2025-2026学年江苏省南京市七校联合体高一下学期5月学情调研数学试题-含解析

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.的值为（）A. B. C. D.3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（）A.2π B.4π C.2 D.14.下列结论中不正确的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.5.小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（）A.40米 B.米 C.米 D.60米6.在中，，，，则（）A.16 B. C.9 D.7.已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（）A. B. C. D.8.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.复数的模为 B.复数的虚部为C.若，则 D.10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则符合条件的有两个D.若，则是锐角三角形11.已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（）A.的面积的最大值为 B.当P为BC中点时，C.若的面积为面积的，则 D.若，则的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．12.已知向量，，满足，则_____.13.在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．14.在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________.四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设复数，，其中为虚数单位．（1）若是纯虚数，求．（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．16.的三边长度分别为：，，，（1）求：的值（2）若，，点在线段上，且（ⅰ）试用，的适当形式表示（ⅱ）求17.（1）已知，，求的值；（2）已知角，，且，，求和的值．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．（1）求，（2）若，且的面积为，求的周长；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．19.我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．（1）已知向量的“广义坐标”为．求的模；（2）以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．（3）如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由向量减法与加法的三角形法则可得.2.的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用两角和的正弦公式求得正确答案.解答过程：.3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（）A.2π B.4π C.2 D.1答案：A解析：解答过程：设外接圆的半径为，因为，，由正弦定理，，解得，故外接圆的周长为.4.下列结论中不正确的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.答案：B解析：思路：根据向量共线判断A，根据特例判断B，根据数量积的运算判断CD.解答过程：对A，当中至少有一个为零向量时，成立，当都为非零向量时，由知或，所以a⋅对B，若为零向量时，满足，，但是不一定成立，故B错误；对C，a+所以，即，故C正确；对D，因为a=2a所以a+b25.小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（）A.40米 B.米 C.米 D.60米答案：C解析：思路：根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得.解答过程：如下图：由题可得、、，，，，即，故，则，则，故.故选：C.6.在中，，，，则（）A.16 B. C.9 D.答案：A解析：思路：方法一：建立平面直角坐标系，再根据平面向量数量积的坐标运算公式即可求解；方法二：根据平面向量线性运算及数量积的运算律即可求解．解答过程：方法一：坐标法．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则，，．，，则．方法二：利用向量关系．．由于，，所以．7.已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案解答过程：以A为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，所以，设，故，因为，所以，则，，所以，因为，其对称轴为，取得最小值，当，取得最大值，所以8.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解．解答过程：由已知条件，化简得．由正弦定理得，，又，所以，所以，由于为锐角三角形，所以．边上的中线长为，设边上的中线长为，则，所以，所以，所以S△二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.复数的模为 B.复数的虚部为C.若，则 D.答案：ABD解析：解答过程：A：复数的模，正确.B：复数的虚部为，正确.C：复数不能比较大小，错误.D：设则，，正确.10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，，，则符合条件的有两个D.若，则是锐角三角形答案：ACD解析：解答过程：三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理，则，即，故A正确；由正弦定理，已知，则，由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角，故三角形不一定是锐角三角形，故B错误；已知，，，则，，，，可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确；，，由大角对大边可知为最大角，要证是锐角三角形，只需证，由三角形的性质知，，，令，则，，，即，，，故是锐角三角形，故D正确．11.已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（）A.的面积的最大值为 B.当P为BC中点时，C.若的面积为面积的，则 D.若，则的最小值为答案：ABC解析：思路：根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D．解答过程：对于A，由已知条件，得，由，得，平方得，得，cosA=2，由，得，则，所以，故A正确．对于B，当为中点时，，则，故B正确．对于C，由在上，设且，则与面积比等于，由得，故C正确．对于D，若，则，结合，得，为等边三角形．,，则，当时，取得最小值，故D错误．三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．12.已知向量，，满足，则_____.答案：解析：解答过程：，，因为，所以，解得，因此.13.在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________．答案：##解析：解答过程：因为复数，，，所对应的点分别是，，，所以，，，即，，，所以由，所以，解得，因此.14.在中，内角,,所对的边分别为,，，若a=3bsinC，则的最大值等于__________.答案：解析：思路：利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可.解答过程：因为a=3bsin又，，则因为，当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为.四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设复数，，其中为虚数单位．（1）若是纯虚数，求．（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）对进行分母实数化，根据是纯虚数构造方程组求出，进而求出复数，再求出；（2）求出复数，根据其在复平面内对应的点位于第四象限构造不等式组求解．（1），若为纯虚数，则2−m=02m故，．（2），已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则4−m2>0．16.的三边长度分别为：，，，（1）求：的值（2）若，，点在线段上，且（ⅰ）试用，的适当形式表示（ⅱ）求答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）先根据余弦定理求出，再根据数量积的定义求解；（2）（ⅰ）根据向量的线性运算求解；（ⅱ）根据向量数量积的运算律求解．（1），；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．17.（1）已知，，求的值；（2）已知角，，且，，求和的值．答案：（1）；（2），解析：思路：（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解；（2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出、、，再由展开计算即可．解答过程：（1），得，解得；（2），，，，，，又，，．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．（1）求，（2）若，且的面积为，求的周长；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据，利用正弦定理转化为求解；（2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案；（3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解.（1）由和正弦定理，可得，其中，故．∴，即，因为，所以.（2）因为，所以，由余弦定理可得即，所以，所以的周长为.（3）因为是锐角三角形，，所以，解得，由正弦定理，asinA=所以S△==4=4由B∈π6,π所以23即面积的取值范围为.19.我们把山平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，，分别为，正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．（1）已知向量的“广义坐标”为．求的模；（2）以为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．（3）如图3，在“广义坐标系”中，点，分别在射线、射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值．答案：（1