高中数学 加练 专题7　第65练　空间距离及立体几何中的探索性问题_第1页
高中数学 加练 专题7　第65练　空间距离及立体几何中的探索性问题_第2页
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第65练空间距离及立体几何中的探索性问题(分值：30分)1.(15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1.(1)求平面A1EC与平面A1EB夹角的余弦值；(8分)(2)若点P在侧面A1ABB1上，且点P到直线BB1和CD的距离相等，求点P到直线AD1距离的最小值.(7分)解(1)以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则D(0，0，0)，C(0，3，0)，A(2，0，0)，E(2，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，则EC=(-2，2，0)，A1E=(0，1，-2设平面A1EC的法向量为n=(x，y，z)，则n·A令z=1，则x=y=2，所以n=(2，2，1)为平面A1EC的一个法向量，又DA=(2，0，0)为平面A1EB的一个法向量，所以|cos〈DA，n〉|=|DA·n||所以平面A1EC与平面A1EB夹角的余弦值为23(2)设P(2，a，b)，a∈[0，3]，b∈[0，2]，根据题意有3-a=b2+4，即b2=(3-a)2-4，AP=(0，a，b)，AD1=(-2，0则点P到AD1的距离d=AP2-=a2+12b2=a当a=1时，d取得最小值1.所以点P到AD1距离的最小值为1.2.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1.(1)求点A到平面PBC的距离；(8分)(2)在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.(7分)解(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，且BE⊥AD，BE⊂平面ABCD，故BE⊥平面PAD.以E为原点，EB，ED所在直线分别为x，y轴，过点E且平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则E(0，0，0)，A(0，-2，0)，P(0，-2，2)，B(2，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，所以PB=(2，2，-2)，BC=(-1，2，0)，AP=(0，0，2)，设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则n·PB令y=1，得平面PBC的一个法向量为n=(2，1，3)，所以点A到平面PBC的距离为d=|AP·n||(2)由(1)知，平面PBC的一个法向量为n=(2，1，3)，线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC等价于DM·n=0.因为PE=(0，2，-2)，设PM=λPE=(0，2λ，-2λ)，λ∈[0，1]，则M(0，2λ-2，2-2λ)，DM=(0，2λ-4，2-2λ)，所

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