2025-2026学年吉林省吉林市毓文中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

/数学一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，若与共线，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.43.如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（）A. B. C.6 D.84.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则5.在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则A. B. C. D.6.如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（）A. B.C. D.7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（）A.12 B. C.16 D.8.已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题正确的有（）A.长方体是平行六面体B.正四棱柱是正方体C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.棱台的侧面是梯形10.在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（）A.若，则为等腰三角形或直角三角形B.若，则是锐角三角形C.若为锐角三角形，则D.若有两解，，，则11.下列说法正确的是（）A.已知向量，，且，则B.向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件C.若，、分别表示、的面积，则D.在中，向量与满足，且，则为等边三角形三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量的夹角为，则___________13.已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______.14.已知是锐角的外接圆圆心,则实数的值为_____.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值；（2）已知，求；（3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值．16.在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求该三角形的周长（3）若，，为的平分线，求的长．17.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由．18.如图，某区有一块的空地，其中，．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求人工湖用地的面积是假山用地面积的倍，试确定的大小；（3）如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．（1）分别根据下列已知条件求：①，；②，；（2）若向量（，，），证明：（3）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值．

数学一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：化简复数为，结合复数的几何意义，即可求解.解答过程：由复数，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A.2.已知向量，，若与共线，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：解答过程：，因为与共线，故，故.3.如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（）A. B. C.6 D.8答案：A解析：思路：根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积.解答过程：由直观图可得如下平面图形，则，，，则原的面积为.故选：A.4.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则答案：C解析：思路：依据空间中线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项的正误.解答过程：对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误；对B：若，，则或，故B错误；对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确；对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误.5.在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果.解答过程：由余弦定理：，得，由正弦定理：.故选A方法提示：本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.6.如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据正四棱锥的性质，求出棱锥的高，进而根据体积最大且高为定值得出最大半径，进而利用圆锥的体积公式计算圆锥体积的最大值．解答过程：已知正四棱锥的所有棱长均为，则底面为边长为的正方形，作在底面的投影，连接，则为圆锥底面的圆心和底面的中心，即为圆锥的高，，圆锥的高固定，当底面半径最大时体积最大，底面半径的最大值为，．7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（）A.12 B. C.16 D.答案：A解析：思路：建立如图所示的平面直角坐标系，得，，再由平面向量的数量积运算即可求解．解答过程：建立如图所示的平面直角坐标系：由于正六边形的边长为1，所以，，所以，所以，故选：A8.已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4答案：B解析：思路：首先确定点是的重心，再根据线性运算，用基底表示，利用三点共线，表示，再根据基本不等式求最值.解答过程：如图，连结接并延长交于点，由可知，点是的重心，则点是的中点，，因为点三点共线，所以，即，则，当时，即时，等号成立，所以的最小值为.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题正确的有（）A.长方体是平行六面体B.正四棱柱是正方体C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.棱台的侧面是梯形答案：ACD解析：思路：根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可.解答过程：对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确.对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误.对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确.对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确.故选：ACD.10.在中，角、、的对边分别为、、，下列说法正确的是（）A.若，则为等腰三角形或直角三角形B.若，则是锐角三角形C.若为锐角三角形，则D.若有两解，，，则答案：ACD解析：思路：利用正弦边角关系及二倍角正弦公式，结合三角形内角的性质判断A；根据余弦定理即可判断B；由已知得，结合正弦函数的性质判断C；根据三角形解的个数有判断D．解答过程：A：由正弦边角关系得，又，所以或，则为等腰三角形或直角三角形，正确，B：若，则，即，所以为钝角，则为钝角三角形，错误；C：由三角形为锐角三角形，则，则，所以，正确，D：由有两解，则，正确．11.下列说法正确的是（）A.已知向量，，且，则B.向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件C.若，、分别表示、的面积，则D.在中，向量与满足，且，则为等边三角形答案：AD解析：思路：由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD.解答过程：对于A，由，故，故，故A正确；对于B，由的夹角为锐角，得且不共线，则，解得且，所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故B错误；对于C，如图设，，由，得，取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心，设，，的面积分别为，则，，的面积分别为，由重心的性质可知，所以，则，故C错误；对于D，如图，作的内角平分线与相交于点，因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以，，所以，即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以，即为等边三角形，故D正确.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量的夹角为，则___________答案：解析：思路：由向量的数量积运算及运算律可求得答案.解答过程：，所以．故答案为：.13.已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______.答案：解析：思路：设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，利用正弦定理求出，再根据求出，进而得到表面积．解答过程：设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，则，解得，，则其外接球表面积为．14.已知是锐角的外接圆圆心,则实数的值为_____.答案：解析：解答过程：设的中点为D，则有，代入，可得（*），由得，将（*）式两边同乘以，化简得，即，由正弦定理及上式得，因为，所以，所以====，故答案为.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值；（2）已知，求；（3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值．答案：（1）；（2）；（3），解析：解答过程：（1）由于为纯虚数，故且，解得，（2）,则，（3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根，故，即，则，因此且，解得，16.在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求该三角形的周长（3）若，，为的平分线，求的长．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解；（2）利用三角形的面积公式，，再由余弦定理，求得，即可求解；（3）根据题意，得到，利用，列出方程，即可求解.（1）解：因为，由正弦定理，可得，整理得，所以，即，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，即，又因为，所以.（2）解：由（1）知：且的面积为，可得，可得，因为，由余弦定理知，可得，可得，解得，所以的周长为.（3）解：因为为的平分线且，可得，由，可得，又因为，可得，整理得，所以.17.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析．解析：思路：(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明；(2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行；(3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可．（1）证明：平面，且平面；又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，；（2）证明：取PA的中点G，连接EG，BG；因为E，G，为PD，PA中点，所以，且；又因为，，所以，且；所以为平行四边形；所以；又因为平面，平面，所以平面；（3）在上存在的中点使得平面平面，证明如下：取的中点，连接CF，EF；因为E，F，为PD，AD中点，所以；又因为平面，平面，所以平面；又因为平面，且，平面；所以平面平面；在上存在点使得平面平面．18.如图，某区有一块的空地，其中，．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求人工湖用地的面积是假山用地面积的倍，试确定的大小；（3）如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？答案：（1）；（2）；（3）时，的面积最小，最小值为.解析：思路：（1）由已知可得，在中根据余弦定理求出，并得到为直角三角形，进而求出是正三角形，即可得出结论；（2）设，由结合面积公式，以及在中由正弦定理，分别求出，从而得到关于的方程，求解即可；（3）设，由（2）将用表示，在中根据正弦定理，将用表示，面积可表示为关于的函数，利用三角恒等变换，结合正弦函数的有界性，即可得出结论.解答过程：解：（1）因为，所以．在中，，，，由余弦定理，得，即．因为，所以，，所以是正三角形，其