2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二下学期学年6月阶段性测试数学试题-含解析

/数学满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数，则（）A.4 B. C.2 D.4.函数在上的最小值为（）A. B. C. D.5.已知，，且，则的最小值为（）A. B.5 C.4 D.36.已知，，，则（）A. B. C. D.7.过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（）A.1 B.-1 C.3或1 D.3或8.已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在下列四个命题中，正确的是（）A.命题“，使得”的否定是“，都有”B.命题“，”是真命题C.集合与集合表示同一集合D.已知集合，若，则的值为10.下列能够取得最小值为4的函数有（）A.函数 B.函数C.函数 D.函数11.已知函数有两个极值点，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则的取值范围为______．13.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________．14.若对恒成立，则正实数的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合，.（1）若，求，；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.16.如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．17.随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示:月份7891011月份代码x12345销售量y2.22.52.73.13.5（1）从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量.附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-18.已知．（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）若在恒成立，求的取值范围；（3）若有两个零点，，证明：．19.已知函数．（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若，求证：；（3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值．

数学满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题可得：2.已知，，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：由，且，可得；反之，由不一定得到，且，比如，时，，所以“”是“，且”的必要不充分条件．3.已知函数，则（）A.4 B. C.2 D.答案：C解析：思路：对给定等式两边求导，令即可得解.解答过程：函数，有，令，得，解得.故选：C.4.函数在上的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以，令，得，令，得或；令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递减，上单调递增，则.5.已知，，且，则的最小值为（）A. B.5 C.4 D.3答案：C解析：思路：利用常值代换法和基本不等式即可求得.解答过程：已知，，且，，当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为．6.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，代入即可比较三者大小．解答过程：比较与的大小：构造函数，定义域为，求导得，当时，，故，在上单调递增，因此，即，整理得；比较与的大小：构造函数，定义域为，求导得，当时，，故，所以在上单调递增，因此，即，整理得，所以．7.过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（）A.1 B.-1 C.3或1 D.3或答案：D解析：思路：分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解．解答过程：解：因为，所以，，当为切点时，；当不为切点时，设切点为，，所以，所以切线方程为，又切线过点，所以，即，即，解得或（舍去），所以切点为，所以．综上所述，直线l的斜率为3或．8.已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先由已知条件得到，其次利用导数求得，利用二次函数的性质求得，最后解出实数的取值范围.解答过程：若对任意的，存在，使，则.由已知得，可知，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增.故当时，.因为函数的对称轴为，所以在上单调递减，所以当时，.于是，解得.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在下列四个命题中，正确的是（）A.命题“，使得”的否定是“，都有”B.命题“，”是真命题C.集合与集合表示同一集合D.已知集合，若，则的值为答案：AD解析：解答过程：选项：由命题的性质得，命题“，使得”的否定是“，都有”，故正确；选项：因为，所以，则不存在实数满足，故不正确；选项：集合是点集，集合是数集，则集合与集合表示的不是同一集合，故不正确；选项：因为，若，得，此时，不符合已知条件的集合含有2个元素，故不符合；若，得，（舍去），此时，符合已知条件的集合含有2个元素，故符合，故正确.10.下列能够取得最小值为4的函数有（）A.函数 B.函数C.函数 D.函数答案：BCD解析：思路：利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案.解答过程：对A：，当且仅当，即时等号成立，故A错误；对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确；对C：，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对D：，当且仅当，即时等号成立，故D正确.11.已知函数有两个极值点，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：A选项，转化为有两个不同的根，令，求导得到其单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到；B选项，先得到，且，故；C选项，得到，且，，D选项，构造，利用导数得到，从而得到，再由在上单调性得到答案.解答过程：A选项，定义为R，且，由题意得有两个变号零点，令，即有两个不同的根，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，且，又当时，，当时，，画出的图象，如下，故，A正确；B选项，由A选项可知，，且，故，B错误；C选项，由A选项可知，，且，，C正确；D选项，设，，则，因为，所以，，则，故，故在上单调递增，又，而，故，即，又，所以，其中，，而由A选项可知，在上单调递减，所以，即，D正确.故选：ACD方法提示：方法点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则的取值范围为______．答案：解析：思路：由不等式性质计算即可.解答过程：因为，所以，，根据同向不等式可加性得．故答案为：．13.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________．答案：解析：思路：构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式.解答过程：设，则.因为，所以，即在上单调递减.又，则，即不等式的解集.14.若对恒成立，则正实数的最小值是______．答案：解析：思路：整理可得，结合函数的单调性可得，参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果.解答过程：因为，则等价于，可得，且，令，，可得，因为在定义域内单调递增，则，可得，令，，则，当时，；当时，；可知在内单调递增，在内单调递减，则，可得，所以正实数的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合，.（1）若，求，；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.答案：（1），或；（2）.解析：思路：（1）根据题意，先求得，，再结合集合的交并补运算，即可求解；（2）由题意可得是的真子集，进而可得，解不等式即可.（1）当时，，所以或，又，解不等式得，所以，所以，或；（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，又，，所以或，解得或，故实数a的取值范围是.16.如图，在三棱台中，四边形为直角梯形，，平面平面，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；法二：根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.（1）证明：法一：取的中点，连接，因为分别是的中点，可得，且，在三棱台中，可得，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面．法二：在三棱台中，为的中点，且，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，于是平面．（2）解：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则．设平面的法向量为，则，令，可得．所以．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角正弦值为．17.随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示:月份7891011月份代码x12345销售量y2.22.52.73.13.5（1）从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量.附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-答案：（1）分布列见解析，（2）3.76万件解析：思路：（1）先判定分布列为超几何分布，确定2个满足条件、3个不满足的样本构成，再计算的概率得到分布列，最终运用公式即可求得期望值；（2）先计算样本均值、平方和等基础统计量，再通过最小二乘法计算回归系数和截距，得到回归方程，最后结合实际情境代入自变量完成预测即可.（1）因为月销售量不少于3万件的月份有2个，所以X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：012所以.（2）因为，，，所以===，=-=，故y关于x的经验回归方程为，又当年12月份对应的月份代码为6，所以，所以预测当年12月份的月销售量为3.76万件.18.已知．（1）若在恒成立，求的取值范围；（2）若在恒成立，求的取值范围；（3）若有两个零点，，证明：．答案：（1）（2）（3）方法一：若有两个零点，设两个零点为，不妨设由于所以在上单调递减，在上单调递增，故两个零点分别在和内，即，由，得,整理得，即，令则，代入上式：，所以，故，要证即证即证令则那么，所以在上单调递增，故，即，所以方法二：若有两个零点，设两个零点为，不妨设由于所以在上单调递减，在上单调递增，故两个零点分别在和内，即，设，则，，，当时，，所以，即，在上单调递减，即，由，可得，由可得，又在上单调递增，所以，，故解析：思路：（1）在恒成立即在恒成立，采用分离参数的方法，转化为函数最值求解问题；（2）若在恒成立，即，通过构造函数，利用导数求解最值即可求解；(3)有两个零点，，有两种方法，方法一：设，将目标不等式转化为常见对数不等式，再通过构造函数证明；方法二：使用对称性假设，构造函数，通过函数的单调性来解决问题.（1）若在恒成立，则在恒成立，即对一切恒成立，令，则，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，处取极小值，也是最小值，，故，所以的取值范围为.（2）若在恒成立，即在恒成立，设，那么，，在恒成立，即恒成立，当时，在恒成立，在上单调递增，，不满足题意，舍去；当时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，若即，则在上单调递减，，满足题意；若即，则在