2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二下学期六月月考数学试题-含解析

/数学满分150分．考试时间为120分钟；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A. B.0 C.5 D.84.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.5.若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是()A. B. C. D.6.已知，，，则（）A. B. C. D.7.近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（）A.元 B.元 C.元 D.元8.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（）A. B.C. D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若，则或B.若，，则C.若，，，则的最小值为9D.若，，则的最大值为1810.已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（）A. B.数列是等差数列C. D.11.已知函数有三个极值点，，（），则（）A.B.C.若，，成等差数列，则，，成等比数列D.若，，成等差数列，则数列，，的公差为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.已知数列满足，且，则_________．13.已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________．14.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，当时，有极小值0.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最值.16.已知数列满足，且，．（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．17.已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值．18.已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）设有两个极值点，求的范围．19.已知函数．（1）求证：；（2）求证：（）；（3）设是函数的两个零点，当时，求的取值范围．

数学满分150分．考试时间为120分钟；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，即，所以，所以.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.解答过程：命题“”的否定是，故选：C3.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A. B.0 C.5 D.8答案：D解析：解答过程：设数列的公差为，因为，且，所以，解得，因此.4.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题，即对于，​成立.设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减，最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为.充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有(−1,+∞)⫋因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是.5.若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是()A. B. C. D.答案：A解析：思路：将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围.解答过程：函数的定义域为，求导得.函数在区间上存在减区间，等价于存在，使得成立，即在上有解.当时，，故，即实数的取值范围是.6.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：对适当变形，构造函数，求导分析函数的单调性，进而判断的大小.解答过程：已知，，，令，有，当时，，则在上单调递减.因为，所以，即.7.近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（）A.元 B.元 C.元 D.元答案：D解析：思路：由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值.解答过程：由题意可得利润，所以，且.令，∴，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴利润在时取得最大值，此时，∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元.故选：D.8.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则下列结论正确的为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据图象规律，归纳各项，通过数列放缩结合等比数列求和公式可算范围.解答过程：由图可知，，即，所以B错误；所以，所以数列是以为首项，8为公比的等比数列，所以，所以，所以，所以A错误；，所以C正确；因为，所以，所以，所以，所以D错误.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若，则或B.若，，则C.若，，，则的最小值为9D.若，，则的最大值为18答案：AC解析：思路：A将分式不等式转化为整式不等式求解；B通过举反例或根据不等式乘法性质判断命题是否成立；C采用“1的代换”方法，结合基本不等式求目标式的最小值，再验证等号是否能取到；D设求出系数，再根据已知的两个区间范围，结合不等式的同向可加性求出的范围.解答过程：A，分式不等式等价于，整理得，解得或，A正确；B，举反例：若，满足，但，不等式不成立，B错误；C，已知，则，等号成立当且仅当，最小值为9，C正确；D，设，解得，即，已知，则，最大值为16，D错误.10.已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（）A. B.数列是等差数列C. D.答案：BCD解析：思路：通过递推式推导数列的隔项差，判断奇数项数列的等差性，再利用分组求和法计算前项和，逐一验证各选项的正确性.解答过程：由，，令，得，故；令，得，故，因此选项A错误.由，当时，，两式相减得，故数列是首项为，公差为的等差数列，选项B正确.，其中，，，由的通项公式，得，故，选项C正确.对于，，每一组的和为（），故，选项D正确.11.已知函数有三个极值点，，（），则（）A.B.C.若，，成等差数列，则，，成等比数列D.若，，成等差数列，则数列，，的公差为答案：ACD解析：思路：A导函数零点个数转化为方程的实根个数，由在取最小值且时有一根；B由和得，利用对数平均不等式得到；C等差条件代入相乘得，即成等比；D设公差，由C得，再对得到的等式取对数得.解答过程：函数有三个极值点，等价于导函数有三个不同零点，即有三个不同实根，令，即与有三个不同的交点.由于，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.在处取最小值，要使有三个不同解，需，A正确.已知，​，取对数相减得，由对数平均不等式得​​，得，B错误.若​成等差数列，则​.因为​，​，​，两式相乘得，代入得a2满足等比中项性质，故成等比数列，C正确.设等差数列公差为，则，，由C的结论得，舍去得.又，代入，​得，两边取对数得，D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.已知数列满足，且，则_________．答案：解析：解答过程：由题意可知，，，，，以此类推，可知.13.已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________．答案：解析：解答过程：可知，当时，可知，在上恒成立，函数在上单调递增，无极小值；当时，令，解得，所以时，，函数在上单调递减，时，，函数在上单调递增，在处取得极小值，极小值为，可得，因为，所以，解得，即实数的取值范围是.14.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________．答案：解析：思路：将问题化为能成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得范围.解答过程：要使得存在满足，先将不等式进行等价变形为，两边同乘得，整理为关于的不等式，即，令，问题转化为存在使得，即，对求导，​令，则，即，由、、在上单调递增，且，，根据函数的单调性知在上单调递增，而，所以，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，观察到时，代入得，恰与等价，此时，故极值点满足，即，故，因此，存在使成立，当且仅当，则实数的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，当时，有极小值0.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最值.答案：（1）（2）最小值为，最大值为解析：思路：（1）利用函数在极值点处的两个核心条件——函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点；（2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解.（1），，当时，有极小值0，，，，，，的解为或，在上是单调递增函数；的解为，在上是单调递减函数，在处取得极小值，满足题意，故.（2）由（1），，，又，在上的解为，在上是单调递增函数；在上的解为，在上是单调递减函数；在上的最小值为，又，，在上的最大值为，综上可知，在上的最小值为，最大值为.16.已知数列满足，且，．（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．答案：（1）证明：因为，，所以，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即.（2）解析：思路：（1）递推公式可变形为，再根据等比数列的定义和通项公式求解即可；（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式，分组求和即可.（1）略（2）由（1）知，的前项和.17.已知双曲线：（，）的右焦点到一条渐近线的距离为1，且点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．求证：直线、的斜率之和为定值．答案：（1）（2）如图，设点、，设直线的方程为，因为点不在直线上，则，可得，联立，消去可得，则，解得或，由题意可得，所以且，所以，即直线、的斜率之和为.解析：思路：（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和.（1）双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即，所以焦点到一条渐近线的距离为，因为点在双曲线上，所以，解得，故双曲线的标准方程为.（2）略.18.已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）设有两个极值点，求的范围．答案：（1）；（2）3；（3）.解析：思路：（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）对给定不等式分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值即可.（3）利用极值点的意义求出，再构造函数并利用导数求出值域即可.（1）当时，函数，求导得，则，而，所以函数的图象在处的切线方程为，即.（2）对任意的，不等式恒成立，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递增，而，则存在，使得，即，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，，所以整数的最大值是3.（3）函数的定义域为，求导得，由函数有两个极值点，得方程有两个不等的正根，则，即，且，，令函数，求导得，函数在上单调递减，则，所以的取值范围是.19.已知函数．（1）求证：；（2）求证：（）；（3）设是函数的两个零点，当时，求的取值范围．答案：（1）令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，因此，所以.（2）由（1）得，当且仅当时取等号，取，得，因此，，则，于是，所以.（3）.解析：思路：（1）根据给定条件，构造函数，利用导数求出最