高中数学 加练 专题4　第36练　三角函数的运算

专题4三角函数与解三角形第36练三角函数的运算(分值：52分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知角θ的终边上有一点(1，2)，则sin(π-θ)+cosπ2A.-2 B.2 C.-3 D.3答案B解析由三角函数的定义，得tanθ=2.由诱导公式，得sin(π-θ)+cos=2sinθ2cosθ=tan2.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π6 B.π3 C.3答案D解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB=2π3，作OM⊥AB，垂足为M在Rt△AOM中，AO=r，∠AOM=π3∴AM=32r，AB=3r，∴l=3r由弧长公式得α=lr=3rr3.已知tanθ+π4=2tanθ-7，则sin2θ等于A.255 B.±255 C.答案D解析因为tanθ+π4=tanθ+tanπ4整理得tan2θ-4tanθ+4=0，解得tanθ=2，所以sin2θ=2sinθcosθsin4.若cosα-3cosβ=22，sinα+3sinβ=1，则cos(α+β)等于()A.-16 B.16 C.-14答案B解析因为cosα-3cosβ=22，sinα+3sinβ=1，所以(cosα-3cosβ)2=8，(sinα+3sinβ)2=1，即cos2α-6cosαcosβ+9cos2β=8，sin2α+6sinαsinβ+9sin2β=1，两式相加得10-6(cosαcosβ-sinαsinβ)=9，即6cos(α+β)=1，所以cos(α+β)=165.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为5-12≈0.618，这个值被称为黄金比例.若t=5-12，则1-2siA.5+14C.12 D.答案D解析依题意，得t=sin36°sin72°=sin144°sin72°=2cos则1-2sin2=cos54°4cos72°4si=sin36°4sin144°=16.当α，β∈0，π2时，4sinαcos2α-β2-sinβ=2sinα，则cos(2α-A.-1 B.0 C.12答案D解析因为4sinαcos2α-β2-sinβ=2sin所以2sinα[1+cos(α-β)]-sinβ=2sinα，所以2sinαcos(α-β)=sinβ，因为sin[α-(α-β)]=sinβ，所以2sinαcos(α-β)=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)，所以sinαcos(α-β)+cosαsin(α-β)=0，即sin(2α-β)=0，因为当α，β∈0，π2时，-π2<2α所以2α-β=0，则cos(2α-β)=1.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知sinα-π4=7210，cos2α=A.sinα-cosα=7B.sinα+cosα=1C.tanα-D.sin2α=24答案AC解析∵sinα-π4=22(sinα-cosα∴sinα-cosα=75， 又∵cos2α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)=725∴sinα+cosα=-15， 故A正确，B错误；由①②得sinα=35，cosα=-45，tanα=-∴sin2α=2sinαcosα=-2425，tanα-π4=tanα-11+tan8.在△ABC中，若tanA+B2=sinC，则下列结论正确的是A.tanAB.1<sinA+sinB≤2C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C答案BD解析由tanA+B2⇒tanπ2-C2=2sinC2cosC因为0<C2<π2，所以cosC2所以1=2sin2C2⇒1-2sin2C⇒cosC=0⇒C=π2所以tanB=tanπ2-A=1tanA，tanAtanB因为sinA+sinB=sinA+cosA=2sinA+π4，0<A<π2⇒π4<A所以22<sinA+π4≤1⇒1<2sin从而有1<sinA+sinB≤2，B正确；因为cosB=cosπ2-A=sinA，所以sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C，D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.求值：sin220°(tan10°-3)=.答案1解析原式=-sin40°sin10°=-sin40°·sin10°-=-sin40°·2sin(-50°)=2sin40°sin50°=2sin40°cos40°=sin80°cos10°=110.已知α，β∈(0，π)，sin(α-β)=56，tanαtanβ=-14，则α答案7π解析tanαtanβ=sinαcosα·cosβsinβ=-14，故cosα又sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=56故sinαcosβ+4sinαcosβ=5sinαcosβ=56解得sinαcosβ=16故cosαsinβ=-4sinαcosβ=-23则sin(α+β)=sinαcosβ+cos