高中数学 加练 专题8　第74练　离心率的范围问题

第74练离心率的范围问题(分值：37分)关于圆锥曲线离心率(范围)问题处理的主体思想是：建立一个关于a，b，c的方程(或不等式)，然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式，一般建立方程有两种方法：①利用圆锥曲线的定义建立方程；②利用题中的几何关系建立方程.另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不同)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围.一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.如图，椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.5-22C.0，5答案C解析设B1(0，-b)，B2(0，b)，F2(c，0)，A2(a，0).所以B2A2=(a，-b)，F2B1=(-因为∠B1PB2为钝角，所以F2B1所以B2A2·F2B1=-ac+b2>0，即a2-c2-ac>0，两边同时除以a2并化简，得解得-5-12<e<5-12，又0<e<1，所以2.双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，B为虚轴的上端点，若直线BF2上存在两点Pi(i=1，2)使得A1Pi⊥A2Pi(i=1，2)，且过双曲线的右焦点F2A.3<e<5 B.2<e<5C.1+52<e<3 D.2<e答案D解析直线BF2上存在两点Pi(i=1，2)使得A1Pi⊥A2Pi(i=1，2)等价于以线段A1A2为直径的☉O与直线BF2相交，由已知☉O：x2+y2=a2，lBF2：xc即bx+cy-bc=0，∴bcb2+即b2c2<a2(b2+c2)，即(c2-a2)c2<a2(2c2-a2)，即ca4-3c又∵e=ca>1，解得1<ca<又过双曲线的右焦点F2作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则ba>1，∴c2-a2a综上，双曲线离心率的取值范围是2<e<1+53.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点.若AQ∥PF2A.(3，+∞) B.[2+1，+∞)C.(2+1，+∞) D.(3，2+1]答案C解析如图所示，根据题意可得F1(-c，0)，F2(c，0)，A(a，0)，设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y=y1x1+c(所以直线PF1与y轴的交点Q0，由AQ∥PF2可得kAQ=kPF2，即c整理得(a+c)x1=c2-ac，即x1=c2又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a，当x1=a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1>a，可得x1=c2-ac整理得c2-a2-2ac>0，即e2-2e-1>0，解得e>2+1或e<1-2(舍去)，即双曲线E的离心率的取值范围为(2+1，+∞).二、多项选择题(每小题6分，共12分)4.设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，设|PF1|=k|PF2|，且k∈3A.当k=2时，e=33B.e随着k的增大而增大C.e可能等于3D.e可能等于2答案ABD解析因为线段PF1的中点在y轴上，O是F1F2的中点，所以PF2⊥x轴，因为|PF1|=k|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF1|=2ka1+k，|PF2又PF1|2-即2ka1+k2-2a1+k2=4c2对于A，当k=2时，e2=k-1k+1=13，对于B，e2=k-1k+1=1-2k+1，k∈3对于C，e2=k-1k+1=34，解得k对于D，e2=k-1k+1=12，解得k=3，满足k5.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，直线l是双曲线C的一条渐近线，F2关于直线l的对称点为F2'，以F1F2'为直径的圆与直线lA.54 B.43 C.答案ABC解析不妨设直线l的方程y=bax，即bx-ay=0则F2(c，0)到直线l的距离d=bca2+设F2F2'与直线l交于点M(图略)，由F2关于直线l的对称点为F2'，则M为F2F2'的中点，且F2F2'⊥l，|OM|=c2-d又∵O为F1F2的中点，故F1F2'∥l，且|F1F2'|=2|OM|=2a，∵以F1F2'为直径的圆与直线l有公共点，F1F2'与直线l的距离为b，故a≥b，故a2≥c2-a2，即e=ca≤2，又e>1∴1<e≤2.三、填空题(每小题5分，共10分)6.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的A，B两点满足∠AFB答案2解析设F(c，0)，A(x0，y0)(y0≠0)，B(-x0，-y0)，则FA=(x0-c，y0)，FB=(-x0-c，-y0)，由已知可得FA·FB=0，即(x0-c)(-x0-c)-y02=0，整理得c2=x0因为x02a2+y02b2=1，所以y02=b2-b2x02a2，所以c2=又x02=a2-a2y02b2<a2，所以b又b2=a2-c2，所以a22≤c2<a所以12≤c2a2<1，即12≤e2<1，又0<e<1，所以7.如图，F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形ABF2F1为等腰梯形，且|AF1|=|F1F2|=|BF2|=2c.若∠ABF2<答案1解析因为|F1F2|=|BF2|=2c，由双曲线的定义可知，|BF1|=2a+2c，又四边形ABF2F1为等腰梯形，且∠AB