2025-2026学年湖北省随州市曾都区第一高级中学高一下学期5月阶段检测数学试题-含解析

/数学考试时间：2026-6-1一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数是纯虚数，则实数（）A.0 B. C.1 D.2.在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（）A.0 B. C. D.3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（）A. B.1 C. D.24.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（

）A.4 B.5 C.6 D.76.已知函数，且是偶函数，则实数（）A. B. C. D.27.在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（

）A.3 B.4 C.5 D.68.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（

）A. B.2 C. D.1二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.下列各式中，计算结果为的是（）A. B.C. D.10.如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（

）A.在折起的过程中始终有平面B.三棱锥的体积的最大值为C.当时，点到的距离为D.当时，点到平面的距离为11.在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（

）A.三角形一定不是锐角三角形B.一定为负值C.若角是锐角且，则D.若三角形是直角三角形且，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数满足，则______．13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球表面积为_____________.14.已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______.四、解答题（77分）15.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.16.如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，（1）求证：；（2）求证：平面；17.已知，，函数.（1）求的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值；（3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集.18.如图，在四棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值；（3）若，求锐二面角的余弦值．19.在中，已知，的面积S满足：．（1）求的值；（2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记（i）用含的式子分别表示与的面积；（ii）若，求实数的最大值．

数学考试时间：2026-6-1一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数是纯虚数，则实数（）A.0 B. C.1 D.答案：C解析：解答过程：已知复数是纯虚数，则实部，解得；虚部，解得，综上，．2.在正方体中，任意两条面对角线的夹角不可能为（）A.0 B. C. D.答案：B解析：解答过程：正方体中，互相平行的面：当对角线互相平行时，夹角为0；当对角线互相垂直时，夹角为；互相垂直的面，对角线可构成等边三角形，则夹角为，综上，任意两条面对角线的夹角不可能为．3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（）A. B.1 C. D.2答案：C解析：解答过程：直观图中，直角中，，又，故由勾股定理得，画出原图形，则，，，故，故原图形的面积为.4.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论.解答过程：因为是的中点，所以，因为是的靠近的三等分点，所以，所以．5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（

）A.4 B.5 C.6 D.7答案：A解析：解答过程：因为圆台的两个底面周长之比为，所以两底面圆的半径之比也为.设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则由圆台的侧面积为可得：，解得.6.已知函数，且是偶函数，则实数（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：利用辅助角公式得到，，从而得到的表达式，根据函数为偶函数得到方程，求出，求出答案.解答过程：，其中，，为偶函数，故，解得，则.故选：B7.在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（

）A.3 B.4 C.5 D.6答案：B解析：思路：根据题意作图，根据勾股定理和三角函数关系式计算即可.解答过程：如图，过作于点，在中，km，作.在中，，所以.因为小时，所以受台风影响的时间为4小时.8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（

）A. B.2 C. D.1答案：A解析：思路：分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值.解答过程：分别表示与同方向的单位向量，故为的平分线所在直线，又，故的平分线所在直线与垂直，由三线合一可得，取的中点，则，，，故，所以为等腰直角三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，设，，则，故当时，取得最小值，最小值为.二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.下列各式中，计算结果为的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：对于A，，所以A正确，对于B，，所以B正确，对于C，，所以C错误，对于D，，所以D正确.10.如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（

）A.在折起的过程中始终有平面B.三棱锥的体积的最大值为C.当时，点到的距离为D.当时，点到平面的距离为答案：AC解析：思路：A.利用线面垂直的判定定理判断；B.由三棱锥的体积为求解判断；C.设的中点为，连接，，易知，AE为点到的距离判断；D.易知平面，由CD为点到平面的距离判断.解答过程：A.因为，所以平面，故正确；B.因为，当时，，由选项A知平面，所以AD是三棱锥的高，所以三棱锥的体积为，则其最大值为，故错误；C.如图所示：当时，是等边三角形，设的中点为，连接，，则，所以点到的距离为，故正确；D.当时，，且，则平面，所以点到平面的距离为，故错误；故选：AC11.在三角形中，角的对边分别为，满足，则以下叙述正确的是（

）A.三角形一定不是锐角三角形B.一定为负值C.若角是锐角且，则D.若三角形是直角三角形且，则答案：ABC解析：思路：利用余弦定理得出，A，C中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由C是直角求得B，进而判断D.解答过程：对A，由余弦定理得，又，所以，即，所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确；对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角，所以，B正确；对C，若角是锐角，则，由选项A知，即，又，所以，，所以，C正确；对D，由选项A知中有一个是直角或钝角，现在是直角三角形，若，又，则，不是，D错误.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知复数满足，则______．答案：解析：解答过程：设（，），则，则，所以，，即．13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球表面积为_____________.答案：解析：思路：由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的表面积公式，即可求出结果．解答过程：设圆锥的底面半径为，由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为，所以底面半径，圆锥的高为，所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，；作出圆锥的外接球的草图，如下：则，设外接球的半径为，则,在中，，所以，解得，所以圆锥的外接球表面积为．故答案为：.方法提示：本题考查了空间几何体的外接球的表面积求法，考查空间想象能力，属于中档题.14.已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______.答案：##解析：思路：利用向量的模、数量积等性质建立关于的不等式，进而求解投影向量的模的最小值.解答过程：解法1：已知，则，又，满足，则，则，又，即，即，又，即，则在上投影向量为，所以，即在上投影向量的模的最小值为.解法2：由，又，故，在上投影向量的模为，由，得，故投影向量的模为，当时，在上的投影向量的模最小，最小值为，所以在上投影向量的模的最小值为.四、解答题（77分）15.已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（1）若求A；（2）若求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.（1）因为所以①.又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，又，所以，解得.（2）因为，所以，即，又，所以.因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故.16.如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，（1）求证：；（2）求证：平面；答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证.（2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证.（1）由正方形，得，又平面，平面，则平面，而平面，平面平面，所以.（2）由正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，由（1）知，所以平面.17.已知，，函数.（1）求的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值；（3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于点对称，求当取最小值时，不等式的解集.答案：（1）（2）当时，；当时，（3），.解析：思路：（1）根据数量积的坐标形式和三角变换公式可得，最后根据公式求得周期；（2）利用整体法可求函数的最值及对应的的值；（3）根据平移变换求得的解析式，根据的图象的对称性可求的值，利用整体法可求不等式的解.（1）由已知，，故，所以.（2）因为，所以，故，故，当，即时，，当，即时，.（3）将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数，所以.又函数的图象关于点对称，所以，故，即时即时，当取最小值且时，此时，此时，即解得，解得，其中，即不等式解集为，.18.如图，在四棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值；（3）若，求锐二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得；（2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得即为所求角，然后在直角三角形中计算可得；（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得.（1）取的中点为，连接，则，且，又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.因为，且平面平面，所以平面.（2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角，如图，过作于，又平面底面，平面底面平面，则底面，所以即为直线与底面所成角.取的中点，连接，因为，则．因为为的中点，所以为的中点．又，则，在中，，所以，即直线与底面所成角的正切值为（3）如图，过作交于，连接，因为，则即为平面和平面的夹角的平面角.因为四边形为直角梯形，，所以，又因为，，所以．当时，在中，，由余弦定理得，在中，，由余弦定理得．所以锐二面角的余弦值为19.在中，已知，的面积S满足：．（1）求的值；（2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记（i）用含的式子分别表示与的面积；（ii）若，求实数的最大值．答案：（1）（2）（i）的面积为，的面积为（ii）解析：思路：（1）利用三角形面积公式和