2025-2026学年湖南省邵阳市拔尖创新人才早期培养“九校联盟”高一下学期3月第一次联考数学试题-含解析

/数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则3.已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.圆与圆的位置关系为（）．A.内切 B.相交 C.外切 D.外离5.已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（）．A. B.C. D.6.已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（）．A.7 B.6 C.8 D.197.已知，则“”是“为常数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若关于x的方程在内有两个不同的解，则（）A. B.或C.或 D.或二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（）A. B. C. D.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.C.的图象关于点中心对称D.将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数11.如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（）A.当时，与所成角的最大正切值是B.时，的最小值为C.当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为D.当时，M轨迹的体积为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线与圆交于A，B两点，则______．13.已知三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是_____.14.某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由n名同学同时参与（），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若的面积为且，求的周长．16.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；（1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率．（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．17.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点.（1）求证：直线平面PCD；（2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值.18.设，，，圆Q过A，B，D三个点.（1）求圆Q的方程；（2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；（3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.19.设函数，．（1）求证：；（2）分别求和时函数的最小值；（3）求函数的最小值（用k表示）．参考公式：当且时，．

数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：根据复数的除法运算得到复数，再确定其在复平面内对应点的坐标，即可确定点所在的象限.解答过程：因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D2.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可解答过程：解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误；对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误；对于C，若，，，则，所以C正确；对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误，故选：C3.已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果.解答过程：由题意得，向量在向量上的投影向量为，∵，是夹角为的两个单位向量，∴，∴向量在向量上的投影向量为.故选：A.4.圆与圆的位置关系为（）．A.内切 B.相交 C.外切 D.外离答案：C解析：思路：分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案.解答过程：，即，圆心，半径，，圆心为，，，故两圆外切.故选：C.5.已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（）．A. B.C. D.答案：A解析：思路：作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解.解答过程：的几何意义为动点与定点所在直线的斜率，动点满足关系式，且，可知在线段（除点外）上移动，且，如图，，，点与定点所在直线的斜率不存在，所以的取值范围是，故选：A.6.已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（）．A.7 B.6 C.8 D.19答案：C解析：思路：由题意确定直线与互相垂直，得到点轨迹，即可求解.解答过程：由题意可知，当时，直线与互相垂直，当时，，直线与互相垂直，且直线经过定点，直线经过定点，所以.设，则，即，则点在以点为圆心，5为半径的圆（除去与、）上，所以的最大值为，最小值为.故的取值范围是.故选：C7.已知，则“”是“为常数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据充分性、必要性的定义进行求解即可.解答过程：设，所以是必要的；因为，，所以，为常数，所以是充分的，故选：C8.若关于x的方程在内有两个不同的解，则（）A. B.或C.或 D.或答案：D解析：思路：利用换元法，结合二次函数和余弦函数的图象进行求解即可.解答过程：，，，分别作出它们的图象如下，要使得关于x的方程在内有解，必须.当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意；当时，，此时方程，有两个不同的解；当时，，此时，只有一个解，不符合题意；当时，，此时方程，有两个不同的解；当时，，此时方程，只有一个解，不符合题意，综上，或.故选：D二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程.解答过程：由已知直线l与AB平行或经过AB的中点．当直线l与AB平行时，由可得：，再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：，整理得直线l方程为；由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时，由两点式直线方程得：，整理得直线l方程为．故选：BD．10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.C.的图象关于点中心对称D.将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数答案：ACD解析：思路：利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，再结合正弦函数的图象和性质对选项进行逐一判断.解答过程：由图象可知，相邻最小值点和最大值点之间的水平距离为半个周期，即，由周期公式，所以，选项A正确；因为图象经过点，代入函数得：，由正弦函数性质可知时，，所以，因为，所以，，因为，故B错误；因为是中心对称函数，对称中心为，，若函数图象关于点对称，则.代入计算：，所以图象关于点对称，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则，由正弦函数性质可知在上单调递增，令，解得，区间位于增区间内，故在区间内是增函数，故D正确.故选：ACD.11.如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（）A.当时，与所成角的最大正切值是B.时，的最小值为C.当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为D.当时，M轨迹的体积为答案：ACD解析：思路：对于A项，得，则点的轨迹为线段，即可求解；对于B项，M点在三角形的边上及其内部，进行求解；对于C项，则M在线段上运动，所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角，进行求解；对于D项，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球，进行求解．解答过程：当时，则，得，得，则点的轨迹为线段，与所成角为∠BAM，其最大正切值是=，所以A正确;当时，因为，所以四点共面，则M点在三角形的边上及其内部，所以的最小值为≠，所以B错误;当时，得，则M在线段上运动，所以所在的平面为，因为平面与平面平行，所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角.取的中点为O，连接，由于，则，得为所在平面与平面的夹角，则，所以C正确;当时，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球，所以M的轨迹的体积为，所以D正确.故答案为：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线与圆交于A，B两点，则______．答案：解析：思路：由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．解答过程：由圆，得，则圆心坐标为，半径为1．圆心到直线的距离，．故答案为：．13.已知三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是_____.答案：解析：思路：根据垂直关系，可得球心位置以及半径，即可根据体积公式，结合基本不等式求解.解答过程：取的中点分别为，连接，由于平面，平面，则，又，所以平面，平面，故，故均为直角三角形，设，故，故是三棱锥的外接球的球心，且半径为，故，当且仅当时等号成立，故体积之比的最小值为故答案为：14.某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由n名同学同时参与（），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________．答案：解析：思路：先根据题意求出一次挑战中出现平局的不同种类数；再根据古典概型的概率公式即可求解.解答过程：假设在一次挑战中n名同学只能从“石头”“剪刀”这两种手势中选择，则每个人都有两种选择；在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：；在一次挑战n名同学相同手势种类数共有：；此时一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有.由题意可得：每个人都有三种选择.所以在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：；在一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有.所以一次挑战中出现平局的不同种类数共有.根据古典概型概率公式可得：一次挑战中出现平局的概率为.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角B的大小；（2）若的面积为且，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B；（2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长.（1）因为，由正弦定理可得．即，因为，所以．所以．因为，，所以，因为，所以．（2）因为，所以，由余弦定理得，由，可得，所以，所以的周长为．16.甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；（1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率．（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；（2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.（1）设“甲答对3道题目”,“甲答对2道题目”“乙答对3道题目”，“乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得，，，，，设为“甲、乙两人共答对5道题目”，则，因为与互斥，与，与分别相互独立，，所以甲、乙两人共答对5道题目的概率．（2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立，，E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥，与，与分别相互独立，所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率17.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点.（1）求证：直线平面PCD；（2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值.答案：（1）见解析（2）解析：思路：（1）取的中点为,连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可；（2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案.（1）取的中点为,连接，则,且,∴四边形是平行四边形，，平面,平面,∴直线平面.（2）因为平面PAB，平面PAB，则，，以为原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设，则，．，则．，，，，，,，，.设平面的一个法向量为，则，即不妨令，得，，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为．18.设，，，圆Q过A，B，D三个点.（1）求圆Q的方程；（2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；（3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析