2025-2026学年湖南邵东市创新学校高一下学期5月创高杯考试数学试题-含解析

/数学满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A.2 B. C.1 D.3.若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（）A. B. C.或 D.或5.如图，为的边上的中线，且，那么为（）A. B. C. D.6.某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（）A. B. C. D.7.在直角梯形中，，，，，为的中点，则（）A.4 B.6 C.8 D.128.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数：满足，则（）A. B.的实部为1C.的共轭复数为 D.在复平面中对应的点位于第四象限10.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.的最大值为D.若，则在上的投影向量为11.在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则______．13.已知平面向量，，且，则_______．14.四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，且与向量共线.（1）求的值；（2）若与垂直，求实数的值.16.的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为．（1）求角的大小；（2）若，求的周长．17.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正弦值．18.在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．（1）求证：．（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值．（3）求点C到平面PBD的距离．

数学满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：解：．2.已知复数满足，则（）A.2 B. C.1 D.答案：C解析：思路：根据复数的除法运算得到复数，再求模长即可．解答过程：解：，则．3.若，是空间中两条不同的直线，则“存在平面，使，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由充分条件与必要条件定义，借助直线与平面的关系判断即可得.解答过程：若，可知直线，是共面直线，则存在平面，使，，即必要性成立；若存在平面，使，，则直线，可能相交，即充分性不成立；综上所述：“存在平面，使，”是“”的必要不充分条件．4.中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：思路：利用余弦定理求解即得.解答过程：在中，由余弦定理得，而，所以.故选：A5.如图，为的边上的中线，且，那么为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解.解答过程：由，所以，故选：A.6.某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得.解答过程：在中，，由正弦定理得，所以，在中，，，由余弦定理得，所以．7.在直角梯形中，，，，，为的中点，则（）A.4 B.6 C.8 D.12答案：D解析：思路：利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解．解答过程：解：在直角梯形中，，，，，则，由为的中点，得，所以．8.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.解答过程：因，平面ABCD，平面ABCD，则，又因四边形ABCD为矩形，则.则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，则外接球的表面积为：故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数：满足，则（）A. B.的实部为1C.的共轭复数为 D.在复平面中对应的点位于第四象限答案：ABD解析：思路：根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可.解答过程：因为，所以，的实部为1，虚部为1，故B正确；，故A正确；的共轭复数为，故C不正确；在复平面中对应的点位于第四象限，故D正确.故选：ABD.10.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.的最大值为D.若，则在上的投影向量为答案：AC解析：思路：利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.解答过程：对于A选项，若，则，化简可得，A对；对于B选项，若，则，又因为，解得或，B错；对于C选项，，当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C对；对于D选项，若，则，则在上的投影向量为，D错.11.在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：由正弦定理，对进行边角互化，结合的取值范围得，再利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得为锐角，利用诱导公式、同角三角函数关系及正弦函数的单调性，可得，判断A；求出，判断B；求出判断C，D.解答过程：因为，所以，根据正弦定理边角互化得，因为，，所以，即，所以，即.由余弦定理可知，，故，若，则，注意到，所以，（两者同负会有两个钝角，不成立），即，，因为，，都是锐角，所以，于是，这和相矛盾，故不成立，所以．所以，，，所以，故A选项正确；，即，所以或，即或，当时，，；当时，，，故B选项错误；因为的面积为，所以，当，时，，，，解得，，；当，时，，，，解得，，，故C选项错误，D选项正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则______．答案：解析：解答过程：.13.已知平面向量，，且，则_______．答案：解析：思路：先求出的坐标，再利用即可.解答过程：由题意得，，又，则，解得．故答案为：．14.四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______．答案：##解析：思路：法一：可将四棱锥放入正方体中，则可作出截面与正方体各棱交点，再利用相似三角形性质计算即可得解；法二：过点作直线，延长与直线交于点，则交于点，再作出相应的相似三角形，利用相似三角形性质计算即可得解.解答过程：法一：如图1，将四棱锥放入正方体中，延长与正方体刚好交于点，延长与交于点，连接，过点作与交于点，此时，，，，四点共面，则与的交点为点，，又，则，，，，.法二：如图2，过点作直线，延长与直线交于点，连接交于点，过点作交于点，则点为上靠近点的四等分点．，，则，，，又，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，且与向量共线.（1）求的值；（2）若与垂直，求实数的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据平面向量线性运算坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.（1）.因为与共线，所以，解得；（2）由（1）知，所以，由与垂直，得，所以，解得.16.的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为．（1）求角的大小；（2）若，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理、三角形的面积公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由（1）可得出的值，结合正弦定理可求得的知，结合已知条件求出的值，由此可求出的周长.（1）由余弦定理可得，即，因为，即，所以，因为，故.（2）由正弦定理可得，由（1）可得，可得，所以，，则，故，因为，所以，故，因此，的周长为.17.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正弦值．答案：（1）证明过程见解析（2）解析：思路：（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.（1）连接交于，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.18.在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得，进而求出角.（2）设，则，在中，根据正弦定理，再由三角形的面积公式即可求解.（1）解：∵，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴，∵为锐角，∴，∴，∴；（2）解：由题意可知，设，∴，∵，又∵，∴，在中，由正弦定理可得：，即：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴三角形面积的取值范围为.19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点．（1）求证：．（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值．（3）求点C到平面PBD的距离．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得；（2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值；（3）C到平