2025-2026学年河南邓州市第六高级中学校等高中高一下学期期中质量评估数学试题-含解析

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B.0 C. D.2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3.函数的图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.4.在边长为1的正方形中，P为的中点，则（）A. B. C. D.5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（）A.2 B. C. D.36.若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（）A.，B.C.D.当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米8.关于x的方程在区间有两个不相等的解，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）A.单位向量都相等B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若非零向量，满足，则在上的投影向量为10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，．则（）A.B.若，则C.若为的平分线，则D.若，则11.如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，，点E的横坐标为，．则（）A.B.的面积为C.若在有n个解依次为，则D.把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的取值范围为．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则的取值范围为_____________．13.已知，．当时，，则_____________．14.已知．对，使得成立，则y的最小值为_____________．四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数；（2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值．16.已知单位向量，的夹角为，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的值．17.函数，．（1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）；（2）若有2个根，求实数m的取值范围；（3）若在上的值域为，求的取值范围．18.已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值；（3）若，，求的取值范围．19.在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点．（1）若为正三角形，求；（2）已知①求证：；②若，，求面积的最大值．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B.0 C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可知：.2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案：C解析：思路：作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得，又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果.解答过程：作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.故选：C.3.函数的图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正切函数的对称中心求解即可.解答过程：对于函数，令，解得：.所以对称中心的坐标为．取，此时对称中心为.4.在边长为1的正方形中，P为的中点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量三角形法则转化到、为基底上计算即可.解答过程：.5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，满足条件的有两个，则b可能为（）A.2 B. C. D.3答案：B解析：解答过程：已知，，根据正弦定理，可得，要使三角形有两个解，需满足：且，即：，解得：.时，满足条件，有两解.6.若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：结合正弦函数的图像性质，确定最大值存在、最小值不存在的条件.解答过程：因为且，设，所以.函数在上有最大值、无最小值，等价于在上有最大值、无最小值.正弦函数的最大值为，在（）处取得；最小值为，在（）处取得.存在最大值：区间必须包含，即，化简得：.无最小值：区间不能包含，即，化简得：.综上，的取值范围是.7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（）A.，B.C.D.当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米答案：D解析：思路：根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，即可判断ABC，令代入运算即可判断D．解答过程：函数中，所以，时，，解得，因为，所以，所以，故ABC正确；当时，，点P距水面的高度为2米，D不正确．8.关于x的方程在区间有两个不相等的解，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：令，可得，令，结合函数，，和，的图象分析求解即可.解答过程：因为，令，可得，即，令，，作出函数，，和，的图象，如图所示：若，则方程只有一个根，且方程有2个不同的根，符合题意；若，则方程有2个根，，且方程和均有2个不同的根，不合题意；若，则方程有2个根，，且方程和均有1个根，符合题意；若，则方程只有一个根，且方程有2个不同的根，符合题意；若，则方程只有一个根，且方程有1个根，不合题意；综上所述：实数a的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）A.单位向量都相等B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若非零向量，满足，则在上的投影向量为答案：BC解析：思路：对于AB：根据平行向量的相关概念分析判断；对于C：根据模长结合数量积的运算律可得，进而求向量夹角；对于D：根据投影向量的定义结合向量的方向分析判断.解答过程：对于选项A：因为单位向量仅要求模长为1，方向不一定相同，而向量相等需要模相等且方向相同，因此单位向量不一定都相等，故A错误；对于选项B：作用力与反作用力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上，所以作用力与反作用力是一对共线向量，故B正确；对于选项C：因为，则，可得，即，又因为向量，均为非零向量，则，且，可得，所以与共线且反向，故C正确；对于选项D：因为在上的投影向量与共线，且，即与不共线，所以在上的投影向量不为，故D错误.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，．则（）A.B.若，则C.若为的平分线，则D.若，则答案：ABD解析：思路：对于A：利用余弦定理运算求解；对于B：利用向量可得，代入求解即可；对于CD：利用等面积法结合三角形面积公式运算求解.解答过程：对于选项A：因为，，，则，且，所以，故A正确；对于选项B：若，则，可得，即，可得，所以，故B正确；对于选项C：若为的平分线，则，因为，即，所以，故C错误；对于选项D：若，则，由的面积可得，所以，故D正确.11.如图，函数的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，，点E的横坐标为，．则（）A.B.的面积为C.若在有n个解依次为，则D.把函数的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，则正数k的取值范围为．答案：ACD解析：思路：分析可知点为的中点，，结合周期性可得，根据最大值点可得，代入点可得，即可判断AB；以为整体，结合正弦函数性质运算求解；对于D：根据图象变换可得，作出的图象，结合图象分析求解.解答过程：因为，则点为的中点，可知，且，则函数的最小正周期，且，则，即，即，可知为函数的最大值点，则，即，因为，则，可得，即，则，又因为，则，即，所以，故A正确；的面积为，故B错误；若，因为，则，可得，解得，可知在内的解依次为，所以，故C正确；把函数的图象向右平移个单位，可得，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，可得，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，可得，最后向上平移一个单位，所以，可得的图象，如图所示，当图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，则，所以正数k的取值范围为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则的取值范围为_____________．答案：解析：思路：根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围.解答过程：当与方向相同时，根据向量模的性质可知.已知，，将其代入可得，即的最大值为3.

当与方向相反时，根据向量模的性质可知.已知，，将其代入可得，即的最小值为1.

由上述计算可知的最小值为1，最大值为3，所以的取值范围是.13.已知，．当时，，则_____________．答案：解析：思路：推导并利用函数的周期求解即可.解答过程：因为，所以，即函数周期为6,所以.14.已知．对，使得成立，则y的最小值为_____________．答案：解析：思路：对，使得，求出的所有最大值中的最小值，计算即可.解答过程：作出的图像如图所示：因为正弦函数的周期为，所以的周期为，区间的长度为，恰好等于的半个周期.成立，即所有长度为的区间内，的最大值中的最小值，要大于等于.当区间关于对称时，取得最大值中的最小值为.要使成立，需，又，在单调递减，故：.四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数；（2）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求的值．答案：（1）;（2）解析：思路：（1）运用扇形的弧长、面积公式计算即可；（2）由三角函数的定义求出，然后利用诱导公式化简式子计算即可.解答过程：（1）设扇形的半径为，圆心角为.所以，解得：所以这个扇形圆心角的弧度数为.（2），已知角终边过点，所以，所以.16.已知单位向量，的夹角为，向量，向量．（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的值．答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）由题意可知存在实数，使得，结合平面向量基本定理运算求解；（2）由题意可知，结合数量积的运算律运算求解即可；（3）由题意可知，结合数量积的运算律运算求解即可.（1）若，则存在实数，使得，即，且不共线，则，解得.（2）由题意可知：，，若，则，即，解得.（3）若，则，可得，即，可得，解得或.17.函数，．（1）请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）；（2）若有2个根，求实数m的取值范围；（3）若在上的值域为，求的取值范围．答案：（1）图象见详解（2）（3）解析：思路：（1）化简函数的解析式，结合五点法列表，进而可得函数的图象；（2）分析可知与有2个交点，结果函数的图象分析求解；（3）解方程和，结合函数的图象分析的最值，进而可得结果.（1）因为，可得030103所以函数的图象如图所示：（2）若有2个根，则与有2个交点，结合函数的图象，可得或，所以实数m的取值范围为.（3）令，则，即，可得或，由图可知：当且仅当或时，，若在上的值域为，当，时，取到最小值；当，时，取到最大值；所以的取值范围为.18.已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值；（3）若，，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据已知条件求出和的值，进而得到函数的解析式；（2）先求出