2025-2026学年吉林省吉林市第四中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

/数学一、单选题（每题5分，共40分）1.设是平面向量的一组基底，那么“”是“是钝角”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.3.在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.4.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若m，n是异面直线，，，，，则5.在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（）A.1 B. C. D.6.已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（）A. B. C. D.7.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（）A.4 B.6 C.12 D.248.已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共18分）9.若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A. B. C. D.10.已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形或直角三角形B.在锐角中，不等式恒成立C.若，，且有两解，则的取值范围是D.若，则为锐角三角形11.将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（）A.圆锥的体积为 B.圆锥的侧面积为C.圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D.过圆锥顶点的截面面积的最大值为三、填空题（每题5分，共15分）12.如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______.13.已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.14.如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________．四、解答题15.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.16.已知复数，其中．（1）若为实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围．17.在中，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.18.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱.（1）求圆锥的表面积与体积；（2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少.19.在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的周长为，且，求的面积.

数学一、单选题（每题5分，共40分）1.设是平面向量的一组基底，那么“”是“是钝角”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件答案：C解析：思路：根据充分必要条件的定义判断.解答过程：是钝角时，，必要性满足，是平面向量的一组基底，则，时，，时，，充分性也满足，所以应为充要条件.2.已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助投影向量定义计算即可得.解答过程：，故向量在向量方向上的投影向量为.3.在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过三点共线，即可求解.解答过程：由，可得：，即，，因为共线，则

.4.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若m，n是异面直线，，，，，则答案：D解析：思路：利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．解答过程：对于A，若，，则与平行或相交，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误；对于D，因为，所以在内存在直线∥，又，所以∥；又是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线；又，所以；故D正确.故选：D.5.在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（）A.1 B. C. D.答案：D解析：思路：由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解.解答过程：由余弦定理有：，又，所以，又由正弦定理有：，又，所以，又为三角形的内角，所以或（舍去），所以，又，所以，所以，所以，故选：D.6.已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案.解答过程：由题意知，扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式，可得，所以此扇形的面积为．故选：A．7.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（）A.4 B.6 C.12 D.24答案：A解析：思路：根据棱锥的体积公式即可求解.解答过程：解：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为，故选：A.8.已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据数量积的运算律以及二次函数的性质即可求解.解答过程：由题意，在边长为4的正方形中，.设，，则.因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.二、多选题（每题6分，共18分）9.若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：借助共轭复数与模长定义计算即可得A；虚数不能比较大小可得B；借助共轭复数定义计算可得C；借助共轭复数定义及复数乘法运算法则计算可得D.解答过程：对A：，则，故A正确；对B：虚数不能比较大小，故B错误；对C：，故C正确；对D：，则，故D正确.10.已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（）A.若，则为等腰三角形或直角三角形B.在锐角中，不等式恒成立C.若，，且有两解，则的取值范围是D.若，则为锐角三角形答案：ABC解析：思路：由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项.解答过程：对于A，若，则由余弦定理得，即，，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确；对于B，在锐角中，，故且，故，所以不等式恒成立，故B正确；对于C，若，且有两解，则，故，即，故C正确；对于D，若，则，即，由正弦定理得，所以角为锐角，但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误.故选：ABC.11.将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（）A.圆锥的体积为 B.圆锥的侧面积为C.圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D.过圆锥顶点的截面面积的最大值为答案：BCD解析：思路：由题中等边三角形就是圆锥轴截面，得出圆锥母线长，底面半径，高，然后计算体积、侧面积，圆锥侧面展开图扇形圆心角，过圆锥顶点的截面面积的最大值判断各选项．解答过程：由题意圆锥的母线长为，底面半径为，高为，，A错；侧，B正确；圆锥侧面展开图扇形圆心角为，C正确；由题意圆锥轴截面是等边三角形，任意两条母线夹角的最大值为轴截面顶角，因此过圆锥顶点的截面面积的最大值，D正确．故选：BCD．三、填空题（每题5分，共15分）12.如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______.答案：解析：思路：根据斜二测画法的规则复原原图，确定相关线段长，即可求得答案.解答过程：由题意可知，，斜边，，∴，由斜二测画法的规则可知，在中，，，，∴的面积是，故答案为：13.已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径，在轴截面中解直角三角形分别求出圆锥的高与底面半径即可.解答过程：如图所示，设内切球与相切于点，因为，所以，由内切球的表面积为，可得球的半径，在直角中得，则圆锥的高为，在直角中得，即圆锥的底面半径为3，所以该圆锥的体积．故选：A．14.如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________．答案：解析：思路：根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出．解答过程：因为，所以，则，因为E、B、D三点共线，所以，所以．故答案为：．四、解答题15.已知向量，满足，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.答案：（1）6（2）解析：（1）.（2）向量与的夹角为锐角需满足，且向量与不共线，即，由（1）有，所以，由得，所以的取值范围为.16.已知复数，其中．（1）若为实数，求的值；（2）若是纯虚数，求的值；（3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围．答案：（1）或（2）（3）解析：思路：（1）由虚部为0列式求值.（2）由实部为0，虚部不为0列式求值.（3）由实部大于0，虚部小于0列式求的取值范围.（1）由为实数，所以虚部为0，即或.（2）由是纯虚数，所以，所以.（3）由对应的点位于第四象限，所以，所以.所以的取值范围为.17.在中，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长.（1）解：在中，设内角、、的对边分别为、、，因为，即，由题意得：由正弦定理得，即，所以，，又因为，所以，.（2）解：，代入，则，即，因为，所以，，则，可得，因此，的周长为.18.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱.（1）求圆锥的表面积与体积；（2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；（2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值.