2025-2026学年河南省南阳市六校高二下学期期末素质评价数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合且的非空子集的个数为（）A.15 B.31 C.32 D.642.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C.1 D.133.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（）A. B.C. D.5.已知，若函数的值域为，则a的值最小为（）A.e B.2 C.1 D.6.已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C.1 D.27.若是函数的极大值点，则的极小值为（）A. B. C.0 D.48.若关于x的不等式恒成立，则（）A. B.0 C.1 D.2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.10.已知函数和满足，且为奇函数，为偶函数，则（）A.B.C.在上单调递增D.函数的最小值不可能为11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则的图象在点处的切线方程为B.若，则a的取值范围是C.若，则D.若方程无实根，则a的最小整数值是0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若成等比数列，则该数列的公比为________．13.若，则实数________．14.已知数列的前n项和为，若，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围．16.已知数列的各项均不为0，前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17.已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值．（1）判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由；（2）若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围．18.已知函数．（1）若，证明：曲线在点处的切线过定点；（2）若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围；（3）若对任意的，且，恒有，求的取值范围．19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求a的值；（3）若数列的前n项和为，求证：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合且的非空子集的个数为（）A.15 B.31 C.32 D.64答案：B解析：解答过程：因为，所以集合有5个元素，故的非空子集个数是．2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C.1 D.13答案：C解析：解答过程：因为数列是等差数列，所以，所以.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：解答过程：对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立，对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立，可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.4.若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据题意利用作差法判断A；利用作差法、基本不等式及指数函数的性质判断B；利用作差法、及二次函数的性质判断C；利用作差法、基本不等式及对数函数的性质判断D..解答过程：对于A，对，且，则，所以，不满足题意，故A错误；对于B，对，且，则，所以，满足题意，故B正确；对于C，对，且，则，所以，不满足题意，故C错误；对于D，对，且，，由基本不等式可得，所以，即，所以，不满足题意，故D错误.5.已知，若函数的值域为，则a的值最小为（）A.e B.2 C.1 D.答案：C解析：解答过程：当时，又，所以；当时，函数在上单调递增，所以；又函数的值域为，所以，解得，所以a的值最小为1.6.已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（）A. B. C.1 D.2答案：C解析：思路：根据题意，可得为周期为的偶函数，根据性质求值.解答过程：已知是定义在R上的偶函数，即，是奇函数，即，则，所以，所以，则.7.若是函数的极大值点，则的极小值为（）A. B. C.0 D.4答案：A解析：思路：由极值点可以将的值计算出来，求导由单调性找出极小值点，代入函数计算极小值.解答过程：，所以，因为是函数的极大值点，所以，解得，所以，则，令，或，，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，，所以函数的极小值为.8.若关于x的不等式恒成立，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：D解析：思路：结合绝对值函数的最小值性质，确定的取值，再根据的区间最值条件求解的值，再代入对数公式计算。解答过程：关于x的不等式恒成立.1、恒成立，即当时，恒成立，所以只需，所以b−2、恒成立恒成立，即当时，恒成立，而，当a=0时，不可能对整个区间成立，故a>0，恒成立，所以只需，所以b−联立1与2即计算.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A，因为，则得，故A正确；对于B，若取，满足，此时，不满足，故B错误；对于C，由题意得，因为，所以，故C正确；对于D，由题意得，因为，所以，则，故D正确.10.已知函数和满足，且为奇函数，为偶函数，则（）A.B.C.在上单调递增D.函数的最小值不可能为答案：ABD解析：思路：根据题意，利用函数的奇偶性即可判断AB；利用导数即可求出函数的单调性，判断C；令，将转化为关于的二次函数，分类讨论对称轴即可判断D.解答过程：对于A，由于为奇函数，为偶函数，所以，，又因为，所以，即，根据，解得，，故A正确；对于B，由选项A可知，，所以，而，因此，故B正确；对于C，，求导得，当时，且，因此，即，所以在上单调递减，故C错误；对于D，由选项B可知，且，所以，因此函数可转化为，令，由于，当且仅当时取等号，所以，所以变成，对称轴为，当，即时，的最小值在处取得，此时，由于，所以，即的最小值大于等于；当，即时，的最小值在处取得，此时，由于，所以；综上所述，的最小值不可能为，故D正确.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，则的图象在点处的切线方程为B.若，则a的取值范围是C.若，则D.若方程无实根，则a的最小整数值是0答案：AC解析：思路：通过对函数求导判断各类情况的斜率、单调区间来求解，并利用函数间的不等式判断范围.解答过程：选项A，因为，当时，，，可知切线斜率为，又因为，所以切线方程为，正确.选项B，，，若，则，明显不恒成立.若，则，时不成立.若，令，解得，所以在单调递增，单调递减.，要使，即可，解得，错误.选项C，时，，使成立，即成立.因为，函数在单调递减，在单调递增，且，所以，等号在时成立，因为，函数在单调递减，在单调递增，且，所以，等号在时成立，可知成立，正确.选项D，，可知，因为且，所以与函数有交点，即存在实根，错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若成等比数列，则该数列的公比为________．答案：2解析：解答过程：因为成等比数列，所以，解得，所以该数列的公比为.13.若，则实数________．答案：解析：思路：根据同构的思想可得，设函数，利用导数得函数单调性，从而得解.解答过程：由，可得，即，设函数，则,所以函数为增函数，所以，即.14.已知数列的前n项和为，若，则________．答案：30200解析：思路：分析出，再分组求和即可解答过程：当，时，，当，时，，两式联立得，故，所以，所以，又，故，即，将与相加可得，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解；（2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解.（1）不妨设二次函数，由，可得，所以；由，可得，即，即，解得，故.（2）函数为开口向上的二次函数，对称轴为，当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上有最大值，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上没有最大值，符合题意；综上所述：若在上没有最大值，实数m的取值范围为．16.已知数列的各项均不为0，前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由，可得，从而可得数列是等比数列，再求通项公式即可；（2）由（1）可得，从而得，从而利用错位相减求解即可.（1）因为①，当时，则有，当时，则有②，由①②，得，所以，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比，所以；（2）由（1）可得，所以，所以，所以，所以，两式相减，得，所以.17.已知函数的定义域为D，且，，使得恒成立，则称是D上的受约束函数，为的约束值．（1）判断是否是受约束函数，若是，求出约束值的最小值，若不是，请说明理由；（2）若在区间上是受约束函数，且存在约束值，求实数a的取值范围．答案：（1）是，3（2）解析：思路：（1）求得函数值域，即可判断；（2）由题意得到在上恒成立，通过参变分离，基本不等式求最值，即可求解．（1）由题意可得，解得．当时，，所以，所以，即，所以是上的受约束函数，且的约束值满足，故的约束值的最小值为3．（2）因为在上是受约束函数，且存在约束值为，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立．因为，所以，即的取值范围为．18.已知函数．（1）若，证明：曲线在点处的切线过定点；（2）若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围；（3）若对任意的，且，恒有，求的取值范围．答案：（1）已知函数，若，则，，由于，所以切点为，切线斜率，因此切线方程为，化简得，即，当，即时，，因此曲线在点处的切线过定点.（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解；（2）根据题意，求出，然后利用导数求出函数的单调性，根据极大值大于且极小值小于即可求解；（3）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解.（1）略.（2）已知函数，则，由于是的极值点，所以，解得，所以，，令，解得，，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增；因此在处取得极大值，极大值为，在处取得极小值，极小值为，要使有个不同的零点，要满足极大值大于且极小值小于，即，解得，所以的取值范围是.（3）已知函数，则，由于对任意的，且，恒有，移项得，构造函数，上述条件等价于：对任意的，且，恒有，即在上单调递减，则其导数在上恒成立，由于，，当时，，所以大于等于的最大值，令，，令，解得，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；因此在处取最大值，最大值为，所以，解得，所以的取值范围为.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求a的值；（3）若数列的前n项和为，求证：．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）1（3）证明：，故只需证明，即，，先证明，当时，恒有，由（2）知，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时，等号成立，，令，则，即，令，得，令，得，上面两式相加得，即，当时，，当时，，当时，，……，当时，，相加可得，故结论得证；解析：思路：（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性；（2）在（1）的基础上，得到函数最值