2025-2026学年湖南省邵阳市邵东市振华中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

/数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知分别为三个内角所对的边，若，则（）A. B. C.或 D.3.已知向量，，，则m的值为（）A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或24.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（）A.1 B. C. D.25.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.7.已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A. B. C. D.8.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，则B.C.若为单位向量，则D.向量可以作为平面内的一个基底10.如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（）A.该圆台的高为B.该圆台轴截面面积为C.该圆台的体积为D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为511.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，且有两解，则的取值范围是C.在锐角中，不等式恒成立D.在中，若，则必是等边三角形第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，，若，则________.13.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________．14.解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．16.如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为．（1）求证：平面；（2）求点A到平面的距离．17.如图，在中，已知，是边上一点，.（1）求的值；（2）求的长；（3）求的长.18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．19.我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则，这里.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元1世纪的《测地术》中.在13世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论.根据以上信息，回答下列问题.（1）已知的面积为，且，求此三角形中大于60°的角所对的边长；（2）三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段.若记的外接圆半径为R，内切圆半径为r，证明：；（3）试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形ABCD的四边长分别a，b，c，d，记.证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值.

数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：利用复数的除法法则进行运算，再利用复数的几何意义进行判断即可.解答过程：，则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知分别为三个内角所对的边，若，则（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角.解答过程：由正弦定理，，可得，因，则，故.故选：A.3.已知向量，，，则m的值为（）A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或2答案：D解析：思路：直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果解答过程：向量，，故，所以，解得或2．故选：D．4.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（）A.1 B. C. D.2答案：C解析：思路：根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高.解答过程：由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2，即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为.故选：C5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：B解析：思路：首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状解答过程：移项得，可化为，展开得，整理得，又，所以，即，则为直角三角形.故选：B．6.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得结果.解答过程：因为，所以两边平方得到：，在方向上的投影向量为，故选：D7.已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据条件，利用勾股定理直接求出球的半径，再利用球的体积公式，即可求解.解答过程：如图，设半球的球心为，半径为，连接，由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，，在中，，得到，故半球的体积为，故选：A.8.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用和角的正弦可得，再将三角形面积公式表示为的函数，并利用基本不等式求出最大值.解答过程：在中，，整理得，即，显然为锐角，即，由正弦定理得，又，则面积，当且仅当，所以，即时取等号，所以面积的最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若非零向量满足，则B.C.若为单位向量，则D.向量可以作为平面内的一个基底答案：ABC解析：思路：利用平面向量共线定理判断A，D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C.解答过程：对于A：由，存在实数，使得，由，存在实数，使得，则，故，A正确；对于B：由，故B正确；对于C：由，，则，故C正确；对于D：由，所以，即，故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误.故选：ABC.10.如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，，则（）A.该圆台的高为B.该圆台轴截面面积为C.该圆台的体积为D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5答案：AD解析：思路：根据梯形性质利用勾股定理计算可判断A；利用梯形面积公式计算可判断B；代入圆台体积公式可判断C；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可判断D.解答过程：对于A，在梯形中，即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得，所以A正确；对于B，轴截面梯形的面积为，因此B错误；对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；所以该圆台的体积为，可得C错误；对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；由弧长公式可知，解得；所以可得，设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，易知，且，由勾股定理可知，可知D正确.故选：AD11.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，且有两解，则的取值范围是C.在锐角中，不等式恒成立D.在中，若，则必是等边三角形答案：AD解析：思路：由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D．解答过程：A中，，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确；B中，若，且有两解，则，即，即的范围为，所以B错误；C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确；D中，若，由余弦定理可得，即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确．故选：AD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，，若，则________.答案：解析：思路：根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.解答过程：因为，，所以，又且与不共线，所以，则.故答案为：13.已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________．答案：##解析：思路：先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解．解答过程：由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为，设该圆台的母线为，高为，则，解得，则，设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值）所以，解得，所以该圆台的外接球表面积为．14.解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则解放碑的高AB为______.答案：解析：思路：通过三角函数关系表示出不同线段的长度，再利用余弦定理分别在两个三角形中列出关于角的余弦表达式，最后联立方程组求解出线段AB的长度.解答过程：解：由题意，设中，，同理可得，因为，所以在中，…①，在中，…②，由①②组成方程组，解得，即故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.（1）由题意可得，因为，所以.（2），因为，所以，所以，所以，即向量与的夹角的余弦值为.16.如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为．（1）求证：平面；（2）求点A到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）由平面，得到，再结合，即可求证；（2）过点A作于点D，通过证明平面，得到即为点A到平面的距离，进而可求解.（1）证明：平面，平面，．是圆O的直径，C为圆上一点，．又，且平面平面．（2）如图所示，过点A作于点D，平面，平面，，又平面平面．即为点A到平面的距离．∴依题意知为与平面所成角，即，，，可得．，即点A到平面的距离为．17.如图，在中，已知，是边上一点，.（1）求的值；（2）求的长；（3）求的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）在中，直接利用余弦定理，即可求得的值；（2）由（1）得到，求得，在中，利用正弦定理，即可求得的长；（3）在中，求得，再由正弦定理，求得，进而求得的长.（1）解：在中，，由余弦定理，可得.（2）解：由（1）知：，因为，所以，所以.在中，，由正弦定理，可得.（3）解：在中，，所以，在中，由正弦定理，可得，所以.18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）．解析：思路：（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO可证明结论；（2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面；（3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案.（1）连接AC，交BD于O，连接EO.因O，E分别为中点，则，又平面EDB，平面EDB，则面；（2）因四边形ABCD是正方形，则BC，又底面平面，则BC.因平面，，则平面.又平面，则，因，E是PC的中点，则.又平面，，则平面PBC，因平面PBC，则，又，平面，，则平面；（3）由（2）及平面可知，故是平面与平面的夹角，不妨设，∴，在中，，，，又面，∵面，∴,在中，，∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小.19.我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，