2025-2026学年湖南省衡阳市衡东县第五中学高一下学期5月月考数学试题-含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.垂直于同一平面的两条直线（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）A. B. C. D.7.在中，D为BC的中点，设，，则（）A. B. C. D.8.如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.的虚部是 B.的共轭复数是C.在复平面内对应的点在第二象限 D.10.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A. B.，则C.在方向上的投影向量为 D.若，的夹角为锐角，则11.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（

）A. B.C.四边形的面积为 D.四边形的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则______.13.在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____．14.已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，满足，，与的夹角为．（1）求；（2）若，求实数的值．16.设复数，，其中为虚数单位．（1）若是纯虚数，求．（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．17.如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.（1）求证：平面ABC；（2）若，，求圆锥PO的体积.18.如图，在正四棱柱中，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）证明：平面．19.如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），下底面边长为50厘米，侧棱长为10厘米．（结果精确到1厘米，参考数据：）（1）求金属容器的体积；（2）若制作金属容器的费用为80元/平方米，求制作一个这样的金属容器需要多少元？

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用集合的交集运算求解.解答过程：因为集合，，所以，故选：B2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：思路：由特称命题的否定判断，解答过程：由题意得“，”的否定是，，故选：B3.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由复数的四则运算求解，解答过程：由题意得，故选：B4.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据求解即可.解答过程：解：因为，所以.故选：D5.垂直于同一平面的两条直线（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面答案：A解析：思路：根据线面垂直的性质，直接选择即可.解答过程：若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行.故选：A.6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意结合余弦定理求解即可.解答过程：由余弦定理可得：.故选：C.7.在中，D为BC的中点，设，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由平面向量的线性运算求解，解答过程：由题意得，故，故选：B8.如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由异面直线所成角的概念求解，解答过程：由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.的虚部是 B.的共轭复数是C.在复平面内对应的点在第二象限 D.答案：BD解析：解答过程：，的虚部是1，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；，故D正确．10.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A. B.，则C.在方向上的投影向量为 D.若，的夹角为锐角，则答案：AC解析：思路：根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可.解答过程：选项A：因为，所以，故A正确；选项B：因为，又因为，所以：，即：，解得，故B错误；选项C：因为，，所以在方向上的投影向量为，故C正确；选项D：若的夹角为锐角，则，且与不共线因为，解得，若，则，解得，当时，与同向共线，夹角为，不是锐角，故需排除，因此，夹角为锐角的条件是且，并非，故D错误.11.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（

）A. B.C.四边形的面积为 D.四边形的周长为答案：ABC解析：思路：根据斜二测画法求解.解答过程：如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，，因为等腰梯形中，，，所以，，又，所以，故A正确；由斜二测画法知，故B正确；作出其原图如图2，，，，，则四边形的面积为，故C正确；过点作于点，则，，则，于是四边形的周长为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则______.答案：5解析：思路：根据向量的坐标运算以及模长公式即可求解.解答过程：由，可得,所以,故答案为：513.在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____．答案：解析：解答过程：由正弦定理：可得：，由可得，则：.14.已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________.答案：解析：解答过程：由棱台的体积公式得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，满足，，与的夹角为．（1）求；（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）解析：（1）由题意得，，，则；（2）因为，所以，得16.设复数，，其中为虚数单位．（1）若是纯虚数，求．（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）对进行分母实数化，根据是纯虚数构造方程组求出，进而求出复数，再求出；（2）求出复数，根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解．（1），若为纯虚数，则，解得，故，．（2），已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得，．17.如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.（1）求证：平面ABC；（2）若，，求圆锥PO的体积.答案：（1）见解析（2）解析：思路：（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证，（2）由圆锥的体积公式即可求解.（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC（2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，所以,又，所以,因此底面圆的半径为,故圆锥PO的体积为，18.如图，在正四棱柱中，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）证明：平面．答案：（1）证明见详解（2）证明见详解解析：思路：（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明；（2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明.（1）证明：设，连接，在正四棱柱中，四边形为正方形，，又是的中点，，，又平面，平面，平面.（2）在正四棱柱中，平面，又平面，，在正方形中，，又，平面，平面，平面.19.如图是一个无盖金属容器的直观图，它的上部是一个正四棱柱形物体，底面边长为40厘米，高为80厘米．下部是一个四棱台形物体（四棱台的底面与四棱柱的底面重合），