直角三角形【八大考点】-北师大版数学八年级下册重难点突破（含答案）

专题1.3直角三角形【八大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化

讲与练

考点类型

模块—A

考点5：直角三角形判定一网格图

模块二q知识点一遍过

（一）直角三角形性质——角的关系

①直角三角形的两个锐角互余。

（二）直角三角形性质——等积法

如图：△ABC为直角三角形，AD1BC

SAABC=lABxAC=iADxBC；则ABxAC=ADxBC

（三）勾股定理逆定理

表示方法：如图：三角形的三边分别为Q,b,C,若。2+庐=。2则三角形为直角三角形

（四）直角三角形全等的判定

第1页

①斜边和一条直用边对应相等（HL）

②证明两个直角二角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.

模块三考点一遍过©

考点1直角三角性质——角的关系

典例1:

1.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AD1BC于点D,BE平分ZABC,交AC于点E.若乙BAD=34。，则4AEB

的度数为（）

A.56°B.60°C.62°D.65°

【变式1】

2.如图，等腰△ABC中，腰AC上的高线为BD,4ABe的平分线为BE,ZCBD=25°,则/DBE为（）

A.12.5°B.7.5°C.6.5°D.6.25°

【变式2】

3.如图，在△ABC中，NC=9(r,DEJLAB于点E,CD=DE,若乙CBD=31。，则乙A=

【变式3】

4.如图，在山△ABC中，ZC=90°,ZB=60%M,N分别是边AC,AB上的动点，沿着直线MN将△AMN对

折，点A、的对称点是点A'.若A'NIIBC,则NCMN的度数为

B

CMA

第2页

直角三角形的性质一一求线段

典例2：

5.如图，S/?tAABC+,ZACB=90°,CD是AB边上的高，若乙A=30。，BC=2,则AD的长是（）

C

J

ADB

A.3B.\/3C.3A/3D.4

【变式1】

6.如图，在Rt^ABC中，4c=90。，，乙A=30。，线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若

CD=4,则AD的长为（）

A.4B.8C.12D.16

【变式2】

7.如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=90°,BD平分4ABC,AD1BD,若BE二=5,贝IJAD的长为________.

A

CB

【变式3】

8.如图，在Rt/iABC中，直角边AC=7cm,BC=3cm,CD为斜边AB上的高,点E从点B出发，沿直线BC以

2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F,则点E的运动时间t=___________________s时，

CF=AB.

1

第3页

考点3i直角三角形的性质一等积法

典例3：

9.如图(I),已知在△ABC中，AB=AC,且乙B=60。，过点A作AP1BC于点P,点M是直线BC上一动点,

设点M到aABC两边AB、AC的距离分别为m,n,△ABC的高为h.

(1)当点M运动到点P位置时，m与n有什么关系；

(2)如图(2),试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论；

(3)如图(3),当点M运动到BC的延长线上时，求证：_h_JBJL.

2024=2024十+1012

【变式1】

10.如图，己知AD是△ABC的角平分线，DE、DF分另I」是△ABD利△ACD的高.

(2)若AB=12,AC=8,=60,求DE的长.

SAABC

【变式2】

11.学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究.他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂

线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高.小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他

的想法与思路，完成以下作图与填空：

(1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作AB的垂线CD,垂足为点D,连接AP.(只保留作图痕迹，不写作

法)

(2)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,PE1AB于点E,PF1AC于点F.求证：PE+PF=CD.

第4页

A

证明:

vPE±AB,PF±AC,CD±AB,

11.1

SAAPB=aAB.PE，SMPC=aAC•PF,S^ABC=2AB.CD.

SAAPB+SAAPC=SAABC*

|AB•PE+|AC-PF=®4

即AB・PE+AJPF=AB-CD.

A

AB・（PE+PF）=AB・CD,

•••③_____4

由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④4

【变式3】

12.如图，△ABC中，AD为中线，D,E分别为BC,AD的中点，且S“BC=40,

（1）SMBD=.

（2）若AE=5,求CM的长;

(3)若BN1AD交AD的延长线于N,求证：CM=BN.

考点4卜直角三角形的性质——动点

典例4：

13.在等边△ABC中，AC=9cm,点D在边AC上，且CD=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速

度运动，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转120。得到线段DQ,当点Q落在BA延长线上时，点P停止运

动.设点P运动的时间为t杪.

第5页

A

D

BpC

（1）用含t的代数式表示P、C两点间的距离；

（2）当DQ与△ABC的一边平行时，求t的值；

（3）当DQ与△ABC的一边垂直时，求t的值；

（4）在整个运动过程中，DQ扫过的面积为cm2.

【变式1】

14.如图，△ABC是等边三角形，边长为6cm,点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点

B同时出发，分别沿边AB、BC运动，设运动时间为ts,且它们的速度都为lcm/s.

（1）连接AQ、CP交于点M,则在点P、Q运动的过程中，WCMQ的大小是否变化？若变化，请说明理由:

若不变，求乙CMQ的度数；

（2）连接PQ,当t为何值时，aPBQ为直角三角形？

【变式2】

15.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速

移动，它们的速度都是lcm/s,当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t（s）,解答下列

问题：

第6页

（1）当t为何值时，APBQ是直角三角形？

（2）当t为何值时，△PBQ足等腰二角形？

（3）设四边形APQC的面积为y（cm2）,求y与t的关系式.

【变式3】

16.阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.根据材料及所学

知识，解决下列问题：如图1,在Rt^ABC中，4c=90。，zA=30°,BC=16cm,动点P从点A出发，沿射

线AB运动，动点Q从点B出发，沿射线BC运动,如果动点P以4cm/s,Q以2cm/s的速度同时出发，设运动时

间为t（s）,解答下列问题:

（1）当t为多少时，aPBQ是等腰三角形？请说明理由.

（2）当t为多少时，APBQ是直角三角形？请说明理由.

考点5直角三角形判定网格图

典例5：

17.如图，在5x5的正方形网格中，点A,B在网格线的交点上.

（1）仅用无刻度直尺，画出以AB为腰的等腰△ABC.

（2）仅用无刻度直尺，画出以AB为底的等腰aABD.

【变式1】

18.如图均是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A,B均在格点上.请在给定的网格中

按要求作图.

第7页

（1）在图1中，找一个格点C,使△ABC为等腰三角形，且^ABC为锐角三角形；

（2）在图2中，找一个格点D,使ZkABD为等腰三角形，且AABD为直角三角形;

（3）在图3中，找一个格点E,使△ABE为等腰三角形，且4ABE为钝角三角形.

【变式2】

19.如图，在4X4的方格纸中，每个小方格的边长为1个单位，请按要求作出格点图形（顶点在格点上）.

图1图2

（1）在图1中作出面积为2的正方形;

（2）在图2中作出面积为10的正方形.

【变式3】

20.如图所示，四个4X4规格相同的正方形网格，按下列要求面格点正方形（4个顶点均在格点的正方

形）.

图甲图1图乙图2

（I）在图1中画出与图甲中阴影部分面积相等的正方形.

（2）在图2中画出与图乙中阴影部分面积相等的正方形.

考点6।直角三角形的判定一勾股逆定理

典例6：

21.如图，四边形纸片ABCD,AB1BC.经测得AB=9sn,BC=12cm,CD=8cm,AD=17cm.

第8页

A

D

BC

(1)求A、C两点之间的距离.

(2)求这张纸片的面积.

【变式1】

22.如图，在边长为I的小正方形组成的6X8网格中，△ABC的三个顶点均在格点.匕请按要求完成下列各

题：

(1)在网格中，画线段CD||AB，且使CD=AB,连结AD；

(2)线段AD的长为,AC的长为,CD的长为；

(3)AACD为三角形，点A至UCD的距离为.

【变式2】

23.如图，在△ABC中，点D在边BC上，已知AC=13,CD=5,AD=12,点E在AD匕且NEBD=/CAD.

(2)若BE=AC,求AB的长.

【变式3】

24.已知：如图，在△ABC中.AB=13,AC=5,△ABC的周长为30.

(I)证明：△ABC是直角三角形;

(2)过点C作CD1AB于点D,点E为AB边上的一点，且CE=BE,过点E作EF1AB交NACB的角平分线于

第9页

点F.

①证明：乙DCF=zlECF；

②直接写出线段EF的长.

考点7直角三角形全等一HL

典例7：

25.如图，AD||BC,4A=90。，E是AB上的一点，且AD=BE,zl=z2.

(1)求证：△ADE=△BEC：

(2)若AD=2,AB=6,求△DEC的面积.

【变式1】

26.如图，zA=zD=90°,BA=CD.

(1)求证：z^ABC三aDCB；

(2)若上ABC=65。,求乙ABO的度数.

【变式2】

27.如图，在△ABC中，ZC=90°,AD是/BAC的平分线，DEJ.AB交AB于E,F在AC上，且BD=DF.

(1)求证：CF=EB.

(2)若CD=4,DB=5,求AF的长.

【变式3】

28.如图，AD是4ABC的高，E是AD上一点，连接BE,AD=BD,BE=AC.

第10页

A

(2)若AD=4,S“BC=14,求线段DC和AE的长.

考点8直角三角形全等一综合

典例8：

29.如图，在平面直角坐标系中，点A(n,O)是x轴上一点，点B(O,m)是y轴上一点，且满足多项式在

(2)如图1,点M为线段0A上一点，点P为x轴上一点，且满足BM=MN,ZNAP=45°,证明：BM1

MN；

(3)如图2,过O作0F1AB于F,以0B为边在y轴左侧作等边△OBM,连接AM交OF于点N,试探究：

AN、AM、ON之间的数量关系，并证明你的结论.

【变式1】

30.在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于。点.

(1)如图1,AD是高，ZBAC=50°,4c=70。，直接写出NDAC和zBOA的度数.

(2)如图2,若OE=OF,ACHBC,求4C的度数.

(3)如图3,若4C=90。，BC=8,AC=6,AB=10,直接写出SAAOB・

【变式2】

31.已知，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,/ABC=/ACB=45。，点D是线段BC上一

点，点D不与点B,点C重合，连接AD,以AD为一边作△ADE,AD=AE,ZDAE=90°,且点E与点D在

第11页

直线AC两侧，DE与AC交于点H,连接CE.

Si

(1)如图1,求证：△ABD=△ACE.

(2)如图2,在CE的延长线上取一点F,当4AEF=4AFE时，求证：CD=CF.

(3)过点A作直线CE的垂线，垂足为G,当CD=6EG时，直接写出△CDH与△CEH的面积比.

【变式3】

32.已知：如图，在△ABC中，点A在边BC的垂直平分线.匕直线1经过点A,BD、CE分别垂直于直线1,

垂足分别为点D、E,且BD=AE.

(2)取边BC的中点F,连接EF,求证：EF平分乙DEC.

第12页

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】28°

4.【答案】150或60

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】|

8.【答案】2或5/5或2

9.【答案】（1）解：当点P与点M重合时，m=n,理由:

过点M作MDJ.AB于点D,ME1AC于点E,如图，

TAB=AC且NB=60°,

△ABC是等边三角形，

VAP1BC即AM1BC,

ABM=CM,

SAABM=SAACM，

/.|AB-MD=|AC-ME,

AMD=ME,

.*.m=n；

(2)解：m+n=h,理由如下：如图，连接AM,

则S^ABC=S^ABM+S^AMC，

A|AB•MD+^ME•AC另BC.AP,即：AB-m+|AC-n=|BC-h,

又二•△ABC是等边三角形,

第13页

ABC=AB=AC,

・'・m+n=h；

(3)证明：如图，连接AM,

WAC•ME+鼻C•AP=1AB-MD,即1AC•n+、BC•h=|AB.m,

乙乙乙乙乙乙

又丁△ABC是等边三角形，

ABC=AB=AC,

/.n4-h=m：

(m-n)2=h2>

•*«m2+n2—2mn=h2»

两边同时除以2024得

m2+n22mn_h2

2024—2024=2024,

m2+n2mn_h2,

■2024—1012=2024?

222

Am4-n_hmn.

2024—2024十1012

10.【答案】(1)解：AD垂直平分EF,理由如下：

：AD是△ABC的角平分线，DE、DF分另IJ是△ABD和△ACD的高，

ADE=DF,

在R£"ED与Rt/kAFD中，

(AD=AD

<DE=DFf

Rt△AED=Rt△AFD(HL),

AAE=AF,

VDE=DF,

・・・AD垂直平分EF；

(2)解：VDE=DF,

,・S^ABC=SAABD+S"CD=；AB-DE+AC-DF=；DE(AB+AC)=60,

VAB=12,AC=8,

第14页

/.DE=6.

11•【答案】（1）解：作图如下:

(2)证明：•••PE1AB,PF1AC,CD1AB,

1

•••S=|AB-PE»SAABC=4AB.CD.

AAPBSAAPC=yC.PF，

,JSAAPB+SAAPC=S.ABC，

:.=AB-PE+jAC-PF=1AB•CD,

即AB-PE+AC-PF=AB-CD.

•・•AB=AC,

AB-(PE+PF)=AB-CD,

PE+PF=CD.

由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则这两条垂线段长度的和等于一腰上的高.

12.【答案】(1)20

(2)解：:AD为中线，D,E分别为BC,AD的中点，SAABC=40,

S"EC=2sAACD=4saABC=1°，

,:SAAEQ=^AE-CM»

ix5xCM=10,

CM=4；

(3)证明：；AD为中线，D,E分别为BC,AD的中点，

•*,S^ABD=S^ACD=2sAABC，

S.ABD=；AD•BN,S“CD=、AD♦CM,

.­.|ADBN=|ADCM,

CM=BN.

13•【答案】(1)解：根据题意得：BP=tcm,BC=9cm,

则PC=BC-BP=(9-t)cm：

第15页

(2)解:当DQ||BC时,如图1,

ABC是等边三角形：AC=9cm,

Z.A=zB=Z.C=60°,BC=AC=9cm,

VDQ||BC,

・"QDC=zC=60°,

VzPDQ=120°,

AzPDC=4PDQ-ZQDC=120°-60°=60°,

VzA=60°,

・••乙PDQ=4A=60°,

APD||AB,

A^DPC=ZB=60°,

AzDPC=ZPDC=ZPCD=60°,

•••△PCD是等边三角形,

VPC=CD=6cm,

.\BP=BC-PC=9-6=3C7H,

・・.t=3+1=3(秒)；

而乙PDQ=120°,

第16页

AzPDQ+ZQDA=120°+60°=180°,

・・・P、D、A三点在一条直线上,

乂点P在BC上运动，

・••点P与点C重合，

/.BP=BC=9cm,

・・.t=9+l=9(秒)；

综上，当t=3秒或9秒时，DQ与△ABC的一边平行;

(3)解：当QD1AC时，如图3,

/.ZPDC=30°,

VzC=60°,

・"DPC=90。，

***PC=CD=x6=3cm,

/.BP=BC-PC=9-3=6cm,

t=6-r1=6（秒）；

当DQ_LBC时,如图4,

VzPDQ=120°,

・"PDE=60°,

VzC=60°,4DEC=90°,

/.ZEDC=1RO°-90°-60°=30°,

AzCDP=zEDP-zEDC=60°-30°=30°,

第17页

VZ.C=30°,zc=zCDP+ZCPD,

•••△CPD=60°-30°=30°,

AzCPD=ZCDP,

CP=CD=6cm,

，BP=BC+CP=9+6=15cm,

・・・t=154-1=15(秒)，

综上，当t=6秒或15秒时，DQ与△ABC的一边垂直；

(4)1873

14.【答案】(1)解：/CMQ的大小不发生变化，/CMQ=60。理由如下,

••.△ABC是等边三角形，

AAB=CA,zABQ=zCAP=zACB=60°,

•・•点P、Q的速度相同，

/.AP=BQ,

在ZiABQ和ACAP中

AB=CA

乙48Q=/.CAP

AP=BQ

・•・△ABQ三△CAP(S4S).

.\zBAQ=zACP,

A^CMQ=4MAC+ZACP=4MAC+zBAQ=zBAC=60°

则4CMQ=60°

(2)解：设点P,Q运动x秒时，APBQ是直角三角形，

则AP=BQ=x,PB=(4-x),

①当"QB=90。时，

VzB=60°,

・・・BP=2BQ,即4-x=2x,解得,x=*

②当/BPQ=90。时，

VzB=60°,

8

-

，BQ=2BP,即2(4-x)=x,3

故当t为4秒或时少时，aPBQ是直角三角形.

第18页

A

15•【答案】(1)解：根据题意得AP=tern,BQ=tcm,

△ABC中，AB=BC=3cm,Z.B=60°,

•••BP=(3-t)cm,

△PBQ中，BP=3-t,BQ=t,若APBC｝是直角三角形，则4BPQ=90。或/BQP=90。,

当4BQP=90。时，BQ=|BP,

即t=(3—t)»

解得：t=l(秒)，

当4BPQ=90°时，BP=±BQ,

即3-1=

解得：t=2(秒)，

答：当t的值为1秒或2秒时，APBQ是直角三角形；

(2)解：•.•△B=60。，4PEQ是等接三角形，

••.△PBQ是等边三角形，

PB=BQ,

•••3—t=t>

._3

..t-

则t=/少时，APBQ是等腰三角形.

(3)解：如图，过P作PM_LBC于M,过A作AN_LBC于N,

第19页

在△BPM中，ZB=60°,zBMP=90°,

乙BPM=30°

11

-=-

2PB2

PM=VPB2-BM2=寸(3-t)，

-1-IF5

•0-S^PBQ=2BQ,PM=2Xtx^2-(3-0,

•••△PBQ是等边三角形，AB=BC=3cm,

13

...BN==BC=.

AN=VAB2-BN2=竽，

S四边形APQC=SAABC_SAPBQ

lx3x^f-ixtx^(3-t)

9/33/3t

(3-t)

44

艮23Q-

F一『+丁'

疗23忘9百

••y-彳t一丁t+丁，

16.【答案】(1)解：•••4C=90°,ZA=30°,BC=16cm

.•・乙ABC=180°--ZA=60%AB=2BC=32cm

,•,由题知，AP=4tcm,BQ=2tcm

①当点P,点Q在线段AB,BC上运动时，即0vt<8时

:.PB=AB-AP=(32-4t)cm

•••△PBQ是等腰三角形

.•.△PBQ是等边三角形

PB=BQ

•••32-4t=2t,

解得，t=¥

②当点P,点Q在线段AB,BC延长线上运动时，即t>8时

第20页

•••zPBQ=180°-zABC=120°

♦••△PBQ是等腰三角形

PB=BQ

vPB=AP-AB=(4t-32)cm

•••4t—32=2t,

解得，t=16

.••综上所述，1=学或1=16时，△PBQ是等腰三角形

（2）解：当点P,点Q在线段AB,BC上运动时，即0VtV8时

①当NQPB=90。时

BQ=2PB

・•.2t=2(32-4t)

解得，「=若

②当NPQB=90。时

PB=2BQ

:.32—4t=2x2t

解得，t=4

当点P,点Q在线段AB,BC延长线上运动时，△PBQ是钝角三角形，不符合题意，舍去.

综上所述，1=学或1=4时，ZkPBQ是直角三角形.

17.【答案】（1）解：如图，等腰△ABC即为所求（答案不唯一）.

•・•AB=Vl2+32=V10,AC=Vl2+32=同，

.，.AB二AC,△ABC为以AB为腰的等腰三角形.

第21页

（2）解：如图，等腰△ABD即为所求（答案不唯一）.

vAD=Vl2+22=V5,BD=712+22=V5»

.•.AB=AD,△ABD为以AB为底的等腰三角形.

18.【答案】（1）解：如图所示,

VAB=VTTF=V5,BC=Vm7=遍，

•••△ABC为等腰三角形，且△ABC为锐角三角形;

VAB=V5»AD=Vl+22=V5,BD=V1+32=V10，

AAB=AD,(V5)2+(V5)2=(VTUf，即AB?+AD2=BD2,

第22页

•••△ABD为等腰三角形，且△ABD为直角三角形;

<3）解：如图所示，

;AB=AE=V1+22=

AAB=AE,/BAE是名电角，

•••△ABE为等腰三角形，且△ABE为钝角三角形.

19.【答案】（1）解：如图所示，正方形的边长为石仁彳=鱼,

4>

・•・正方向的面积为或x企=2,

・•・图形即为所求图形；

（2）解：如图所示，正方形的边长为尸百=内,

，正方向的面积为vruxau=io,

・•・图形即为所求图形.

20.【答案】（1）解：•••图甲中四边形由两个底边为4,高为1的三角形组成,

・••图甲中四边形的面积为/x4x1+*x4x1=4,

•••图1中的正方形边长为2,如图所示.

第23页

(2)解：・・•图乙中四边形的面积为,x4xl+/x2xl+/x3x2+2x2=10,

N乙乙

・・•图2中的正方形边长为au,且Ji?+32=9,

A

在At△ABC中，AB±BC,AB=9cm,BC=12cm,AB2+BC2=AC2,

A92+122=AC2，

解得AC=15(负值舍去)

即A、C两点之间的距离为15cm；

(2)W：VCD2+AC2=824-152=172=AD2,

AzACD=90°,

；•四边形纸片ABCDli勺面积=S^ABC+S^ACD

1

1-Ac•c8

=^AB・BC+2

1

-X15X8

=—x9x124-2

=54+60

=U4(cm2).

22.【答案】(1)解：如图，CD即为所画，

(2)2\/5:5

(3)直角：2

23.【答案】(1)证明：AC=13,CD=5,AD=12,

第24页

AD2+CD2=122+52=169,AC2=132=169,

AD2+CD2=AC2,

.•.△ACD是直角三角形，

ZADC=90°,

:.AD1BC；

(2)解：由(1)可得：AD1BC,

•••ZBDE=zADC=90°,

vZ.EBD=Z.CAD»BE=AC,

.%△BDE三△ADCQMS),

:.BD=AD=12,

:.AB=VBD2+AD2=12V2.

24.【答案】(1)证明：:AB=13,AC=5,△ABC的周长为30,

•••BC=30-AC-AB=30-5-13=12,

.・.AC2+Bl=52+122=169,ABZ=132=169,

AC24-BC2=AB2,

••.△ABC是直角三角形；

(2)解:①证明：•.•AC2+BC2=AB2,

:.ZACB=90°,

•••CD1AB于点D,

:.ZADC=90°,

zACD=zB=90°-NA,

vCE=BE,

Z.BCE=zB,

:.Z.ACD=zBCE,

•••CF是NACB的角平分线，

Z.ACF=Z.BCF,

•••ZACF-2ACD=ZBCF-/BCE,

...乙DCF=ZECF：

@vZACE+ZBCE=90°,乙A+/B=90。，KzBCE=zB,

:.ACE=z.A»

113

...CE=AE=BE=/AB=苛，

vCD1AB,EF1AB,

第25页

CD||EF,

:*Z.DCF=Z.F,

vZ.DCF=Z.ECF,

:.Z.F=zECF,

13

EF=CE=号，

”13

EF=T.

25.【答案】(1)证明：VAD||BC,4A=90。,

AzA+zB=180°,

・"B=90°.

Vzl=42,

ADE=CE.

在R£"DE与RtZkBEC中

(AD=BE

=CE'

・•・/?£△ADEwR£aBEC(HL).

(2)解：由(1)WAADE=△BEC,

ABE=AD=2,BC=AE=AB-BE=4.

.,.‘△DEC=S梯形ABCD-2s^BCE

_AB•(AD+BC)AD-AE

=22-

6x(2+4)2x4

=2L2

=io,

・••△DEC的面积为10.

26.【答案】(1)证明：•.•△A=z,D=90°,BA=CD,

在Rt"BC和DFEU」

(BA=CD

[BC=BC

•••/?《△ABCwRMDCB(HL)；

(2)«?：­.•zA=90°,zABC=65°,

•••ZACB=25°,

ABC=△DCB,

:.zACR=/DRC=2S°.

zABO=zABC-zDBC=40°.

第26页

27.【答案】(1)证明：:AD是乙BAC的平分线，DE1AB,DC1AC,

DE=DC»

又•••BD=DF,

/?tACDF=/?t△EDB(HL),

•••CF=EB；

(2)解：由(1)可知DE=DC=4,

•••CF=EB=VBD2-DE2=3，

ABC=CD+BD=9,

XvAD=AD,

:.Rt△ADC三Rt△ADE(HL).

:.AC=AE.

设AF为x,则AB=AE+BE=x+3+3.

S/?tAABC4>,AC2+BC2=AB2,即(X+3)?+81=(X+3+3)2,

解得：x=9,

AF=9.

28.【答案】(1)证明：:AD是△ABC的高，

...ZADB=乙ADC=90。，

在RMBDE和Rt"DC中，

(BD=AD

lBE=AC'

/?tABDE=/?tAADC(HL)；

(2)解：v/?tABDE=/?tAADC,

•••DE=CD,

•••S"BC=14，

.­.|BC-AD=14,

VAD=BD=4,

.-.1(44-CD)-4=14，

:.CD=3=DE,AE=AD-DE=1.

29.【答案】(1)解：；(x+m)(nx-2)=nx2+(mn-2)x—2m,

n=2,mn—2=2,

m=2,

.•.点A(2,0)、点B(0,2)；

第27页

(2)证明：在y轴上截取一点C,使OM=0C,过B作BD_LMC于M,过A作AE1CM于E,如图1所示:

则△COM是等腰直角三角形，

40cM=zDCB=zOMC=4EMA=45°,

：.△AEM都是等腰直角三角形，

•••zMAE=45°,

•••zNAP=45°,

••.N、A、E三点共线，

由(1)得：0A=0B=2,

.•.△AOB是等腰直角三角形，BC=AM.

zAOB=zOBA=45°,

ZDBC=/-EAM=45°

在4BDC^OAAEM中，BC=AM

乙DCB=LEMA

BDC三△AEMG4s4),

BD=ME,

在RMBDM和Rt^MEN中，=,

IBM=MN

Rt△BDMs/?tAMEN(HL),

...ZBMD=ZMNE,

•••ZMNE+zNME=90°,

zBMD+zNME=90°,

:.ZBMN=180°-90°=90。，

•••BM1MN；

(3)解：AM=ON+2AN：理由如下：

在AM上截取一点C使CM=ON,连接BC,BN,延长BC交x轴于D.如图2所示:

图2

第28页

OB=OM=BM,ZBOM=zBMO=zOBM=60°,

Z.MOA=乙BOM十乙BOA=60°+90°=150°,

:.4MOD=30°,

,:OB=OA,

OM=OA=BM,

1

zOMA=4OAM=.MOD=15。，

•••ZBAM=30°,zBMA=45°,

•••OF1AB,

:.ZFOA=45°,

zAON=ZBMC,

(ON=CM

在aOAN和aBMC中，/AON=/BMC,

(OA=BM

.••△OAN三△BMC(S/1S)，

AN=BC,zOAN=4MBC=15。，

•••ZOBD=60°-15°=45°,

••.△ABC=90°,ZACB=60°,

OB=OA,OF1AB,

••.OF是线段AB的垂直平分线，

:.NB=NA,

zNBA=zNAB=30°,

•••zCNB=60°,

.•.△CNB是等边三角形，

CN=BN=AN,

AM=MC+CN+AN=ON+2AN.

30.【答案】⑴解:(1)解：:AD1BC,

AzADC=90°,

VzC=70,

・"DAC=180°-90°-70°=20°；

VzBAC=50°,ZC=70,

AzBAO=25°,乙ABC=60°,

•・,RF是/ARC的角平分线，

AzABO=30°,

第29页

AzBOA=180°-ZBAO-4ABO=180°-25°-30°=125°；

(2)辉：连接OC,如图1,

•・・AE、BF是角平分线，

・・・OC是4ACB的角平分线，

.\zOCF=zOCE,

过O作OM1BC,ON1AC,

则OM=ON,

在△OEM^jRt△OFN+»

(OE=OF

(OM=ON'

；・Rt△OEM三R£△OFN,

AzEOM=ZFON,

AzMON=乙EOF=180-zACB,

•・・AE、BF是角平分线，

1i

・・〃

OAB=乙*BAC乙,zOBA=^zABC,

VzBAC+zABC+zACB=180°,

•••△BAC+4ABC=180°-ZACB,

AzA