2025-2026学年河北省邢台市质检联盟高一下学期6月测评数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的共轭复数为（）A. B. C. D.2.底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（）A.一个边长为的正方形 B.一个边长为的正方形C.一个长为，宽为的矩形 D.一个长为，宽为的矩形3.学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（）A.小明只有一场比赛获奖 B.小明两场比赛均获奖C.小明至多一场比赛获奖 D.小明两场比赛均未获奖4.下列命题为真命题的是（）A.两条没有公共点的直线平行B.圆心与圆上两点确定一个平面C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行D.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直5.在平行四边形中，是任意一点，则=（）A. B. C. D.6.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（）A. B. C. D.7.设小于10的质数构成的集合为，若，均为中任意选取的一个元素，则函数的定义域为的概率为（）A. B. C. D.8.在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.的虚部为C.在复平面内对应的点位于第四象限 D.是方程的复数根10.如图，在半圆台中，是半圆的直径，是半圆的直径，是弧的中点，且，，则（）A.半圆台的体积为B.半圆台的表面积为C.直线与所成的角为D.直线与所成角的正切值为11.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（）A.甲：极差为4，平均数为4.4 B.乙：中位数为3，平均数为3.4C.丙：平均数为3，方差不小于4 D.丁：中位数为2，方差大于2.5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____．13.已知某时钟的时针、分针的长度分别为3cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm．14.若两个非零向量与的夹角为，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点．（1）证明：；（2）若为的中点，证明：平面平面．16.邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示．（1）求的值．（2）估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数．（3）若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）17.如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的正切值．18.已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，．（1）证明：．（2）求．（3）若的中线，求的面积．19.如图，十面体的下底面是边长为的正六边形．四边形，，，，，均是全等的梯形．四边形，，均是全等的菱形，且，，，，．（1）证明：平面．（2）求该十面体的体积．（3）若是菱形内（包括边界）的一个动点，设直线与平面所成的角为，求的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以的共轭复数为.2.底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（）A.一个边长为的正方形 B.一个边长为的正方形C.一个长为，宽为的矩形 D.一个长为，宽为的矩形答案：C解析：解答过程：底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形.3.学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（）A.小明只有一场比赛获奖 B.小明两场比赛均获奖C.小明至多一场比赛获奖 D.小明两场比赛均未获奖答案：D解析：思路：直接利用对立事件的定义判断即可.解答过程：小明仅参加了两场比赛，情况如下：①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖，所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”.4.下列命题为真命题的是（）A.两条没有公共点的直线平行B.圆心与圆上两点确定一个平面C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行D.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直答案：D解析：解答过程：对于A，两条没有公共点的直线可能平行也可能异面，A错误；对于B，当圆上两点连线经过圆心时无法确定一个平面，B错误；对于C，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，C错误；对于D，过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，D正确.5.在平行四边形中，是任意一点，则=（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量加减法运算即可.解答过程：在平行四边形中，，所以.6.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，由等体积法可得到平面的距离.解答过程：连接，交于点，连接，则为的中点.因为平面，平面，所以.所以，所以.所以，所以的面积为.因为平面，，所以.设到平面的距离为，由，得.7.设小于10的质数构成的集合为，若，均为中任意选取的一个元素，则函数的定义域为的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先确定集合的元素得到总基本事件数，再结合对数定义域要求与二次函数恒正条件得出，计数满足条件的基本事件数后用古典概型公式求解.解答过程：小于的质数为，，，，故集合，由于，是从M中任意选取的元素，可重复选取，因此总基本事件数为，函数的定义域为，等价于对任意，恒成立，故

，即，若，则可为、；若，则可为、、；若或，则可为、、、；共符合要求的基本事件总数为，故函数的定义域为的概率为.8.在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先找出侧面截球所得截面圆的圆心，再求出曲线所对的圆心角，根据弧长公式求解.解答过程：因为正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，取的中点，连接，则；又侧棱底面，所以，，所以平面，所以为截面圆的圆心，且.设侧面截球所得的小圆半径为，由球的截面性质，得.设球与三棱柱的棱的交点分别为，因为为截面圆的圆心，根据对称性，则，所以，所以曲线为以点为圆心，圆心角为，半径的圆弧，则弧长为，所以曲线的长度为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.的虚部为C.在复平面内对应的点位于第四象限 D.是方程的复数根答案：AC解析：解答过程：.选项A：，正确.选项B：的虚部为，不是，错误.选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确.选项D：将代入方程可得：，故不是该方程的根，错误.10.如图，在半圆台中，是半圆的直径，是半圆的直径，是弧的中点，且，，则（）A.半圆台的体积为B.半圆台的表面积为C.直线与所成的角为D.直线与所成角的正切值为答案：ACD解析：思路：对于AB，由圆台体积，表面积公式可判断选项正误；对于C，由平面可判断选项正误；对于D，由，可得与所成角为，据此可判断选项正误.解答过程：对于A，由题干数据结合圆台体积公式可得半圆台体积为：，其中，则，故A正确；对于B，由题干数据，半圆台表面积为：，其中，，则，故B错误；对于C，由题可得，又平面，，则平面，结合平面，可得，从而与所成角为，故C正确；对于D，因，则与所成角为.如图，作平面.由题可得，则，，又易得，则，从而，故D正确．11.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（）A.甲：极差为4，平均数为4.4 B.乙：中位数为3，平均数为3.4C.丙：平均数为3，方差不小于4 D.丁：中位数为2，方差大于2.5答案：AC解析：思路：根据极差，中位数的定义，假设5个数据不含6，确定固定的数，其余数字按平均数或方差构造合理数字检验假设是否成立.解答过程：选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立；选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件；选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时，平均数是3，方差为，假设不成立；选项D，当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3，方差为，满足题意.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____．答案：解析：解答过程：由直观图可知，在轴上，在轴上，且（或）.所以原图形中，在轴上，且；在轴上，且.所以，即.所以

.13.已知某时钟的时针、分针的长度分别为3cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm．答案：解析：思路：根据时钟显示的时间确定时针与分针的夹角，构造三角形，利用余弦定理计算两针尖之间的距离.解答过程：设时针的长度为，分针的长度为，时针针尖与分针针尖之间的距离为，由图可知，时钟显示的时间为，此时分针指向数字，时针指向数字与的正中间，因为时钟表盘上相邻两个数字之间的圆心角为，所以时针与分针的夹角，在由时针、分针及两针尖连线构成的三角形中，由余弦定理可得：，故时针的针尖与分针的针尖之间的距离为cm.14.若两个非零向量与的夹角为，则的取值范围为______．答案：解析：思路：设出向量与的模，将用向量与的模表示出来，通过换元，转化为函数求解.解答过程：设，向量与的夹角为，则，令（即），代入得，所以，令，则，令，则，所以.所以的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点．（1）证明：；（2）若为的中点，证明：平面平面．答案：（1）在正方体中，平面，所以平面，又为过的截面与底面的交线，所以平面，所以.（2）因为，由（1）得，在中，F为的中点，所以E为的中点，又M为中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，所以平面,又因为分别为的中点，所以,平面，所以平面，，平面，所以平面平面.解析：思路：（1）利用线面平行的性质直接得到线线平行；（2）利用线面平行证明面面平行.（1）略（2）略16.邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示．（1）求的值．（2）估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数．（3）若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）答案：（1）（2）（3）平均亩产量为kg，地是邢麦的优秀种植地解析：思路：（1）根据频率分布直方图所有矩形面积和为1，列出等式求出即可；（2）先根据各组频率判断70%分位数落在，设70%分位数为，建立频率为的等量关系，即可求出70%分位数；（3）求平均亩产量即求出加权平均数，从而判断A地是否是邢麦43的优秀种植地.（1）解：由频率分布直方图所有矩形面积和为1可得，，解得；（2）由（1）知，则的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，又，，所以70%分位数落在内，设70%分位数为，则，又，代入得，解得，所以70%分位数为；（3）各组区间中点值分别为：，，，，由（2）知各组的频率分别为：，，，，则平均亩产量，因为，所以A地是邢麦43的优秀种植地.17.如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的正切值．答案：（1）因为圆O直径，则，又，，平面，则平面，结合平面，则平面平面；（2）解析：思路：（1）通过证明平面，结合题设可完成证明；（2）取中点为，连接DF，再作，由题可得为二面角平面角，据此可得答案.（1）略（2）取中点为，连接，因是正三角形，则，又平面平面．平面平面，平面，则平面，结合平面，可得.如图，作，因，平面，则平面，结合平面，可得，从而可得为二面角平面角.因正三角形边长为2，则.因，则,作，则，注意到，为AC中点，从而.又易得，则.18.已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，．（1）证明：．（2）求．（3）若的中线，求的面积．答案：（1），，.，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得；.（2）（3）解析：思路：（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到；（2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小；（3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积.（1）略（2）由（1）得，，则，，，为钝角，