2025-2026学年河南省驻马店市泌阳中学等校高一下学期5月期中考试数学试题-含解析

/数学总分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，那么向量的坐标是（）A. B. C. D.2.已知角的终边经过点，若，则（）A. B. C. D.3.设内角，，的对边分别为，，，且，，，则角（）A. B.C.或 D.或4.如图所示，已知在中，D是边上的中点，则（）A. B. C. D.5.如图，在正六边形中，若，则AB+FE=A.2 B. C.4 D.6.若向量，满足：，，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.7.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.8.在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.1弧度的角与1°的角一样大B.锐角一定是第一象限角C.若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为D.终边落在直线上的角的集合是αα10.对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（）A. B.C. D.11.记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（）A.若，则B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将1920°转化为弧度数为__________．13.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则______.（结果用数值表示）14.已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设k为实数，若向量，，.（1）若与垂直，求k的值；（2）当k为何值时，A，B，C三点共线.16.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时x的值.17.如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则（1）求的值（2）若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值.18.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由.（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？19.在中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，.①求边b的值；②若的平分线交于点D，求的长.

数学总分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，那么向量的坐标是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：向量，，a⃗−3b2.已知角的终边经过点，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知角的终边经过点，若，则tanπ3=3=a3.设内角，，的对边分别为，，，且，，，则角（）A. B.C.或 D.或答案：A解析：思路：先根据大边对大角判断角B范围，再直接利用正弦定理求解即可．解答过程：∵，，，∴，，即.由正弦定理，得，∴，故选：A．4.如图所示，已知在中，D是边上的中点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据D为AB中点进行向量转化即可解答过程：DC→=BC→−BD→，因为D5.如图，在正六边形中，若，则（）A.2 B. C.4 D.答案：B解析：解答过程：根据图知，，AB→,则AB→所以AB→故选：B.6.若向量，满足：，，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量数量积的运算律和夹角公式，即可求解.解答过程：由a→⋅a所以cosa因0°<a→,所以与的夹角是.7.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据正弦、余弦以及正切函数的周期以及单调性求解即可.解答过程：选项A.的最小正周期为，不符.选项B.的最小正周期为T=2π2=π在u∈(π,2π选项C.y=−tan⁡2选项D.y=2∣sin⁡x∣，∣sin当x∈(π2,π)时，∣sin⁡8.在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在中，，.有两解的充要条件是：BC<得2<AB<2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.1弧度的角与1°的角一样大B.锐角一定是第一象限角C.若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为D.终边落在直线上的角的集合是答案：BC解析：思路：依据1弧度约为判断A错,由锐角与第一象限角的范围差异判定B正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证C正确,分析直线终边对应的角集,对比D选项集合的含义,得出D错误.解答过程：根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于180∘锐角，第一象限角β∈2kπ扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径），代入，，则，解得，扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确；直线即，过第二、四象限，在内，终边在上的角为：，，因此终边落在上的角的集合为：S=α也可写成：S=而可以拆成：终边在直线上，和：终边在直线上，即该集合表示终边在或上的所有角，与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误；10.对于菱形，给出下列各式，其中正确的有（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：根据向量共线，向量的模，数量线性运算法则依次判断各选项.解答过程：连接，记其交点为，因为四边形为菱形，所以设，则，因为，方向相同，大小相等，所以，A正确；因为不一定相等，所以B错误；因为，，所以，，所以，C错误；因为，所以，D正确；故选：AD.11.记的内角所对的边分别为，则下列判断正确的是（）A.若，则B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则的最小值为答案：ACD解析：思路：根据三角形的边角关系以及正余弦定理依次判断即可.解答过程：对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；对于B，，故边最长，角最大.设，，，则.所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；对于C，已知，在中，，则，因此，即为等腰三角形，故C正确；对于D，S△ABC=12acsin因此的最小值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将1920°转化为弧度数为__________．答案：解析：思路：由角度制化为弧度制公式求解．解答过程：解：，故答案为：13.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则______.（结果用数值表示）答案：18解析：思路：代入投影向量公式，即可求解.解答过程：向量在向量方向上的投影向量为，所以14.已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________.答案：且解析：思路：根据与的夹角为锐角，由，且与不共线解不等式求解.解答过程：因为，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，所以，且，解得且.故答案为：且.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设k为实数，若向量，，.（1）若与垂直，求k的值；（2）当k为何值时，A，B，C三点共线.答案：（1）0（2）或解析：思路：（1）根据向量垂直的坐标表示求解即可.（2）根据向量共线定理求解即可.（1）由与垂直，，..（2）由题意可得：，，若A，B，C三点共线，则，可得，解得或.16.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时x的值.答案：（1），；（2）时，函数取最大值，时，函数取最小值解析：思路：（1）先根据正弦函数递减区间列出的范围，解出的单调递减区间.（2）通过代入平移得到解析式，由的取值范围求出整体角的范围，结合正弦函数在该区间的最值，求出的最大值与最小值.（1）由题意得，由正弦函数的单调性分析，得到，，解得，，因此函数的单调递减区间为，；（2）由（1）知，，所以gx当时，，当时，即时，函数取最大值，当时，即时，函数取3sinπ3−1=当时，即时，函数取3sin5π6所以当时，即时，函数取最小值.17.如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则（1）求的值（2）若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）用表示，再根据向量数量积求解即可.（2）用表示，再根据向量数量积以及二次函数的最值求解即可.（1）由题意可知：，，则，，所以，所以.（2）因为点M为线段（含端点）上的动点，设，，则，，其中，可得，故当时，取得最小值，最小值为.18.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由.（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？答案：（1）左侧，理由见解析（2），（3）解析：思路：（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可.（2）利用沿河岸方向的分速度大小等于|v2（3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解.（1）由题设，在反方向上的分速度为v1cos60°=5所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧.（2）要能到达处，则在反方向上的分速度为v1cosπ−解得cosπ−θ=25，即因此垂直河岸方向上的速度为v1所以当时，游船能到达处，用时d221=（3）由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为v