2025-2026学年河南省许昌市禹州市十一校联考高二下学期6月期末数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合且的元素的个数为（）A.4 B.5 C.6 D.无穷多个2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C.1 D.133.复数的虚部为（）A.1 B.3 C.5 D.74.若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（）A. B.C. D.5.在边长为2的菱形ABCD中，，则（）A. B.4 C.6 D.6.已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C.1 D.27.如果一个球与多面体的每条棱都相切，则称这个球为多面体的“棱切球”，如图，在正八面体中，，则该正八面体的棱切球的体积为（）A. B. C.4π D.8π8.过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（）A. B. C.2 D.3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数与，则与（）A.有相同的最小正周期 B.有相同的零点 C.有相同的对称中心 D.有相同的值域10.已知O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，点A在C上且，则（）A.C的离心率为2 B.点到C的一条渐近线的距离为3C.的面积为3 D.以，为焦点且经过点A的椭圆的离心率为11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则的图象在点处的切线方程为B.若，则a的取值范围是C.若，则D.若方程无实根，则a的最小整数值是0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则sinC=________．13.语文老师要求全班所有同学从中国古典四大名著中任选两本阅读，则本班甲、乙两位同学阅读的四大名著恰有一本相同的概率为________．14.已知数列的前n项和为，若，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026年国际足联世界杯于6月11日至7月19日由美国、加拿大、墨西哥三国联合举办，球迷小明为了解大家对世界杯的关注程度，对全班50名同学进行调查，统计数据如下：

关注世界杯不关注世界杯男生246女生812（1）分别估计男生和女生关注世界杯的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，分析男生与女生对世界杯的关注度是否有差异．附：．α0.050.010.0013.8416.63510.82816.已知数列的各项均不为0，前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17.如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且．（1）证明：；（2）当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值．18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）若直线l经过点，求的面积的最大值；（3）C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求a的值；（3）若数列的前n项和为，求证：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合且的元素的个数为（）A.4 B.5 C.6 D.无穷多个答案：B解析：解答过程：，共5个元素．2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C.1 D.13答案：C解析：解答过程：因为数列是等差数列，所以，所以.3.复数的虚部为（）A.1 B.3 C.5 D.7答案：D解析：思路：根据复数乘法运算及复数定义分析求解即可.解答过程：因为，所以复数的虚部为7．4.若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据题意利用作差法判断A；利用作差法、基本不等式及指数函数的性质判断B；利用作差法、及二次函数的性质判断C；利用作差法、基本不等式及对数函数的性质判断D..解答过程：对于A，对，且，则，所以，不满足题意，故A错误；对于B，对，且，则，所以，满足题意，故B正确；对于C，对，且，则，所以，不满足题意，故C错误；对于D，对，且，，由基本不等式可得，所以，即，所以，不满足题意，故D错误.5.在边长为2的菱形ABCD中，，则（）A. B.4 C.6 D.答案：C解析：思路：由平面向量数量积公式结合条件即可求解.解答过程：连接BD，设AC与BD交于点O，则．因为菱形ABCD的边长为2，，所以△ABD是等边三角形，所以，从而，且，所以．6.已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C.1 D.2答案：C解析：思路：根据题意，可得为周期为的偶函数，根据性质求值.解答过程：已知是定义在R上的偶函数，即，是奇函数，即，则，所以，所以，则.7.如果一个球与多面体的每条棱都相切，则称这个球为多面体的“棱切球”，如图，在正八面体中，，则该正八面体的棱切球的体积为（）A. B. C.4π D.8π答案：A解析：思路：根据正八面体的结构特征得八面体的棱长为2，从而棱切球的半径为1，即可得.解答过程：根据正八面体的对称性，四边形均是正方形，因为，所以这三个正方形的边长均为2，由于棱切球与每条棱均相切，所以棱切球的直径等于这三个正方形的边长，则半径为1，所以棱切球的体积为.8.过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（）A. B. C.2 D.3答案：D解析：思路：设直线方程联立得韦达关系式，用向量垂直列方程求参，再用抛物线焦半径性质得比值.解答过程：由题意知，设，，，其中．由消去x，得，则，．所以，．因为，所以，因，则得，即，将韦达定理代入，得，整理得，即，解得，所以，解得，，则．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数与，则与（）A.有相同的最小正周期 B.有相同的零点 C.有相同的对称中心 D.有相同的值域答案：AD解析：思路：应用辅助角公式化简函数式，从而得到，结合图象分析判断各项的正误.解答过程：函数，，所以，即的图象是的图象向右平移个单位长度得到，所以与有相同的最小正周期和值域，但是对称中心不同，零点不同．10.已知O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，点A在C上且，则（）A.C的离心率为2 B.点到C的一条渐近线的距离为3C.的面积为3 D.以，为焦点且经过点A的椭圆的离心率为答案：ACD解析：思路：求出双曲线中，然后逐项判断即可．解答过程：因为双曲线C：，所以，，．对于A，C的离心率为，故A正确；对于B，左焦点，渐近线方程为，所以点到渐近线的距离为，故B错误；对于C，在中，，所以为直角三角形，由得，所以的面积为，故C正确；对于D，由得，所以椭圆的离心率为，故D正确．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则的图象在点处的切线方程为B.若，则a的取值范围是C.若，则D.若方程无实根，则a的最小整数值是0答案：AC解析：思路：通过对函数求导判断各类情况的斜率、单调区间来求解，并利用函数间的不等式判断范围.解答过程：选项A，因为，当时，，，可知切线斜率为，又因为，所以切线方程为，正确.选项B，，，若，则，明显不恒成立.若，则，时不成立.若，令，解得，所以在单调递增，单调递减.，要使，即可，解得，错误.选项C，时，，使成立，即成立.因为，函数在单调递减，在单调递增，且，所以，等号在时成立，因为，函数在单调递减，在单调递增，且，所以，等号在时成立，可知成立，正确.选项D，，可知，因为且，所以与函数有交点，即存在实根，错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则sinC=________．答案：解析：思路：根据正弦定理求解即可．解答过程：由正弦定理得，则．13.语文老师要求全班所有同学从中国古典四大名著中任选两本阅读，则本班甲、乙两位同学阅读的四大名著恰有一本相同的概率为________．答案：解析：思路：根据排列组合的知识及古典概型的概率计算公式求解即可．解答过程：所求的概率为．14.已知数列的前n项和为，若，则________．答案：30200解析：思路：分析出，再分组求和即可解答过程：当，时，，当，时，，两式联立得，故，所以，所以，又，故，即，将与相加可得，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2026年国际足联世界杯于6月11日至7月19日由美国、加拿大、墨西哥三国联合举办，球迷小明为了解大家对世界杯的关注程度，对全班50名同学进行调查，统计数据如下：

关注世界杯不关注世界杯男生246女生812（1）分别估计男生和女生关注世界杯的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，分析男生与女生对世界杯的关注度是否有差异．附：．α0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）男生：；女生：（2）依据小概率值的独立性检验，推断男生与女生对世界杯的关注度有差异解析：思路：（1）用频率估计概率，代入数据计算即可；（2）由列联表求得值，再与临界值表对照下结论.（1）估计男生关注世界杯的概率为；女生关注世界杯的概率为．（2）零假设：男生与女生对世界杯的关注度没有差异．根据列联表中的数据计算得，所以根据小概率值的独立性检验推断不成立，即依据小概率值的独立性检验，可推断男生与女生对世界杯的关注度有差异．16.已知数列的各项均不为0，前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由，可得，从而可得数列是等比数列，再求通项公式即可；（2）由（1）可得，从而得，从而利用错位相减求解即可.（1）因为①，当时，则有，当时，则有②，由①②，得，所以，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比，所以；（2）由（1）可得，所以，所以，所以，所以，两式相减，得，所以.17.如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且．（1）证明：；（2）当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值．答案：（1）连接AG，，．在正方体中，底面ABCD，底面ABCD，所以．因为G，F分别是BC，AB的中点，所以，即，进而.因为，所以，所以．又平面，所以平面，又平面，所以．（2）解析：思路：（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.（1）略（2）在正方体中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.设为平面CEF的法向量，因为，，所以令，则．因为平面CEF，所以，解得，所以．设直线EH与平面CEF所成的角为θ，则，即直线EH与平面CEF所成角的正弦值为．18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）若直线l经过点，求的面积的最大值；（3）C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点．答案：（1）（2）2（3）解析：思路：（1）根据离心律和椭圆系数求得；（2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。（1）设C的半焦距为．由题意可得解得所以C的方程为．（2）由（1）可知，．可设l：，，，由消去x得，则，．所以．，当且仅当，即时“=”成立，即的面积的最大值为2．（3）设l：．由消去x得，所以，，．因为，，所以由可得，所以，即，化简整理得，解得或．当时，直线l：经过点D，不符合题意；当时，直线l：经过点，也满足，符合题意．综上所述，当时，直线l过定点．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求a的值；（3）若数列的前n项和为，求证：．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）1（3）证明：，故只需证明，即，，先证明，当时，恒有，由（2）知，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时，等号成立，，令，则，即，令，得，令，得，上面两式相加得，即，当时，，当时，，当时，，……，当时，，相加可得，故结论得证；解析：思路：（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性；（2）在