2025-2026学年湖南省长沙外国语学校高一上册期末考试数学试题-含解析

/数学满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.下列选项中与角终边相同的角是（）A. B. C. D.3.幂函数在上单调递增，则（）A.1 B.3 C. D.4.已知正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.5.已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.6.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.7.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（）A. B. C. D.8.已知函数，若恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.以下四个命题中，是真命题的是（）A.B.存在整数x，y，使得C.，二次函数的图象都关于轴对称D.若命题，则的否定为：10.已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.B.的定义域为C.在上单调递增D.若，且，则的最大值为11.已知函数，其中，且，则（）A.有两个减区间 B.函数最多有3个零点C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.且的图象恒过定点_________．13.已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则_________.14.，用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知全集，集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．16.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值时的值；（3）当时，求的单调递增区间．17.已知．（1）若的解集为，求关于的不等式的解集；（2）若，解关于的不等式．18.如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于．（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标；（2）求四边形面积的最大值．19.已知函数，其中，且为奇函数．（1）求的值；（2）若，，，求集合；（3）若函数，讨论函数（为常数）的零点个数．

数学满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先解带绝对值的不等式化简集合再求即可.解答过程：或，，所以或.故选：D2.下列选项中与角终边相同的角是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据终边相同的角的定义可得结果.解答过程：因为，故与角终边相同的角为.故选：C.3.幂函数在上单调递增，则（）A.1 B.3 C. D.答案：B解析：思路：由幂函数的定义和单调性得到，进而求解即可.解答过程：因为幂函数在上单调递增，由幂函数的定义及单调性得，解得．故选：B4.已知正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据基本（均值）不等式求和的最小值.解答过程：因为为正数，所以，，当且仅当，即时取等号,由和解得，此时取得最小值.故选：A5.已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式.解答过程：由图可知函数的最小正周期满足，所以最小正周期，故.将最低点代入可得，即，所以，可得.又，所以，所以，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，由三角函数图象伸缩变换的规律可知．故选：D.6.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求原函数的定义域，分别判断与的单调性，利用复合函数的“同增异减”原则即得原函数的递减区间.解答过程：由可得或，所以的定义域为，设，则，因为图象的对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，而在定义域内单调递减，所以的单调递减区间是．故选：D.7.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先通过弧长公式求出小扇形半径，再结合的长度得到大扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积.解答过程：设，因为圆心角，弧CD的长为，代入弧长公式可得，解得．所以．由扇形面积公式可得，，，所以此扇面的面积．故选：C.8.已知函数，若恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分析可知函数在上为减函数，且，故可将所求不等式变形为，于是得出对任意的恒成立，分、两种情况讨论，结合二次不等式恒成立求解即可.解答过程：由题意知，对任意的，，故函数的定义域为，因为，因为函数为增函数，在上为减函数，故函数在上为减函数，又因为函数在上为减函数，故函数在上为减函数，因为，所以，由可得，所以，故，即对任意的恒成立，若，可得，此时恒成立，满足要求；若，则需，解得，综上所述，的取值范围是.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.以下四个命题中，是真命题的是（）A.B.存在整数x，y，使得C.，二次函数的图象都关于轴对称D.若命题，则的否定为：答案：AC解析：思路：逐项判断各选项的正确性即可.解答过程：对于A，显然为真命题；对于B，一定为偶数，故B选项为假命题；对于C，设，易知其定义域为，又，所以为偶函数，故C选项为真命题；对于D，若命题，则p的否定为：，故D选项为假命题，故选：AC.10.已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.B.的定义域为C.在上单调递增D.若，且，则的最大值为答案：AD解析：思路：利用正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的定义域可判断B选项；利用正切型函数的单调性可判断C选项；解不等式，结合可得出的最大值，可判断D选项.解答过程：对于A选项，因为且函数的最小正周期为，故，A对；对于B选项，由A选项可知，由可得，故函数的定义域为，B错；对于C选项，当时，，故函数在上不单调，C错；对于D选项，由可得，所以，因为，故当时，取最大值，D对.故选：AD.11.已知函数，其中，且，则（）A.有两个减区间 B.函数最多有3个零点C. D.答案：BD解析：思路：作出函数图象可判断A；将问题转化为的函数图象交点个数即可判断B；利用对称性求出，再数形结合求出的范围即可判断C；先求出的范围，再结合的范围即可判断D；解答过程：作出的图象如下：当时，，其对称轴为，开口向下，，所以的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，综上有一个减区间，故A不正确；结合图象可得，当时，的函数图象有个交点，即函数有3个零点；当或时，的函数图象有个交点，即函数有2个零点；当时，的函数图象有个交点，即函数有1个零点；故函数最多有3个零点，故B正确；由于，且，结合图象可得，又得，则，所以，故C错误；由图象得，且，则，由，则，即，由于，且随着的增大，也增大，所以，故D正确．故选：BD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.且的图象恒过定点_________．答案：解析：思路：根据指数函数图象特征列式求解即可.解答过程：令，得，则，即且的图象恒过定点.故答案为：.13.已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则_________.答案：解析：思路：利用奇函数的性质结合对数运算可求得的值.解答过程：因为函数是定义在上的奇函数，若时，，则.故答案为：.14.，用表示、中的最小者，记为，，则当_________时，取到最大值．答案：解析：思路：作出函数的图象，数形结合可得结果.解答过程：令，，由得，整理可得，解得或，作出函数、图象如下，由图象可得，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，当时，函数的最大值.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知全集，集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据对数函数的性质解不等式，再结合并集的定义，即可得解；（2）由题意得是的真子集，然后列不等式组即可求出的取值范围.（1）由，解得，故，若，则，因此；（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，可得是的真子集.因为，故或，解得，故．16.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值时的值；（3）当时，求的单调递增区间．答案：（1）（2）的最大值为，取得最大值时（3），解析：思路：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）令可求出的值，即可得出结果；（3）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的单调性可得出函数的增区间.（1），所以的最小正周期为．（2）令，解得，所以当时，取得最大值，所以的最大值为，取得最大值时.（3）当时，，由或可得或，故函数在上的单调递增区间为，.17.已知．（1）若的解集为，求关于的不等式的解集；（2）若，解关于的不等式．答案：（1）（2）答案见解析解析：思路：（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案；（2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可.（1）已知的解集为，说明和是方程的根．由韦达定理：−3×2=−a1将代入不等式，得6x+3所以．因此，不等式的解集为．（2），即解，需要根据的取值分类讨论：（1）当，即时，不等式的解为或；（2）当，即时，不等式变为，解集为R；（3）当，即时，不等式的解为或．综上所述：当时，；当时，；当时，.18.如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于．（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标；（2）求四边形面积的最大值．答案：（1）建系见解析，点，点（2）解析：思路：（1）以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义、诱导公式可得出点、的坐标；（2）利用三角恒等变换化简四边形的面积关于的表达式，结合的取值范围以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值.（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，，圆的半径为，点坐标为，点的坐标为，坐标为．（2），，四边形的面积，当时，即时，，四边形的面积的最大值为．19.已知函数，其中，且为奇函数．（1）求的值；（2）若，，，求集合；（3）若函数，讨论函数（为常数）的零点个数．答案：（1）（2）（3）答案见解析解析：思路：（1）利用奇函数的定义可得出关于的等式，结合可得出的值；（2）分析出函数是定义在上的奇函数且为减函数，由可得出，结合函数的定义域、奇偶性以及单调性可得出关于的不等式组，即可得出集合；（3）化简函数的解析式，令得出，然后分、两种情况讨论，化简所求方程，对实数的取值进行分类讨论，可得出所求方程解的个数.（1）因为函数为奇函数，，，解得．又，．