2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县高二下学期创新实验班下学期6月期末质量检测数学试题-含解析

/数学本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟.第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁名同学计划在以下个地方各选处进行活动（处人不重复）：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟文化园；④琼瑶祖居.其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这名同学不同去法有（）种.A. B. C. D.4.已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.5.已知函数，则函数（）A.值域为 B.在区间上单调递增C.最小正周期为 D.图象关于点成中心对称6.已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则此时圆锥内的水面高度为（）A. B. C. D.7.已知点是抛物线的焦点，、是经过点的弦，且，的斜率为，且，、两点在轴上方.则下列结论中不成立的是（）A.B.四边形面积最小值为C.若，则直线的斜率为D.8.已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11B.若随机变量，满足，，则C.一组数据的线性回归方程为，若，则D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布10.已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.以下结论正确的有（）A.B.集合的元素个数为9C.存在，对任意的，有D.对任意都成立，则实数的取值范围是11.某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，则（）A. B.C. D.第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线方程是______．13.在锐角三角形中，，则______________.14.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）15.从高二某班随机抽取6名同学，记为，､､､､，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语文数学､英语(满分均为150分)三科的成绩制成下表：班级平均分语文115118124132117119数学136147123137145139英语129133131141139125134已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138.（1）求出，；（2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”.现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量为该同学在语文､数学､英语三科中“优势学科”的个数，求的分布列和数学期望.16.在数列中，.（1）求证：是等比数列；（2）若等比数列满足.（i）求的值；（ii）记数列的前项和为.若，求的值.17.如图，在三棱锥P⁃ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=.（1）证明:PB⊥AC;（2）若侧面PAB是等边三角形，点D满足=λ（0<λ<1），过B，D两点作平面α，满足直线AC∥α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成的角为，求λ的值.18.设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.（1）已知函数，求的凹、凸区间；（2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.①将不等关系转化为对应的不等式；②证明：当，时，恒成立.19.在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，.（ⅰ）证明：；（ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程.数学本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟.第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据一元二次不等式的解法及对数函数求出集合，，结合交集的概念求解即可.解答过程：解，得或，即.函数的定义域为，即.所以.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：先化简复数，再利用复数的几何意义求解.解答过程：复数，其在复平面内所对应的点位于第四象限，故选：D．3.衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁名同学计划在以下个地方各选处进行活动（处人不重复）：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟文化园；④琼瑶祖居.其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这名同学不同去法有（）种.A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，分类讨论甲可以去的三个地方即可求解.解答过程：根据题意，甲可以去②、③、④三个地方，分情况讨论：当甲去②时，由于乙不去④，只能去①或③，有种情况，丙丁去剩余的两个地方，有种情况，方案数共种；当甲去③时，由于乙不去④，只能去①或②，有种情况，丙丁去剩余的两个地方，有种情况，方案数共种；当甲去④时，乙丙丁可以去剩余的三个地方，有种情况，方案数共种；综上所述，本次活动这名同学不同去法有种，故C正确.4.已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由四边形为矩形→，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再对采用余弦定理即可求解.解答过程：因为四边形为矩形，所以，（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由，解得或，所以，或，.不妨设，，又，所以，.在△AMN中，，由余弦定理得，即，则，所以，则，所以.故选：D方法提示：试题综合考查双曲线的方程与性质，考查考生灵活运用所学知识分析问题､解决问题的能力，体现理性思维､数学探索学科素养.求解双曲线的离心率的方法：（1）公式法：直接求出a，c或找出a，b，c三者中任意两个的关系，代入公式求解；（2）构造法：由已知条件得出a，c关于的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）通过特殊值或者特殊情况求离心率，例如，令，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化运算.5.已知函数，则函数（）A.值域为 B.在区间上单调递增C.最小正周期为 D.图象关于点成中心对称答案：D解析：思路：先利用同角三角函数平方关系和二倍角公式化简函数，再结合三角函数的性质计算判断各个选项；解答过程：函数，则函数对于A，因为，所以，A错误；对于B，因为，此时有增有减，B错误；对于C，根据周期公式，C错误；对于D，由，得，当时，函数对称中心为，D正确；故选：D.6.已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则此时圆锥内的水面高度为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据倒置前后水的体积不变，利用圆锥体积公式和三角形相似比可得.解答过程：如图，设圆锥底面半径为，由相似比可知，即，所以水的体积为，将圆锥倒置后，水的体积不变，所以（*），又，即，代入（*）可得：，解得.故选：D7.已知点是抛物线的焦点，、是经过点的弦，且，的斜率为，且，、两点在轴上方.则下列结论中不成立的是（）A.B.四边形面积最小值为C.若，则直线的斜率为D.答案：B解析：思路：设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理可判断A选项的正误，求出、关于的表达式，利用基本不等式可判断B选项的正误，利用弦长公式求出的值，可判断C选项的正误，利用弦长公式可判断D选项的正误.解答过程：对于A选项，设直线的方程为，设点、，联立，可得，所以，，，所以，，A选项正确；对于B选项，，同理可得，所以，四边形的面积为，当且仅当时，等号成立，B选项错误；对于C选项，设点、，直线的方程为，联立，可得，则，所以，，解得，，则，直线的斜率为，C选项正确；对于D选项，，D选项正确.故选：B.方法提示：方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8.已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：令，可得，令，利用导数可判断的单调性，求得的极值，令，，根据的图象，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求得答案.解答过程：令，可得，令，则，令，解得，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，图象如下图所示：所以，令，，因为函数有三个零点，设的两根分别为，，，解得或则，有下列三种情况，（1）当，时，将带入方程，即，解得，带入方程，即，解得，故舍去；（2）当，时，将带入方程，则，，不满足，故舍去；（3）当，时，解得，所以故选：C方法提示：解题的关键令，求得的单调性，画出图象，可得t的范围，再利用二次函数的性质，结合t的范围求解，考查分析理解，分类讨论的能力，综合性较强，属中档题.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11B.若随机变量，满足，，则C.一组数据的线性回归方程为，若，则D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布答案：ACD解析：思路：将数据从小到大排列，根据百分位数的定义计算可判定A;根据方差的线性性质计算可判定B；根据回归方程必经过样本均值点，计算可判定C；根据超几何分布的概念判定D.解答过程：数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15.计算第60百分位数：根据人教版教材方法，位置计算为

，向上取整到第5个位置，对应数值11,因此选项A正确;选项分析：随机变量，已知，根据方差性质：方差线性变换公式为

，选项中错误;选项分析：线性回归方程

必经过样本均值点,当

时，代入方程得

，选项正确;选项分析：从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12,7,5)，选项D正确.故选：ACD.10.已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.以下结论正确的有（）A.B.集合的元素个数为9C.存在，对任意的，有D.对任意都成立，则实数的取值范围是答案：AD解析：思路：利用给定定义直接判断选项A，利用函数周期性分析得出选项B，结合函数在一个周期内的性质判断选项C，将问题进行转化，然后结合给定定义求解最值即可得出选项D.解答过程：对于A，由，则，故A正确；对于B，由，则的周期为，故讨论即可，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故该集合元素个数为6，故B错误；对于C，因为函数的周期为，由B选项知当时，不存在，有，所以对任意的，不存在，有，故C错误；对于D，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，而对任意都成立，故恒成立，令，即，而，故恒成立，即，故D正确.11.某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，若，记甲通过考核的概率为，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由题意确定甲的投中次数为，满足.进而逐项判断即可；解答过程：记甲的投中次数为，则.对于A选项，当时，甲通过考核最少要投中2次，0.972，A正确.对于B选项，当时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为..当时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21次不管投中与否都通过考核；若前20次投中10次，则第21次投中才能通过考核；若前20次里投中次数不超过9，则第21次不管投中与否都不能通过考核.，显然，B错误.对于C选项，当时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为..当时，若前19次里投中次数不少于10，则第20次不管投中与否都通过考核；若前19次投中9次，则第20次投中才能通过考核；若前19次里投中次数不超过8，则第20次不管投中与否都不能通过考核.，显然，C错误.对于D选项，当时，将甲的投中次数分为以下4种情况，分别为..当时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21，22次不管投中与否都通过考核；若前20次投中10次，则第次至少要投中1次才能通过考核；若前20次投中9次，则第21，22次都投中才能通过考核；若前20次里投中次数不超过8，则第21，22次不管投中与否都不能通过考核.，.，所以，D正确.故选：AD第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线在处的切线方程是______．答案：解析：思路：首先求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再利用点斜式写出方程即可.解答过程：当时，，切点为.易知，所以，所以所求的切线方程为，即．故答案为：13.在锐角三角形中，，则______________.答案：解析：思路：根据两角和差的正弦公式及同角的三角函数关系化简求解即可.解答过程：.因为锐角三角形中，，所以，.14.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为“”．现已知平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，则平面与平面夹角的余弦值的最大值为________．答案：##0.5解析：思路：根据平面的方程得出平面和的法向量坐标，得出两平面夹角余弦值的表达式，再根据点的坐标得出平面的法向量，利用平行关系得出的方向向量，从而得出间的关系，代入表达式求最值．解答过程：平面的方程为，平面的法向量为，同理，平面的法向量为，两平面夹角的余弦值为，平面经过点，，设的法向量为，则，令，则，设的方向向量为，则，令，则，平面,平面的法向量与直线的方向向量垂直，即，平面与平面夹角的余弦值为，，，，当且仅当时取等号，平面与平面夹角的余弦值的最大值为．故答案为：．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）15.从高二某班随机抽取6名同学，记为，､､､､，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语文数学､英语(满分均为150分)三科的成绩制成下表：班级平均分语文115118124132117119数学136147123137145139英语129133131141139125134已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138.（1）求出，；（2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”.现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量为该同学在语文､数学､英语三科中“优势学科”的个数，求的分布列和数学期望.答案：（1），；（2）分布列答案见解析，数学期望：.解析：思路：（1）由6名同学语文分数的中位数是119可得，由数学分数的平均数是138可得；（2）先分别求出6名同学的“优势学科”个数，进而可得的分布列和数学期望.解答过程：（1）将已知的5个语文成绩从小到大排序得：115，117，118，124，132，由6名同学语文成绩的中位数是119可知，，由6名同学数学成绩的平均数是138可知，.（2）由题意，没有优势学科，、、、均有1个优势学科，有2个优势学科.的可能取的值为0，1，2.，，.故的分布列为012数学期望.方法提示：关键点点睛：第（2）问的关键点是：分别求出6名同学的“优势学科”个数.16.在数列中，.（1）求证：是等比数列；（2）若等比数列满足.（i）求的值；（ii）记数列的前项和为.若，求的值.答案：（1）证明：因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明；（2）（i）由（1）可得，求得，利用等比数列性质求得，再验证即可求解；（ii）利用并项求和法求得，然后列方程求解即可.（1）略（2）（i）由（1）可得，所以，所以，则，因为数列为等比数列，所以，即，化简得，解得或，又，所以，当时，，此时为定值，符合题意；（ii）由（i）可知，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，易知，所以，所以为偶数，因为，所以，化简得，解得或（舍去），所以．17.如图，在三棱锥P⁃ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=.（1）证明:PB⊥AC;（2）若侧面PAB是等边三角形，点D满足=λ（0<λ<1），过B，D两点作平面α，满足直线AC∥α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成的角为，求λ的值.答案：（1），，由余弦定理得：，，即，作，垂足为，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；，平面，平面，平面，.（2）λ=解析：思路：（1）由勾股定理和面面垂直性质可分别证得，由线面垂直的判定与性质可证得结论；（2）由线面平行性质可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可构造方程求得结果.（1）略（2），平面平面，，又，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，设平面，即平面的法向量，则，令，解得：，，，直线与平面所成角为，，解得：，满足，.18.设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间.（1）已知函数，求的凹、凸区间；（2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有.①将不等关系转