天津市五区县重点校2024-2025学年高一年级上册1月期末联考数学试卷（原卷和解析）

天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

第I卷(共36分)

一、选择题(本题共9个小题，每题4分，共36分)

1.三知集合〃十2，。，】，3,5},"={上<1},则“（”,）=（）

A.{0,1,3,5}B.{3,5}

C.{0,3,5}D.{1,3,5）

2.sin240°=（）.

A—B.--C.yD.--

•2222

71

3.若满足。=sin—,力=2叱c=log§2,则（）

6

A.c<a<bB.h<c<aC.a<c<bD.c<b<a

4.下列四个命题中为真命题的是（〉

\^a<b"是'be?<6c?”的充分不必要条件

B.设48是两个集合，贝ij“4c8=4”是"AqB”的充要条件

0内=1”是“85%=0”的必要不充分条件

D."Vx>0,cv>0”的否定是“3x<0,cY0”

“、sin3x

5.函数/(<)=]/的部分图象大致为()

inIe।11x

A.B.（；，1）C.（；,：）D.（j,1）

71

7.已知口》(),函数/'(x)=sin2(ox1在，兀上单调递增，则0的取值范围是()

4J2

15£

AB.C.D.

574,2

8.已知函数/(x)=gL,下面结论中正确的是()

A./(x)的图象关于点(一1,0)对称

B.若玉。w，则/(七)*/'(工2)

C./(x)的值域为(-1,1)

D.若函数g(x)=/(x)-没有两个零点,则％的取值范围是(0,1)

|x|-3,x<3/,、,2,、

9.已知函数/(x)=,、。若方程(/(切--"3+2=0有6个不同的实数根,则实数。的

—x+6x—9,x>3

取值范围为()

B.(-6,-2>/2)

A.

11X

11----,—2>/2U卜2>/^,+8)

C.不,+8D.

、3

二、填空题(本题共5个小题，每题5分，共25分)

10.已知扇形的周长为6cm,圆心角为2rad,则该扇形的面积是cm.

sin(7t-a)-

11.已知角a的终边上有一点尸(1,3),则----------」的值为.

c°s»+

2cos(-兀+Q)

I2)

辰21n6-1n2

-

12.log2+•1O&3叫7_(3百"+7F]=

lg(x2+9),0<x<l

13.已知函数/'(x)=<?)在区间(0,2)上单调递增，求参数。的取值范围

x2-3ax+2。/<x<2

14.已知函数/(x)=2、，若时，方程|/("一%|=1||勺解分别为不，当(西<々)，方程

|/口)一q=t的解分别为X3,X4(x3<x4),则Z'lF+QF的最小值为

三、解答题(本题共5个小题，共59分)

15.已知&为锐角，仅为钝角，且si〃a=——»tan[3=—.

107

(1)求sin2£的值：

(2)求tan(/?-2a)的值.

16.某公司生产一种电子仪器的固定成本为30000元,每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月

产量为x台，当月产量不超过400台时，总收益为400工-!丁元，当月产量超过400台时，总收益为80000

2

元.(注：利润=总收益-总成本)

(1)将利润表示为月产量x的函数/(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元

17.已知函数/(x)=2\/3sinxcosx-2cos2x(xGR).

(1)求函数/(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)将函数/'*)的图象向左平移二个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的;倍,

62

得到g(x)的图象，求函数g(x)在0,£上的值域.

_4

18已知函数/'(2x-1)=4--8x+7,g(x)=H0).

•x

(1)求函数/(X)的值域；

(2)试判断g(x)在区间[2,+8)的单调性，并证明；

(3)对总出2G[2,M，使7j—^=g(W)成立，求实数机的取值范围.

19.对于函数/(x),若在定义域内存在实数%,满足/(一%)=-/(/)，则称/(4)为类函数”.

(1)已知函数〃x)=2cos(x-。)，试判断/(x)是否为类函数”？并说明理由；

(2)设/。)=4、-加・2川-3是定义域及上的“用类函数”，求实数用的取值范围；

(3)若/(刈=|噫(4-2闻S3为其定义域上的“河类函数”，求实数机取值范围

-2x<3

天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题

第I卷(共36分)

一、选择题(本题共9个小题，每题4分，共36分)

1.己知集合〃=卜2，。，】，3,5},乂={小<1},则“(”,)=()

A.{0,1,3,5}B.{3,5}

C.{0,3,5}D.{1,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集、补集运算得解.

【详解】因为〃={-2,0,1,3,5},N={x|x<l),

所以hN={x|x21},MCI(务N)={1,3,5},

故选：D

2.sin240°=().

【答案】B

【解析】

【分析】由诱导公式即可得.

【详解】sin240°=sin(600+180。)=—sin60。二—日.

故选：B.

7T

3.若满足。=sin-,6=2"3,(?=logs2,则()

A.c<a<bB.h<c<aC.a<c<hD.c<h<a

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定Ac的范围，即可判断选项.

0,3

【详解】因a=sin—=—,b=2>2°=1»c—log52<log5\[5——,

故c<a<b.

故选:A.

4.下列四个命题中为真命题的是（）

ALa<b"是"aY<be?”的充分不必要条件

B.设力,8是两个集合，贝ij“/c8=4''是"AqB”的充要条件

C.tlsinx=1"是"cosx=0”的必要不充分条件

D."Vx>0,er>0”的否定是“3x<0,er<0M

【答案】B

【解析】

【分析】根据充要条件的判断方法可确定ABD项，根据带量词的命题的否定要求可判断D项.

【详解】对于A,当。=0时，由。<6可得4。2二3。2,故充分性不成立；

由"2<6/可得。2>0,故可得即必要性成立，

故“Q<b”是“<be1”的必要不充分条件，A错误；

对于B,由4=4可得A=B,由A=B也可推得4c8=4，

故"4c3=4”是"AqB”的充要条件，B正确：

对于C,由sinx=l可得：x=-4-2kit,keZ,Mcosx=0,故充分性成立；

2

TT3花

由cosx=0可得：x=-+kn,kwZ,而当x=—+2攵兀水£Z时，sin.r=-l,故必要性不成立,

22

即“smx=l”是“cosx=0”的充分不必要条件，故C错误；

对于D,因“\/工>0,炉〉0”的否定是“女〉0,e、W0"，故D错误.

故选：B.

“、sin3x

)

【答案】C

【解析】

【分析】确定函数/*)的定义域并判断其奇偶性，排除部分选项，再利用/*)在(0q)上函数值的正负判

断得解.

【详解】函数g(x)=ln(e2x+l)-x=ln(e2x+l)-lneA=ln(ev+e'x)»

对任意实数x,ev+e-A>2(当且仅当x=0时取等号，g(x)>ln2>0,

又g(-x)=g(x)，即函数g(x)是R上的偶函数，而丁=sin3x是奇函数，

因此函数/(x)的定义域为R,是奇函数，图象关于原点对称，选项A错误：

当了£(0,令时，sin3x>(),/(x)>0,选项BD错误，选项C符合要求.

故选:C

6.函数/'(x)=2"的零点所在的区间可能是()

x

A.B.1)C.(；,g)D.(：，；)

【答案】B

【脩析】

【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.

【详解】因为/(1)=2_；=1〉0,/(；)=&_2<0,/(；)二次_3<0/(；)=痣_4<0,

14J

所以，又函数图象连续且在(0,+8)单调递增，

所以函数/(x)的零点所在的区间是(g,1),

故选:B.

【点睛】本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.

7.已知口>(),函数/(x)=sin2s+；在(5,兀)上单调递增,

则①的取值范围是()

-15](八1]rirD.(0；

[24」(8」|_42j

【答案】B

【解析】

71兀I兀'兀.(c兀1,

【分折】因为XU0,可得2公v+—u所+,2九。+-，函数/（%）=sin2coxH~一在

2"4144I4

1K，兀上单调递增，得出[①兀H—,2兀@+:c——兀+2^71,—71+2kji,ZwZ,即可求解.

12一I44；L22J

【详解】V^,71j,0>0,

A兀兀r兀

.Zcux+—1=，"兀十一,27l〃2d--,

444J

兀c兀兀71/兀ncr

贝!](onH—,2兀69+—C---F2,/cjiy—+2后兀，4EZ,

44j~222

兀、兀

Mn+—>—

42

当太=0时.，由〈，解得---,乂口＞0,故0＜3《一;

C兀兀488

2兀”+—W—

42

兀、3兀

coit+—>—

42

当上=1时，由＜\，得口无解,

「兀5兀

271(0+—<—

42

同理当AN24wZ时，0无解.

故选:B.

8.己知函数/（、）=卷,下面结论中正确的是（）

A./（x）的图象关于点（-1,0）对称

B.若玉=匕，贝1J/（王）工/’（t2）

C./（6的值域为（-11）

D.若函数g（x）=/（x）-左有两个零点，则左的取值范围是（0,1）

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断AB选项；将函数/（X）的解析式化为分段函数的形式，结合反比例型函数的

基本性质可求得/（X）的侑域，可判断C选项：数形结合可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为/'(0：1=0,/(-2)=-2,贝2)+/'(0)=—2,

所以，函数/(X)的图象不关于点(一1,0)对称，A错；

对干B选项，因为==B错;

-^―,x<-l或-1cx<0

l+x

对于C选项，因为/(X)=«

X,x>0

lx+1

Y1

当工之0时，x+l>l,则0<」W1,=1--e[O,l),

x+l

当工<一1时，/(x)=—+=---K-1,

''x+1工+1x+1

当一l<x<0时，则0<x+l<l：则」一>1,此时，/(%)二」一

1>0,

X+1X+1

综上所述，函数/(X)的定义域为(-8,-1)=[0,+3)，C错：

对于D选项，如下图所示:

由图可知，当0<〃<1时，直线J二左与函数/")的图象有两个交点,

因为函数g(x)=/(x)有两个零点，则攵的取值范围是(0,1),D对.

故选:D.

9.已知函数/(')二」、、>3若方程(/(MY一社(工)+2=0有6个不同的实数根'则实数。的

取信范围为()

A.(-■—,—2\/2jB.(―6,—2>/^)

c(g,+8

D.(--2751u(-2V2,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】方程(/(x))2—4(x)+2=0有6个不同的实数根等价于/2—W+2=0有2个不同的实数解44，

再结合二次函数的性质求解即可；

【详解】作出/")图像，

令/,卜)=/，则方程(/(x))2-勾'(x)+2=0有6个不同的实数根等价于〃一勿+2=0有2个不同的实数

解4，4，且4，芍4―3,0),

。2一8>0

则<9+3。+2〉0,解得一口<。<一2行，

3

,-3<-<0

、2

故选：A.

二、填空题(本题共5个小题，每题5分，共25分)

10.已知扇形的周长为6cm,圆心角为2rad,则该扇形的面积是

9

【答案】-

4

【解析】

【分析】先根据扇形的周长求出半径，再根据扇形的面积公式计算即可.

【详解】设扇形的半径为/?,

3

则2A+2A=6,解得R=一,

所以该扇形的面积为,x2x3、3m2.

22；4

9

故答案为y

兀

sin(兀一a)—sin—+cc

2

11.己知角。的终边上有一点尸（1，3）,则——的值为

3兀)

cos--a+2cos(-兀+a)

2J

2

【答案】

5

【解析】

【分析】由题意及三角函数的定义可得tana=3,再根据诱导公式及

同角三角函数的基本关系的应用亿简后代入即可求值.

【详解】因为角a的终边上有一点2（1，3）,所以tana=3.

sina-cosatana-1

I、一sina—2cosa-tana-2

cosl--orj+2cos(-7t+a)

--3----1-——2

-3-251

故答案为：一不.

反2In6-ln2

,o&？7J

12.log2^-.log7[3-(3V3)+7.

【答案】!##0.25

4

【解析】

【分析】根据分数指数转和对数的运算性质，以及对数换底公式化简计算即得.

瓜2In6-ln2

,O897i

【详解】10g2—log7[3-(3^)+7^-]

132

1

=iog22.log,[3喝/-(yy+?出力

=—xlog7(V7-3+3)=—x—=—.

2224

故答案为：7

lg（x2+9）,0<x<1

13.已知函数/（切二<1）在区间（0,2）上单调递增，求参数。的取值范围

x2-3ax+2。/<x<2

【答案】（-8,0]

【解^析】

【分析】根据函数的单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得4的取值范围.

【详解】当l<x<2时，/(x)=/一3ax+2。，对称轴为直线]二/■,

•・•函数/(x)在区间(0,2)上单调递增，

・•・<’2,解得QKO,

lg(l2+9)<l2-3a+2a

工参数a的取值范围为(-8,0].

故答案为：(一8,0].

14.已知函数/(x)=2、，若时，方程|/(x)-A|=l的解分别为不，方程

..L--1

㈤一对=—5—的解分别为工3，匕(工3<工4)，则2'f+x3f的最小值为

【答案】~

9

【解析】

【分析】首先通过求解含绝对值的方程|/(工)-4=1,得到2、尸2=浮，同理解方程|/(工)-4=人」,

攵+12

攵+1-

得到2"F二歹二7,然后根据指数运算可得2*』+与』=1__3_，最后根据左的取值范围，结合函数单

31~331

调性，即可求解2V9+行4的最小值.

【详解】由|/(切一H=l,得/(x)=A—l或/(x)=Z：+l,

上一]

所以—2j+1，所以2f

由|/(x)—对=?，或/(》)=等,

.k—\Z+l7.k—\3k—1KTA+l

所以2'3=左------=——，2"=k+——=--------,所以2巧''二-----

22223k7

2

所以2再-孙+«3f_k-Ik+\13

:+13k-\33k-\

2

易知的在4

令g(%)=131<^<2¥g-.2上单调递增:

334-113

41Ii

所以当一〈女W2时，所以一<g(k)<一,即2再-必+、厂々的最小值为一.

1

故答案为:9-

三、解答题(本题共5个小题，共59分)

15.己知仁为锐角，夕为钝角，且si〃a=——>tan[3=----.

107

(1)sin2/7的值;

(2)求tan(/?-2a)的值.

7

【答案】(1)一一；

25

(2)-1.

【解析】

【分析】(1)利用正弦二倍角公式以及齐次式的方法即可求解；

(2)先由方〃。=巫，可求得ian2a,再由两角差的正切公式，即可求得结果.

10

【小问1详解】

2sin6cos£2tanp

由正弦二倍角公式，得sin2〃=2sin/?cos/?=

cos24+sin20l+tan2/7

1.cc2tanfi7

又面小下’所以.”kJ

25：

【小问2详解】

因为a为锐角，且sina=，可得cosa='也@，2a£(0,兀)

1010

由cos2a=1-2sin2a=w，可得sm2a=1，

▼1-sin2a3

所以tan2a=----------=一,

cos2a4

3

tan0-tan2a4

所以tan(/7-2(z)=

1+tan/7tanla万

x—

k7)4

16.某公司生产一种电子仪器的值定成本为30000元,每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月

产量为x台，当月产量不超过400台时，总收益为400工-11元，当月产量超过400台时，总收益为80000

2

元.(注：利润=总收益-总成本)

(1)将利润表示为月产量x的函数/(x)：

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元

300x--x2-30000,0<x<400,xeN

【答案】(1)/*)=<2(2)当月产量为3()0台时，公司所获利

50000-100X,X>400,XG^

润最大，最大利润为15000元.

【解析】

【分析】(1)利用已知条件，结合分段函数，可直接列出利润表示为月产量x的函数/5);

(2)利用分段函数的解析式，分段求解函数的最大值即可.

【详解】(1)由题意得总成本为(30000+100%)元，

由题意，当0«x«400(xeN)时，

/(x)=400x-1x2-100x-30000=300x-1x2-30000：

当上>400(x£N)时，/(x)=80000-lOOx-30000=50000-lOOx；

300x--x2-30000,0<x<400,xeN

所以利润/(x)=〈2

50000-100x,x>400,xe

(2)由(1)得,

当0«xW400时，/'(x)=300x-1x2-30000=-1(x-300)2+15000,

所以当x=300时，/(x)的最大值为15000；

当工>400时，/(幻=50000-100%是减函数，

Y50000

所以/(•)mas=-100x400=10000<15000；

综上,当月产量为300台时,公司所获利润最大，最大利润为15000元.

【点睛】本题考查利用函数思想求解实际问题，求解函数的解析式是解题的关键，考查发现问题解决问题

的能力，是基础题.

17.已知函数/(x)=2Gsinxcosx—2cos%(x£R).

(1)求函数/(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)将函数/.")的图象向左平移四个单位长度，然后把所得函数图象I:所有点的横坐标缩小到原来的;倍,

6-

得到g(x)的图象，求函数g(x)在0,£上的值域.

4

【答案】（1）最小正周期为兀，单增区问为kn-^k7t+^（/ccZ）

63

⑵[-2,1]

【解析】

【分析】（1）利用辅助角公式，再用整体思想进行求解单调区间即可;

（2）利用好平移变换和伸缩变换，再利用整个思想求值域即可.

【小问1详解】

兀

/(x)=2\/3sinxcosx-2cos2x=>/3sin2x-cos2x-1=2sin2x---1

\6J

.•・/（x）的最小正周期为m

△ci冗兀Lt,兀/7C/

令2kit——<2x---<2kit+—,则A兀——<x<kTt-\--ykfe

26263

7T7T

的单增区间为k7t--,kn+-(ATGZ).

【小问2详解】

/'（万）的图象向左平移四个单位长度得到

y=2sin2(x+----1=2sin2x+—j-1的图象,

LI6；6JI6J

再将歹二2可2工+才1图象上所有点的横坐标缩小到原来g得到丁=2可4工+看上1图象,

兀

得到g(x)的图象，.•.g(x)=2sin(4x+kjT,

当.回。八引兀,则一“兀七兀77兀

n兀兀7T

当4x+片即XW0,—时，g（x）单调递增

612

71兀7兀71兀

即工£--时,

当4x+qW29~6~g*）单调递减,

又g⑼=o，g=7=一2,

I"J14/

g(x)在xc0,：的值域为［—2,1］.

4

18己知函数f(2x-1)=4X2-8X+7,g(x)=丛立。*0).

(1)求函数/(X)的值域；

(2)试判断g(x)在区间［2,+8)的单调性,并证明;

39

(3)对切土£0不，总讥£［2,刈，使万\=目出)成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)［3,+00)；

(2)单调递增，证明见解析；

(3)［4,+8).

【解析】

【分析】(1)求出函数/*)的解析式，再倡助二次函数求出值域.

(2)由(1)求出g(x),再利用函数单调性定义推理得证.

93

(3)求出函数歹=77T在［0,一］上的值域，函数g。)在［2,网上的值域，再结合集合的包含关系列式求

/(x)2一

解即得.

【小问1详解】

函数/(21_1)=4/_8彳+7=(2工_1)2_2(2工―1)+4,

因此/(x)=，—2x+4=(x—iy+323,当且仅当x=l时取等号，

所以函数/*)的值域为［3,+8).

【小问2详解】

丫2—2丫+44

由(1)知，g(x)=--竺三=x+七—2,函数g(x)在区间［2,+8)上单调递增，

XX

44

VXj,x2€［2,+OO),X)＜x2,则g(%)-g(%2)=a+---2)-(x-+----2)

X］x2

/、4(X7-x.)(%-4)~八

=(x)-x2)+-=-----=------=-----=----,由2＜玉＜花，得N＜0，西元＞4,

王W

则g($)-g(%2)<0，即g(%)<g(x2),

所以g(X)在区间[2,+8)上是增函数.

【小问3详解】

399

当]时，2因此小€[力

/(X)=(X-1)_3G[3,4],3],

2J\X)4

4

由(2)知g*)在区间[2,〃?]上单调递增，则g(x)£[2,〃?+——2]

tn

39,、94

由对X/M£「O，T，总出2£[2,〃小使77"：=g(X2)成立，得《3102,加+—-2],

2/(须)4m

4

则用H-------2>3,又〃？>2,则根*-5〃?+420，即(阳一1)(加一4)20,则加24,

m

所以实数机的取值范围是[4,+8).

19.对于函数/。)，若在定义域内存在实数与，满足/(-%)=-/(%)，则称/(')为类函数”.

(1)已知函数/(x)=2cos(x-§,试判断/(X)是否为类函数”？并说明理由；

(2)设/(x)=4'-〃7・2"-3是定义域R上的“〃类函数”，求实数机的取值范围；

(3)若/(x)=」°g2(x一2尔)为其定义域上的“历类函数”，求实数m取值范围.

-2x<3

53

【答案】(1)是，理由见解析；(2)m>-b(3)

62

【解析】

【分析】(1)根据题意，得到2cos(-式0-争=