高中数学 加练 专题3　第34练　隐零点问题

第34练隐零点问题(分值：30分)隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解.一般难度较大.1.(15分)已知函数f(x)=lnx(1)求函数f(x)的最大值；(5分)(2)若aex-1≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围.(10分)解(1)f(x)=lnx+x+2x的定义域为(0f'(x)=1x+1当0<x<1e时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1e时，f'(x)<0，f(x)故当x=1e时，f(x)取得最大值f

1e=e1+(2)由aex-1≥f(x)可得a≥ln令g(x)=lnx+x+2xex化简可得g'(x)=-(ln由于x>0，故1+xx又函数y=lnx，y=x+1均为增函数，因此p(x)=lnx+x+1也是增函数，且p(1)=2>0，p(e-2)=e-2-1<0，因此存在唯一x0∈(e-2，1)，使得p(x0)=0，即lnx0+x0+1=0，且当x>x0时，p(x)>0，g'(x)<0，g(x)单调递减；当0<x<x0时，p(x)<0，g'(x)>0，g(x)单调递增，由lnx0+x0+1=0可得x0ex0+1=1，进而x0故g(x)max=g(x0)=lnx0+x0因此a≥g(x)max=e2，故a的取值范围为[e2，+∞).2.(15分)已知函数f(x)=(x-a)ex+a(a∈R).(1)求f(x)的单调区间；(4分)(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值集合；(5分)(3)若a≤1，证明：当x>0时，f(x)+ex≥x+lnx+2.(6分)(1)解因为f(x)=(x-a)ex+a，所以f'(x)=(x-a+1)ex.当x<a-1时，f'(x)<0，当x>a-1时，f'(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为(-∞，a-1)，单调递增区间为(a-1，+∞).(2)解由题可知f(x)min≥0，由(1)可知，当x=a-1时，函数f(x)有最小值f(a-1)=-ea-1+a，所以-ea-1+a≥0，a≥ea-1>0，即a-1≤lna，lna-a+1≥0，设t(x)=lnx-x+1，x>0，t'(x)=1x-1=当x∈(0，1)时，t'(x)>0，t(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，t'(x)<0，t(x)单调递减，所以t(x)max=t(1)=ln1-1+1=0，所以a=1，故a的取值集合为{1}.(3)证明要证明f(x)+ex≥x+lnx+2，即证xex+ex-x-lnx-2≥a(ex-1)，因为a≤1，且x>0，所以a(ex-1)≤ex-1，故只需证明xex+ex-x-lnx-2≥ex-1，即证xex-x-lnx-1≥0.设g(x)=xex-x-lnx-1，x>0，则g'(x)=(x+1)ex-1-1x=(x+1)e易知g'(x)在(0，+∞)上单调递增，且g'12=32(e-2)<0，g'(1)=2(所以存在唯一的x0∈12，1，使得g'(x0)=0，即ex0=1x当0<x<x0时，g'(x)<0，当x>x0时，g'(x)>0，所以g(