2025-2026学年河南省九师联盟高一下学期6月考数学试题-含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（）A.六棱锥 B.五棱柱 C.四棱台 D.圆台2.复数的虚部为（）A.4 B. C.3 D.3.在中，点满足，点满足，则（）A. B.C. D.4.已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（）A. B. C. D.5.已知一个三角形的三条高的长度分别为，，，则该三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6.已知，是复数，，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（）A. B. C. D.8.在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则，是异面直线B.若，，，则C.若，，则与可能相交D.若，，则10.已知的内角所对的边分别为，，，则（）A.B.的外接圆面积为C.若，则满足条件的三角形仅有个D.周长的最大值为11.如图，在正四棱台中，，侧面积为，则下列说法正确的是（）A.该棱台的体积为B.点到平面的距离为C.直线与所成角的余弦值为D.该棱台的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量满足，则的夹角为______．13.如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时．14.已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．16.已知平面向量，，且．（1）求在上的投影向量的坐标；（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．17.如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，．（1）若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程；（2）求证：平面．18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于．（1）求证：为的中点；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值．19.如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点满足，与交于．（1）求的值；（2）若是锐角三角形，，，求的取值范围；（3）若，的面积为11，求的最小值．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（）A.六棱锥 B.五棱柱 C.四棱台 D.圆台答案：C解析：思路：分别计算每个选项中几何体的总面数，筛选出总面数为6的几何体.解答过程：对于A：六棱锥有1个底面+6个侧面，共个面，A错误；对于B：棱柱总面数=侧面数+2个底面，五棱柱有5个侧面+2个底面，共个面，B错误；对于C：棱台总面数=侧面数+2个底面，四棱台有4个侧面+2个底面，共个面，C正确；对于D：圆台有上底面、下底面、侧面共3个面，D错误.2.复数的虚部为（）A.4 B. C.3 D.答案：B解析：思路：由复数的乘方化简后根据复数的定义判断．解答过程：，虚部为．3.在中，点满足，点满足，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据题意结合平面向量基本定理即可求解.解答过程：已知且，所以，则，故A正确.4.已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法规则进行求解计算即可.解答过程：由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形，所以直观图的面积为.5.已知一个三角形的三条高的长度分别为，，，则该三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案：A解析：思路：由面积结合三条高表示三边长确定是最大边，对应最大角为，由余弦定理判断的符号，确定三角形形状.解答过程：设三角形面积为，三边长对应高分别为，由三角形面积公式可得三边长为：

，因为，因此是最大边，对应最大角为，由余弦定理：

，由

得，即最大角为锐角，因此该三角形是锐角三角形.6.已知，是复数，，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求再由利用三角不等式求解即可解答过程：∵，，即.7.在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：取的中点，连接，说明即为二面角的平面角，设，根据侧面的面积为底面的面积的，求出，再利用余弦定理解即可.解答过程：如图，取的中点，连接，因为，所以，所以即为二面角的平面角，设，则，由，得，所以，则，在中，由余弦定理得，所以，所以，即二面角的正切值为.8.在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：依题意建立平面直角坐标系，根据向量坐标的数量积运算，及恒成立条件得到，进而根据二次函数的性质即可求出的最小值．解答过程：以为原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，，，则，，，，则，对任意恒成立，又对任意恒成立，则，则，所以的最小值为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则，是异面直线B.若，，，则C.若，，则与可能相交D.若，，则答案：BC解析：思路：由空间线线、线面、面面的位置关系，及面面平行、面面垂直的性质定理逐项判断即可.解答过程：对于A，由，，，可得，异面或平行，错误；对于B，因为，，所以，又，所以，正确；对于C，由，，可得与相交或平行，正确；对于D，由，，可得或相交或，错误.10.已知的内角所对的边分别为，，，则（）A.B.的外接圆面积为C.若，则满足条件的三角形仅有个D.周长的最大值为答案：AC解析：思路：利用正弦定理、余弦定理求解判断ABC；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断D.解答过程：对于A，由于，结合正弦定理得，在中，有，所以，则有，即，又因为，，所以又因为，所以，故A正确；对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径，则，解得，外接圆面积，故B错误；对于C，已知，，，由余弦定理，代入数据得，化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解，因此满足条件的三角形仅有个，故C正确；对于D，已知，，由余弦定理，代入数据得，化简得，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则，解得，因此周长的最大值为，故D错误.11.如图，在正四棱台中，，侧面积为，则下列说法正确的是（）A.该棱台的体积为B.点到平面的距离为C.直线与所成角的余弦值为D.该棱台的外接球的表面积为答案：ABD解析：思路：根据正棱台的性质求得斜高、高、侧棱长，由体积公式计算体积判断A，把棱台补成棱锥后利用体积法得点到平面距离判断B，根据定义求得异面直线所成角的余弦值判断C，确定外接球球心所在位置，求出外接球半径后计算表面积判断D．解答过程：对于A，由已知，，如图，于，平面于，由在上，连接，所以正四棱台的侧面积为，所以，又，所以，所以正四棱台的体积为，A正确；对于B，把正四棱台的侧棱延长交于点得正四棱锥，分别是正四棱台上、下底中心（对角线交点），则是棱锥的高（在上），，，因为，所以平面是正四棱锥的中截面，所以，,是等边三角形，，设到平面即平面的距离为，所以，又，,因为，所以，解得，B正确；对于C，取中点，连接，则与平行且相等，所以是平行四边形，所以，所以是直线与所成角或其补角，，，又，在中，C错；对于D，由正棱台性质知其外接球球心在直线上，是等腰直角三角形，，而（是的一条中位线），即，过的中点，作交直线于点，则，即为外接球球心，，，又，所以，所以，所以，所以，所以外接球表面积为，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知单位向量满足，则的夹角为______．答案：##解析：解答过程：由，得，所以，因为，所以，解得，因为，所以．13.如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时．答案：##解析：思路：利用余弦定理求出，结合行驶速度即可求得所需时间.解答过程：在中，由题意得：海里，海里，因在南偏西，在正东，因此。由余弦定理，

，即，故

得海里，因甲船速度为30海里/小时，因此甲船到达处所需时间小时。14.已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________．答案：解析：思路：求出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，求出轨迹长度；解答过程：由题意在上，取，则由正方体的性质可知平面，又平面，则，则，即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，如图设圆弧与交于，，所以，则，则弧长为故点的轨迹长度为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的定义列出方程求出，再根据复数的模的计算公式即可得解；（2）根据复数的几何意义列出不等式组，解之即可.（1）由题意可知，因为为纯虚数，则，解得，所以，；（2），因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解得或，即的取值范围是．16.已知平面向量，，且．（1）求在上的投影向量的坐标；（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值；（2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围．（1）因为，所以，解得，所以，，，，所以在上的投影向量为所以在上的投影向量的坐标为．（2），，因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行，所以，解得，又与不平行，则，所以，所以实数的取值范围为．17.如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，．（1）若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程；（2）求证：平面．答案：（1）（2）证明：连接，，，因为，分别为，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．因为劣弧的长为，则，因为，则，所以为等边三角形，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．解析：思路：（1）先利用圆锥的表面积公式求出及圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，再利用勾股定理求出展开图中扇形的弦长即可；（2）先通过证，，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，进而利用面面平行的性质得到平面．（1）由题意可知该圆锥的表面积，又，,解得，，该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则，则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形，所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为．（2）略18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于．（1）求证：为的中点；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值．答案：（1）证明：连接，，因为四边形是矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以，因为是的中点，所以为的中点．（2）证明：因为，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，又平面，所以，因为，且，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（3）解析：思路：（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论；（2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论；（