2025-2026学年湖北云学联盟高二下学期期末教学质量检测数学试题-含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列中，，，则（）A.9 B.12 C.24 D.362.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.4.某高中体育课开设：篮球课、足球课、羽毛球课、排球课、乒乓球课和健美操六门课程，要求每名学生必须从中仅选择一门课程上课.小云、小阳、小东、小石4人共选了三门不同课程的选法数（）A.720 B.360 C.120 D.205.已知函数，则（）A.在处取得极大值 B.在处取得极小值C.在处取得极大值 D.在处取得极小值6.已知数列的前n项和为，且，，则（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.为测试一种新药的有效性，研究员用某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：发病未发病合计使用药物153550未使用药物302050合计4555100从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势，在B发生的条件下A的优势，则（）A.可化简为，估计其值为 B.可化简为，估计其值为C.可化简为，估计其值为 D.可化简为，估计其值为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（）A.B.C.是等比数列D.若数列，则数列的前n项和10.下列说法正确的是（）A.随机变量，则方差B.若事件A，B相互独立，则C.根据小概率值的独立性检验，当时，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05.D.在一组样本数据（，2，3，⋯，10）中，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，若得到的新线性回归直线的斜率为3，则新的线性回归方程为11.过点可以作曲线的两条切线，则下列说法正确的是（）A.P点的坐标可以是 B.P点的坐标可以是C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________.13.若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________.14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知正项等比数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前n项和.16.某AI研发团队为探究模型训练时长对有效推理次数的影响，选取5组不同的训练时长方案，在相同硬件与数据条件下开展测试，统计出对应训练时长下的有效推理次数，得到如下数据：训练时长x/h1213141516有效推理次数y/次46182026（1）求变量y关于x的经验回归方程；（2）当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望.附：；参考数据：.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，当时，函数在上的最大值为0，求a的值.18.某高中为了促进学生阅读兴趣，组织了一场知识竞赛.比赛以班为单位参与，分为预赛和决赛.预赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题.（1）若甲班在预赛阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用X表示在前4次答题中答对的题目数量，求.（2）若乙班在预赛阶段每道题答对的概率是，用Y表示在前10次答题中答对的题数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少?（3）为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件A，B分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知A，B有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断A，B的关系，并在，时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率.19.已知函数.（1）当时，若恒成立，求实数的值；（2）当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点；（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列中，，，则（）A.9 B.12 C.24 D.36答案：B解析：解答过程：在等比数列中，，结合，，则.2.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据正态分布的对称性可得解.解答过程：由已知正态分布，，则.3.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题设，因为定义域为，不等式两边同乘，得到，令或.因为二次函数开口向上，所以的解为或.因为的定义域为，所以最后不等式的解集为.4.某高中体育课开设：篮球课、足球课、羽毛球课、排球课、乒乓球课和健美操六门课程，要求每名学生必须从中仅选择一门课程上课.小云、小阳、小东、小石4人共选了三门不同课程的选法数（）A.720 B.360 C.120 D.20答案：A解析：解答过程：先从六门课程中选择三门，再将四人按照进行分组，再全排列即可，共有种方法.5.已知函数，则（）A.在处取得极大值 B.在处取得极小值C.在处取得极大值 D.在处取得极小值答案：D解析：思路：借助导数计算即可得.解答过程：，令，则，有，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，故A、B、C错误，D正确.6.已知数列的前n项和为，且，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先对为奇数和偶数进行分类讨论，整理得到，从而得到，为常数数列，从而推出定值，进而代入即可求出的值．解答过程：当时，，①当时，，②将①代入②得，所以，又，则，即，所以，所以，所以．7.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，利用导数确定单调性并比较大小.解答过程：令函数，求导得，函数在上单调递增，则，即当时，，因此，即；令函数，求导得，令函数，求导得，而函数在上均单调递减，则函数在上单调递减，，于是存在，使得，当时，；当时，，函数，即在上单调递增，在上单调递减，而，，因此，函数在上单调递增，因此，即，即，所以.8.为测试一种新药的有效性，研究员用某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：发病未发病合计使用药物153550未使用药物302050合计4555100从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势，在B发生的条件下A的优势，则（）A.可化简为，估计其值为 B.可化简为，估计其值为C.可化简为，估计其值为 D.可化简为，估计其值为答案：A解析：思路：考查条件概率公式以及优势比的化简与计算，首先化简，再由条件概率公式以及数据求出概率代入求解即可.解答过程：已知，，由条件概率公式：，，由列联表可知：，，，，，，.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（）A.B.C.是等比数列D.若数列，则数列的前n项和答案：BCD解析：思路：根据与的关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求即可判断D.解答过程：当时，，当时，，两式相减得：，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，是首项为8，公比为2的等比数列，故C正确；对于D，，，故D正确.10.下列说法正确的是（）A.随机变量，则方差B.若事件A，B相互独立，则C.根据小概率值的独立性检验，当时，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05.D.在一组样本数据（，2，3，⋯，10）中，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，若得到的新线性回归直线的斜率为3，则新的线性回归方程为答案：CD解析：思路：借助二项分布方差公式、相互独立事件的概率公式、独立性检验性质及线性回归方程性质逐项判断即可得.解答过程：A：由题设，则，故A错；对于B：由事件A，B相互独立，可知，对于随机事件A，B，都有，故仅当A，B互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误；对于C：根据小概率值的独立性检验，当时，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05，故C正确；对于D，因为，所以去除两个异常数据和后，得到新的，因为且，所以，则新的，因为得到的新线性回归直线的斜率为3，则，所以新的线性回归方程为，故D正确.11.过点可以作曲线的两条切线，则下列说法正确的是（）A.P点的坐标可以是 B.P点的坐标可以是C. D.答案：BC解析：思路：设切点，用导数求切线斜率，与点斜式斜率联立得到方程，问题转化为方程有两根，再求导分类讨论参数即可.解答过程：设切点为切线的斜率为，此时曲线有两条切线，等价于方程有两个不同的根.设，当，即时，恒成立，在上单调递增，此时：至多有一个零点，即最多有一个根，不符合条件，当时，显然在上单调递减，在上单调递增，结合图像的特征，要使有两个不同的零点，则必有：，显然只有B，C选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________.答案：解析：解答过程：在中，令，可得.13.若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________.答案：解析：思路：设所求切点为，可得,解方程即可求解.解答过程：设所求切点为，由于,所以，解得：则其切点坐标为14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________.答案：解析：思路：设n次传球后球在乙手中的概率为，结合递推关系得出数列是等比数列即可求出.解答过程：设n次传球后球在乙手中的概率为，则有，必有，故数列是以为首项，为公比的等比数列，，故次传球后球在乙手中的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知正项等比数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）依题意求出数列的公比，再求得首项，即可得出结果；（2）结合（1）中表达式，再利用错位相减法计算.（1）设等比数列的公比为q，方法一：①当时，，显然不合题意；②时，，得：，则，又，则；由题：，方法二：，又，，由题：，（2），故：，两式相减得：.16.某AI研发团队为探究模型训练时长对有效推理次数的影响，选取5组不同的训练时长方案，在相同硬件与数据条件下开展测试，统计出对应训练时长下的有效推理次数，得到如下数据：训练时长x/h1213141516有效推理次数y/次46182026（1）求变量y关于x的经验回归方程；（2）当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望.附：；参考数据：.答案：（1）（2）X的分布列为：X012PX的数学期望.解析：解答过程：（1）由题：，，因为，，关于x的经验回归方程为.（2）由（1）知，.所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示.训练时长x/h1213141516有效推理次数y/次46182026预测值3.2914.820.626.4残差的绝对值0.833.20.60.4是否为异常拟合数据否是是否否由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组.所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数的所有可能取值为0，1，2.则，，，所以X的分布列为：X012P则X的数学期望.17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，当时，函数在上的最大值为0，求a的值.答案：（1）当时，在R上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减；（2）.解析：思路：（1）求导函数含参分类讨论判断函数的单调性即可；（2）先计算并求导，分类讨论参数与1的大小，结合函数的单调性与最值计算即可.（1）由题意得令，当时，恒成立，恒成立，在上单调递增；当时，，此时在单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由于，；当时，，由于，①当，即时，在上单调递增，此时当时，有最大值为：；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时当时，有最大值为：.令，则，此时，故无解，即方程无解.综上：.18.某高中为了促进学生阅读兴趣，组织了一场知识竞赛.比赛以班为单位参与，分为预赛和决赛.预赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题.（1）若甲班在预赛阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用X表示在前4次答题中答对的题目数量，求.（2）若乙班在预赛阶段每道题答对的概率是，用Y表示在前10次答题中答对的题数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少?（3）为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件A，B分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知A，B有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断A，B的关系，并在，时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率.答案：（1）（2）8个题.（3）选择①：，则，因此，所以A，B相互独立.选择②：，则