，y0)(-2≤x0≤2)，则x024+所以|PB|=x=x=x0又x0∈[-2，2]，所以当x0=1时，|PB|的最小值为35②由题意，右焦点为F2(1，0)，直线l的斜率不为0，设l的方程为x=my+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为AP∥BQ，所以△APF2∽△BQF2，则AF2|BF2|故3PF2=4F2Q，可得y1=-由x消去x，得(3m2+4)y2+6my-9=0，则Δ=36m2-4(3m2+4)×(-9)>0，y1+y2=-6m3m2+4，y1从而y1+y2=-13y2=-6y2=18my1y2=-43y2y22=274可得18m3m2+4即m2=445，所以m=±2故直线l的方程为35x+2y-35=0或35x-2y-35=0.12.(15分)已知函数f(x)=ex+ax2-e，a∈R.(1)若f(x)无极值点，求实数a的取值范围；(6分)(2)当x≥0时，f(x)≥12x3+x-e+1恒成立，求实数a的取值范围.(9分解(1)方法一易知f'(x)=ex+2ax，由f(x)无极值点可知，f'(x)无变号零点，令ex+2ax=0， (*)显然当a=0时，(*)无解，此时f(x)无极值点，满足题意；故当a≠0时，(*)可变形得xex=-令g(x)=xex，原问题等价于g(x)的图象与直线y=-又g'(x)=1-x则当x∈(-∞，1)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减.又x→-∞，g(x)→-∞；x→+∞，g(x)→0，g(1)=1e可得g(x)的图象如图，由图可知-12a≥解得-e2≤a<0综上，-e2≤a≤0方法二设g(x)=f'(x)=ex+2ax，则g'(x)=ex+2a.①当a>0时，g'(x)>0在R上恒成立，g(x)在R上单调递增，因为g-12a=e-12a-1<0所以g(x)有一个变号零点，即为f(x)的一个极值点，不符合题意；②当a=0时，g(x)>0在R上时恒成立，即f(x)无极值点；③当a<0时，令g'(x)=0，则x=ln(-2a)，当x<ln(-2a)时，g'(x)<0；当x>ln(-2a)时，g'(x)>0，所以g(x)在(-∞，ln(-2a))上单调递减，在(ln(-2a)，+∞)上单调递增，故g(x)min=g(ln(-2a))=-2a+2aln(-2a)，若g(x)min<0，则-1+ln(-2a)>0，即a<-e2当x→-∞时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞，故当g(ln(-2a))<0时，g(x)有两个零点，此时f(x)有两个极值点，不符合题意；当g(ln(-2a))≥0时，g(x)≥0在R上恒成立，即f(x)无极值点，由g(ln(-2a))≥0解得-e2≤a<0综上所述，-e2≤a≤0(2)方法一由f(x)≥12x3+x-e+1ex≥12x3-ax2+x+1即1≥e-x12令φ(x)=e-x12x即当x≥0时，φ(x)≤0恒成立，易知φ(0)=0，φ'(x)=-12xe-x[x2-(2a+3)x+4a+2=-12xe-x(x-2)(x-2a-1)若2a+1≤0，即a≤-12则当x∈(0，2)时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，不符合题意；若0<2a+1<2，即-12<a<1则当x∈(0，2a+1)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，当x∈(2a+1，2)时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增，当x∈(2，+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，又φ(0)=0，故令φ(2)=e-212=7-e2-4解得a≥7-e24，即7-e2若2a+1=2，即a=12，则φ'(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，故φ(x)在[0，+∞)上单调递减，φ(x)≤φ(0)=0若2a+1>2，即a>12则当x∈(0，2)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，当x∈(2，2a+1)时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增，当x∈(2a+1，+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，故φ(2a+1)=e-(2a+1)12=e-(2a+1)2a2记h(a)=e-(2a+1)2a2+4a+5则h'(a)=-e-(2a+1)(2a+1)2<0恒成立，所以h(a)在12所以h(a)<h12=5e2-1<0，即φ(2a+1即对于任意a>12，φ(x)≤0综上所述，a的取值范围是7-e方法二①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R.②当x>0时，可得a≥12设h(x)=12x3+则h'(x)=(2-=(2-=(2-=(2-x设m(x)=ex-12