2025-2026学年湖北省襄阳市第四中学高一下学期卓越班5月月考数学试题-含解析

/数学一、单选题1.已知集合，，若，则a的取值集合是（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.命题“，使”的否定是（）A.，使 B.，使C.，使 D.，使4.比较三个数的大小：，，（）A. B. C. D.5.医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（）参考数据：，，A.7 B.8 C.9 D.106.已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（）A.16 B.12 C.8 D.47.已知函数，若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数则方程的实数个数为（）A.9 B.10 C.11 D.12二、多选题9.下列结论正确的是（）A.若，，则的最小值为7B.当时，的最小值是4C.设，，且，则的最小值是D.当时，的最小值是310.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（）A. B.成立的充要条件是C.若，则 D.，使得11.已知函数，则以下说法中正确的是（）A.若，则B.若在上单调递增，则C.若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为D.若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是三、填空题12.当，时，则3ab×83a13.已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______14.已知实数，满足，，则______.四、解答题15.设集合，.（1）若，求的值及集合；（2）若为实数集，且，求实数的取值范围.16.设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．17.某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.（1）试用表示矩形花坛的面积；（2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？（3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号）18.设（1）求函数的最大值.（2）当不等式在上有解时，求的取值范围.19.记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”．（1）判断函数是“型函数”还是“型函数”，并说明理由；（2）若，证明：函数是“型函数”；（3）若函数定义域为，既是“型函数”又是“型函数”，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论．

数学一、单选题1.已知集合，，若，则a的取值集合是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，得到，列出关系式，即可求解.解答过程：因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或．2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解解答过程：因为，所以，解得，由，因为是的真子集，所以是成立的充分不必要条件.3.命题“，使”的否定是（）A.，使 B.，使C.，使 D.，使答案：A解析：解答过程：根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断，所以命题“，使”的否定是“，使”.4.比较三个数的大小：，，（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将利用指数函数、对数函数的性质进行判断即可.解答过程：因为函数在为增函数，因为，所以，即，因为函数在上为减函数，，即，因为，因为，则，又因为，则，所以，即，所以.故选：A.5.医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（）参考数据：，，A.7 B.8 C.9 D.10答案：B解析：思路：由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解.解答过程：由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车，设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得，即，两边同时取对数得，即，，，代入参考数据得，整理得，故至少经过小时后可正常驾驶.6.已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（）A.16 B.12 C.8 D.4答案：D解析：思路：先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值.解答过程：因为为幂函数，所以，解得或．因为在上单调递减，所以，则，所以，则，且，，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4．7.已知函数，若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案.解答过程：由题可得：，作出的图像如下：由，且，则，，即，解得：，所以由，则，所以，故当，即时，取最小值为.故选：B8.已知函数则方程的实数个数为（）A.9 B.10 C.11 D.12答案：C解析：思路：作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可.解答过程：函数的部分图象如图所示.由方程，解得或.当时，有5个实根，当时，有6个实根，故方程的实根个数为11.故选：C.二、多选题9.下列结论正确的是（）A.若，，则的最小值为7B.当时，的最小值是4C.设，，且，则的最小值是D.当时，的最小值是3答案：BC解析：解答过程：对于A，由，得，当且仅当，即时取等号，A错误；对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，由，，得，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，当时，，则，当且仅当，即时取等号，D错误.10.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（）A. B.成立的充要条件是C.若，则 D.，使得答案：ABD解析：思路：根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可.解答过程：定义在上函数的图象是连续的，且满足以下条件：①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③.对于A，成立，故A正确；对于B，因，解得，故B正确；对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数，所以当或时，；当时，，则等价于或可得，故C错误；对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数，即是函数的最小值，则，，使得，故D正确.11.已知函数，则以下说法中正确的是（）A.若，则B.若在上单调递增，则C.若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为D.若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是答案：AD解析：思路：根据解析式，代入计算，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，根据函数的单调性，分析判断，可求得a的范围，即可判断B的正误；将关于x的方程有3个不等实数根，转化为与图象有3个不同交点，作出图象，可得m的范围，即可判断C的正误；设，将条件转化为所以与图象有4个不同交点，作出图象，根据韦达定理，可得，的表达式，代入所求，根据t的范围，即可判断D的正误.解答过程：选项A：若，则，所以，故A正确；选项B：当时，在上单调递增，符合题意，当时，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，所以，解得，综上a的取值范围是，故B错误；选项C：若，则，则，当时，，所以当时，，当时，，当且仅当，即时取等号，因为关于x的方程有3个不等实数根，所以与图象有3个不同交点，作出与图象，如图所示：由图象可得或，故C错误；选项D：若时，设，即有4个不同的实根，所以与图象有4个不同交点，作出与图象，如图所示：因为为方程，即的根，所以，为方程，即的根，所以，所以，根据C中结论及图象可得，所以，故D正确；故选：AD三、填空题12.当，时，则3ab×83a答案：①.24②.104解析：思路：（1）使用指数幂运算性质求解；（2）使用指数幂运算性质与对数运算性质求解.解答过程：（1）3；（2）当，时，；则lg.13.已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______答案：解析：思路：由奇偶性的定义解出与的函数解析式，再使用复合函数的单调性求解．解答过程：由上的奇函数，偶函数满足，得，即，联立解得，，所以所求解析式为，.则，由，得，令，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.14.已知实数，满足，，则______.答案：2解析：思路：同构：把化为与同构，由函数的单调性得，从而可得结论．解答过程：由题意，而易知函数为单调增函数，因为，所以，从而，所以，故答案为：2.四、解答题15.设集合，.（1）若，求的值及集合；（2）若为实数集，且，求实数的取值范围.答案：（1），（2）或解析：思路：（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得；（2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得.（1），.因为，所以，则，即，解得或.验证：当时，，则，满足题意；当时，，则，不满足题意.综上可知，若，则，此时.（2）若，则，又，①当时，则关于的方程没有实数根，则，解得，故当时，满足题意；②当，即时，若集合中只有一个元素，则，即当时，，，满足题意；若集合中有两个元素，则，即当时，要使，则，所以和是方程的两根，则由韦达定理得，解得，满足条件.综上所述，或.16.设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．答案：（1）（2）当时，解集为；时，解集为；当时，解集为解析：思路：（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可；（2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可.（1）解：因为对一切实数恒成立，所以对一切实数恒成立，所以，当时，，不满足成立；当时，需满足，即，解得，综上，实数的取值范围为（2）解：，，因为的实数根为，所以，当，即时，的解集为；当，即时，的解集为；当，即时，的解集为.综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为.17.某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.（1）试用表示矩形花坛的面积；（2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？（3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号）答案：（1）（2）最长为25米，最短为米（3）的长为米时，总费用最少，最少为元解析：思路：（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积.（2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解.（3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值.（1）由的长为m，得m，而与相似，则，于是，所以矩形花坛的面积.（2）依题意，，则，而，整理得，解得，函数在上随增大而减小，于是，所以最长为25米，最短为米.（3）矩形花坛的装饰费用，新扩建部分的修建费用，因此，当且仅当，即时取等号，所以的长为米时，总费用最少，最少为元.18.设（1）求函数的最大值.（2）当不等式在上有解时，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）使用换元法将问题转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题；（2）将不等式化简并换元，转化为关于的一次不等式在n∈1,2（1），令，因为对称轴为，则函数在上单调递增，上单调递减，所以当时，.（2）由题可知，不等式f14x即，化简得，令，则在上有解.解法1：令gn=1+mn即有g2=4>0>g解法2：当时，，无解；当时，在上单调增，∴当时，，只需，综上：.19.记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”．（1）判断函数是“型函数”还是“型函数”，并说明理由；（2）若，证明：函数是“型函数”；（3）若函数定义域为，既是“型函数”又是“型函数”，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论．答案：（1）函数是“型函数”，理由见解析（2）证明见解析（3）存在整数，证明见解析解析：思路：（1）根据题中定义逐一判断即可.（2）根据题中定义进行运算证明即可；（3）根据题中定义，结合周期的定义、二次函数的性质、结合对数的运算性质进行求解即可.（1）若函数是“型函数”，则在实数对，使得对任