高中数学 加练 专题6　第54练　数列求和_第1页
高中数学 加练 专题6　第54练　数列求和_第2页
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第54练数列求和(分值：30分)1.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n(1)求数列{an}的通项公式；(6分)(2)若bn=nlog2an+1，求2n+1bn2的前n项和Tn，并证明：34≤T解(1)∵2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n∴当n≥2时，2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=4n两式相减得2nan=4n+1-43-∴当n≥2时，an=2n，当n=1时也符合，∴an=2n.(2)由(1)可知bn=nlog2an+1=nlog22n+1=n(n+1)，则2n+1bn2=2∴Tn=1-122+122-132+…+∵2n+1bn∴2n∴Tn≥T1=34又∵Tn=1-1(n∴34≤Tn<12.(17分)已知数列{an}是等差数列，且a2n=2an+1，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=2n-1，a2=2b2-1.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(7分)(2)求数列anbn的前n项和Qn.解(1)由数列{bn}的前n项和为Tn=2n-1，可知b1=T1=1，bn=Tn-Tn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1(n≥2，n∈N*)，经检验，当n=1时，b1=1也满足上式，所以bn=2n-1.在等差数列{an}中，因为a2=2b2-1=2×2-1=3，a2n=2an+1，设等差数列{an}的公差为d，所以a2=所以an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)由(1)知，anbn=2n-12n-1=所以Qn=1×120+3×121+5×122+…+(2n-3)×12n-2则12Qn=1×121+3×122+5×123+…+(2n-3)×12n两式相减，得12Qn=1+2121+122+=1+2

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