提优点5 极化恒等式与等和线-2026年高考数学二轮复习

提优点5极化恒等式与等和线

【知识拓展】

1.极化恒等式：ab=：[(a+b)2—(a—bp].

(I)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对

角线”与“差对角线”平方差的

4

(2)在平行四边形尸M0V中，。是对角线交点，则：

①月访丽=；(|的|2—|曲2)(平行四边形模式)；

②丽•丽=I瓦)|2—两2(三角形模式).

2.平面向量共线定理

已知平面内一组基向量晶，协及任一向量称，且标=2晶+〃协(2,〃WR),若

2+〃=1,则4B,尸三点共线；反之亦然.

3.平面向量等和线定理

平面内一组基底晶，彷及任一向量舁，且种=7为+〃仍(2,〃WR),若点P在

直线法上或在平行于"的直线上，且仁端二谶｝寓，则，+〃=曲定值),

反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系

数的等和线.

(1)当等和线恰为直线18时,k=l,

(2)当等和线在。点和直线48之间时，攵£(0,1)；

(3)当直线43在O点和等和线之间时，女£(1,+8)；

(4)当等和线过。点时，k=0.

【类型突破】

类型一利用极化恒等式求向量的数量积

例1(1)如图，在△/8C中，。是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点.法•为

=4,而•#=一],则砺•花的值为.

(2)如图，在中，AB=BC,N3=90。，AC=42,。为力C的中点，在平面

48c中，将线段力。绕点。旋转得到线段所.设M为线段48上的点，则成•宓

的最小值为.

答案⑴：(2)-4

O

解析⑴设BD=DC=m,AE=EF=FD=nf

则40=3〃.

根据向量的极化恒等式，有

J&-^C=^Z)2-5^2=9/12-/W2=4,

FBFC=Fb2-DB2=n2-m2=-1,

联立解得/=：,〃z2=f.

88

因此说•比=应＞2—初2=4〃2—〃a=7

8

即雨萍=7.

8

(2)连接

根据向量的极化恒等式，有证•宓=|施|2一1|班2=,而2—8,

由于△48C为等腰直角三角形，"为线段48上的点，

所以BC=/Csin”4,

因此M®BC=2,

2

所以施•麻'24—8=-4,

即/近1•宓的最小值为一4.

规律方法在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤

(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；

(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.如需

进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小，或用三角形两边之和大于

第二边，或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).

注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再

利用极化恒等式.

训练1(1)已知正三角形力8。的边长为2,动点P满足|PC|=1,则可•丽的最小值

为()

A.4-22B.3-22

C.3-23D.4-23

(2)在△4BC中，必是8c的中点，4M=3,5C=10,则力

答案(1)C(2)-16

解析(1)因为动点。满足|pq=i,

所以点尸的轨迹是以c为圆心，1为半径的圆，如图所示:

4D

设。为的中点,

则可•丽=（用+扇）•（历+历尸历2—协2=用2一]；

所以当|用|取最小值时，苏•丽取得最小值，

\PD\min=\Cb\-\=3-1,

所以再•丽=彷2-1》（3-1）2-1=3-23.故选C.

⑵因为M是的中点，

由极化恒等式得成•太=|丽2」|反超=9-1x100=-16.

44

类型二利用等和线求基底系数和的值

例2（1）如图，在平行四边形/BCQ中，AC,5。相交于点。，E为线段4。的中

点.若曲=7或+〃粉（2,〃£R）,则％+〃=（）

3

A.lB

4

C2D.1

32

⑵设。，E分别是△/BC的边彳B,上的点，AD=；/B,BE=?BC.若而=小福

+石花（九，22为实数），则为十上的值为.

答案（1）B（2）；

解析⑴法一•・•£1为线段力。的中点，

，诙=1（BA+两=1H+2，。）=1易+1防=祝A/.IBD,

4^

=

•*/->N=A，则2+〃=].

244

法二（等和线法）如图，AD为的,应）为基底值是1的等和线，过后作4。的平

行线，

A

I)

设2+〃=鼠则左=温・

由图易知［%=：,故选B.

\BF\4

(2)法一由题意作图如图.

•・•在△45C中，DE=DB-\-BE={

--1弱+2病―为成+2柔,

63

—1,电=2.故&+22=1.

632

法二(利用等和线)如图，过点4作苏'=无，连接。尸.

设力尸与8C的延长线交于点〃，

如图，BH为值是1的等和线，

\AF\

设万+22=鼠则k=一，

\AH\

由图易知，［&=!.因此九+42=1

\AH\22

规律方法利用等和线求基底系数和的步骤

(1)确定值为1的等和线；

(2)平移该线，作出满足条件的等和线；

(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.

训练2在△43C中，M为边4c上任意一点，N为40的中点，AN=L4B+fiACf

则/+〃的值为（）

1

A.

,2

1

C.D.1

4

答案A

解析法一设瓦"=/诙，

则施=；施=%荔+国/）=1施+匹=；前+；泳?一福

=1-2K&+质，

2

■■/=-，U=，

22/2

Az+//=1.

法二（等和线法）如图，BC为以丽,衣为基底值是1的等和线，过N作BC的

I丽

平行线，设%+〃=%,则〃=」

MM

|曲=1

由图易知,故选A.

\AM\2

【精准强化练】

一、单选题

1.设向量力满足|〃+臼=10,\a-b\=6,则〃力=()

A.lB.2

C.3D.4

答案A

解析由极化恒等式得ab=\(a-\-b)2—(a—b)2]=\\a-\-b\2—\a—b\2)=X(10—6)

444

=1.

2.如图，在四边形MNPQ中，若历=诙，|两=6,|0>|=10,而V•瓶=-28,

则沛9=()

A.64B.42

C.36D.28

答案C

解析由弧感=该一而2=36_而2=—28,

解得丽2=64,所以面2=6%

所以而令=的标=亦一■=100—64=36.

3.在平行四边形力。C。中，力「与。八相交于点。，点/?是线段。。的中点，AF.

的延长线与CO交于点凡若太=m应）=8，口亦则，+〃=（)

A.1

C2

3

答案A

解析（等和线法）如图，作就=屈），延长CO与NG相交于G,

因为C,F,G三点共线，所以2+〃=1.故选A.

4.如图，BC,。七是半径为1的圆。的两条直径，BF=2FO,则前•旗=（）

E

答案B

解析,・,砺=2成），圆。的半径为1,

法一FbFE=（Fb+oby（Fb^oiE）

=Fb2-\-Fb\OE-\-db）-\-dboE

=02+0-1=-^.

法二由极化恒等式得

FbFE=Fb2-1曲=1-1=-8.

499

5.如图所示，正方形45co的边长为1,。分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）

上滑动，则虎•油的最大值是（）

A.lB.2

C.3D.4

答案B

解析如图，取3C的中点4。的中点N,连接MN,ON,

则沆•%=丽」=|加2」

17

因为OMWON+NM=AD+AB=,

22

当且仅当O,N,M三点共线时取等号.

所以比•，店的最大值为2.故选B.

二、多选题

6.在△NBC中，4=30。，BC=2,则施•衣的值可能是()

A.OB.2

C.4D.13

答案BC

解析因为力=30。，BC=2,所以'0=4,

sinA

则△力台。外接圆的半径为2.

如图所示，

圆。的半径为2,8。是圆。的一条弦，点力在圆。的优弧比上，。是线段8c

的中点，连接。。并延长交圆。于点£

因为益=疝+励，AC=AD+DC=AD-DBy

所以懑充=亦一方型=在2-1

因为点力在圆O的优弧元上，

所以1<|亦|4|国=2I3,

所以花•病的取值范围是(0,6+43).故选BC.

7.(2024・武汉质检)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(〃+力)2=/+24力+小；

②(a—b)2=a2—2ab+〃.由①一②得(〃+力>—(a—b)2=4aboab=

“((1十-h口)2—("—"A)2，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了

没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形

ABCD中,BD=8,力在=48,E为BD中点、,且比=2。，则（）

A.4E=8B.AE=4

C.CBCD=240D.费⑦=120

答案AC

解析因为需/方=48,BD=8,

由极化恒等式得

丽（48+/。）2—（AB-AD）2

一4

（2JE）2—97BD2

==AE2—

44

=4七2一脩=48,所以4E=8,

又2彳&=反;所以EC=24E=16,

由极化恒等式得通•⑦=（如■为2-（9①）2

4

=（2摩）2-而=次_必=256-16=240.

44

三、填空题

8.给定两个长度为1的平面向量为和济，它们的夹角为个，如图所示，点。在

以。为圆心的弧前上运动，若沆=不为+），而。，y£R）,则x+y的最大值是

B

OA

答案2

解析（等和线法）如图所示，设x+y=A,则直线48为以励，晶为基底4=1的

等和线，所有与直线48平行的直线中，切线离圆心。最远，即此时左取得最大

值，易知OEL4B,

97r

因为04=1,/A0B=,

3

所以OEq,则左="01=：=2,

2\0E\1

2

即x+y的最大值为2.

9.（2024•合肥调研）四边形48CO中，点E,/分别是4B,CQ的中点，AB=2,

CD=2