高中数学 加练 专题6　第57练　增减项问题

第57练增减项问题(分值：30分)增减项问题的解题策略解决此类问题的关键是理解题意，弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)即可.1.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn=(n-1)2n+1+2，n∈N*.(1)求{an}的通项公式；(5分)(2)若bn=ann，抽去数列{bn}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，求{cn}的前2025项和T2025.(8解(1)由Sn=(n-1)2n+1+2，得a1=2，Sn-1=(n-2)2n+2(n≥2)，两式相减得an=n·2n(n≥2)，当n=1时，a1=2满足上式，所以an=n·2n(n∈N*).(2)由题知，bn=ann=2所以数列{cn}为22，23，25，26，28，29，…，它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列；偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列，所以T2025=(c1+c3+c5+…+c2025)+(c2+c4+c6+…+c2024)=4×(1-=4×81013-472.(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=b1，a2=5，a3+a4=19，S11=11(b4+1).(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(5分)(2)对任意的正整数n，设cn=(an-1)bn-2(b(3)若对于数列{an}，在ak和ak+1之间插入bk个1(k∈N*)，组成一个新的数列{dn}，记数列{dn}的前n项和为Tn，求T2025.(5分)解(1)在等差数列{an}中，a2+a5=a3+a4=19，而a2=5，解得a5=14，公差d=a5-则an=a2+(n-2)d=3n-1；设等比数列{bn}的公比为q，b1=a1=2，由S11=11(b4+1)，得11(a1+a11)2=11(即2q3+1=a6=17，解得q=2，bn=b1qn-1=2n，所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n-1，bn=2n.(2)由(1)得，当n为奇数时，cn=(an-1)bn-2(则nΣi=1c2i-1=121+1-323+1+323+1-5当n为偶数时，cn=(-1)n2(n-1)bn=(-1)n2(n-1)·2n，c2i=(-1)i(2i-1)·22i=(2i-1)·(nΣi=1c2i=1·(-4)+3·(-4)2+5·(-4)3+…+(2n-1)·(-4)则-4nΣi=1c2i=1·(-4)2+3·(-4)3+5·(-4)4+…+(2n-3)·(-4)n+(2n-1)·(-4)n两式相减得5nΣi=1c2i=1·(-4)+2·(-4)2+2·(-4)3+…+2·(-4)n-(2n-1)·(-4)=-4+32[1-(-4)n-1]1-(-4)-(2n-1)·(-4)n+1=125-因此nΣi=1c2i=1225-10n-325·所以2nΣi=1ci=nΣi=1c2i-1=6175-2n+122n+1+1-(3)依题意，数列{dn}为a1，1，1，a2，1，1，1，1，a3，1，1，1，1，1，1，1，1，a4，…，ak，1，1，…，12ak+1前的总项数为k+2+22+…+2k=k+2(1-2k)1-2=k-2+2k+1，k数列{k-2+2k+1}是递增数列，当k=9时，k-2+2k+1=7+210=1031<2025，当k=10时，k-2+2k+1=8+211=2056>2025，