高中数学 加练 专题1　第2练　基本不等式

第2练基本不等式(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知0<x<12，则函数y=x(1-2x)的最大值是(A.12 B.14 C.18答案C解析∵0<x<1∴1-2x>0，∴x(1-2x)=12×2x(1-2x)≤12×2当且仅当2x=1-2x，即x=14时等号成立因此，函数y=x(1-2x)0<x<12.若x>12，则函数f(x)=x+22xA.22 B.22+1C.4 D.5答案D解析因为x>12，所以2x所以f(x)=x+22x-1=12(2x-1)+22x-1+12≥212(2x-1)·22x-1+1所以函数f(x)=x+22x-13.已知x<3，则x-3x2-3A.-1 B.7 C.-3 D.23答案A解析因为x<3，所以3-x>0，设t=3-x，则t>0，x-3x2-3=1-t+4当且仅当t=4t，即t=2，x=1所以x-3x24.已知a>0，b>0，且ab+2a+b-3=0，则a+b的最小值为()A.32 B.C.25-3 D.26-3答案C解析由ab+2a+b-3=0，得a=3-则a+b=3-bb+2+b=5b+2+b-1=5b+2+(b+2)-3当且仅当a=5-1，b=5-2时取等号.所以a+b的最小值为25-3.5.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若2x+y<m2-8m有解，则实数m的取值范围为(A.(-∞，-1)∪(9，+∞)B.(-∞，-1]∪[9，+∞)C.(-9，-1)D.[-9，-1]答案A解析因为x>0，y>0，且2x+1y所以2x+y=(2x+y)2x+1y=5+5+22xy当且仅当2xy=2yx，且2x+1y=1，即x=y=3时取等号，此时若2x+y<m2-8m有解，则9<m2-8m，解得m>9或m<-1，即实数m的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞).6.已知a，b∈R，若4a2+b2·a2+4b2a2+b2的最大值为m，且关于x的不等式x2-ax+b<0A.3 B.43 C.7 D.11答案D解析根据不等式xy≤x2+y22可得4a2+b2·a2+4当且仅当4a2+b2=a2+4b2，即a2=b2时等号成立，所以4a2+b2·所以关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为(1，5).根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可知，1和5是关于x的方程x2-ax+b=0的两个根，所以有1+5=a，1×5=b，二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是()A.a2+b2≥8 B.1ab≥C.ab≥2 D.1a+1b答案AB解析由题意可得，16=(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以ab≤4，则2ab≤8，所以a2+b2=16-2ab≥16-8=8，故A正确；因为4=a+b≥2ab，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以ab≤2，ab≤4，因为a>0，b>0，所以ab>0，所以1ab≥14由选项B可知，ab≤2，故C因为1a+1b=142+ba+ab≥14×(2+2)=1，当且仅当a=b=28.(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1答案BC解析因为ab≤a+b22≤a2+b2由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2-xy=1可变形为x-y22+3设x-y2=cosθ，32y=sin所以x=cosθ+33sinθ，y=233sin因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+233sinθcosθ=1+33sin2θ-13cos=43+23sin2所以当x=33，y=-33时满足x2+y所以x2+y2≥1不成立，所以D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)9.函数y=(x+5)(x+2)x+1(答案9解析因为x>-1，则x+1>0，所以y=[=(=(x+1)+4x≥2(x+1)当且仅当x+1=4x+1，即x所以函数的最小值为9.10.已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则m2m+2+n答案1解析方法一因为m≥0，n≥0，m+n=1，所以m+2>0，n+1>0，不妨设a=m+2>0，b=n+1>0，则m=a-2，n=b-1，a+b=m+n+3=4，则m2m+2+n2=a2-4a+4a+b2-2b=4a+1b-2=144a+=145+4ba当且仅当a=2b，即m+2=2n+2，m=2n=23时取等号，故m2m+