2025-2026学年江苏省南京市十三中、九中等校高一下学期6月期末检测数学试题-含解析

/数学满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.2.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（）A.90 B.120 C.180 D.2003.下列命题正确的是（）A.若直线上有无数个点不在平面内，则B.若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线C.已知直线，，平面，且，则直线，平行D.已知两条相交直线，，且平面，则与相交4.若且，则的值为（）A. B. C. D.5.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于A.30°或150° B.60° C.120° D.30°7.已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.8.已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.复数在复平面内对应的点位于第二象限B.若复数，则C.复数的共轭复数D.若，则的最小值为10.在中，下列说法正确的是（）A.若，则B.存在满足C.在中，若，则是等腰三角形或直角三角形D.在中，若，，则必是等边三角形11.已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（）A.B.若平面与平面的交线为，则与所成的角为C.棱与平面所成角的正切值为D.若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.__________．13.已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为___________.14.已知的内角，，满足，其外接圆半径为，则的面积为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四边形中，为等边三角形，且，，．（1）求；（2）若是中点，求．16.已知，，且，．（1）求的值；（2）求的值．17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，点为上一点．（1）若平面，求证：点为中点；（2）求证：平面平面．18.锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围；（3）若为的角平分线，，求长的取值范围．19.如图，在四棱锥中，是正三角形，，，．（1）求证：平面平面．（2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内．①求四棱锥的体积；②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

数学满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：使用复数的除法和复数的定义求解.解答过程：由，得，则的虚部为.2.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（）A.90 B.120 C.180 D.200答案：D解析：思路：设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解.解答过程：设从核心区抽取的人数为人，因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300，可得，解得，即从核心区抽取的人数为人.故选：D.3.下列命题正确的是（）A.若直线上有无数个点不在平面内，则B.若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线C.已知直线，，平面，且，则直线，平行D.已知两条相交直线，，且平面，则与相交答案：B解析：思路：根据空间直线与平面的位置关系的定义，分类，及几何特征，逐一分析选项，可得答案.解答过程：若直线上有无数个点不在平面内，则或与相交，故A选项不正确；若直线不平行于平面且，则与相交，所以平面内不存在与平行的直线，故B选项正确；已知直线，平面，且，则直线平行或异面，C选项错误；两条相交直线，且平面，则平面或与相交，D选项错误.故选：B4.若且，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据，求出，再利用正弦和角公式计算出答案.解答过程：，故，因为，所以，所以.故选：A5.若向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由投影向量的计算公式求解即可.解答过程：因为向量，，所以量，，，则在向量上的投影向量为为.故选：D.6.在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于A.30°或150° B.60° C.120° D.30°答案：D解析：思路：由正弦定理先求或，再根据大边对大角取舍即可.解答过程：解：，或，又，所以，所以，故选：D方法提示：已知两边和其中一边的对角解三角形，注意解的个数，基础题.7.已知在梯形中，，，，将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：使用旋转体的表面积公式计算.解答过程：将梯形绕所在的直线旋转一周形成的几何体如图：所以表面积为.8.已知直四棱柱中，，，，，底面为平行四边形，侧棱底面，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：球面与侧面的交线即在平面内到点距离为2的点的轨迹，据此可得答案.解答过程：由题可得，由余弦定理可得.又，则.又由题可得平面，平面，则，结合侧面，可得平面.注意到球面与侧面的交线即在平面内到距离为2的点的轨迹，结合，可得轨迹为在平面内到距离为的轨迹，即平面内，以为圆心，半径为的一段弧，因，则弧长为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.复数在复平面内对应的点位于第二象限B.若复数，则C.复数的共轭复数D.若，则的最小值为答案：BC解析：思路：根据复数的几何意义、模的运算、乘除法运算逐项分析判断即可.解答过程：对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误；对于B：由，故，故B正确；对于C：由，得，故C正确；对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上，而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3，故的最小值为，故D错误.10.在中，下列说法正确的是（）A.若，则B.存在满足C.在中，若，则是等腰三角形或直角三角形D.在中，若，，则必是等边三角形答案：ACD解析：思路：利用正弦定理、余弦定理，结合三角函数单调性及三角恒等变换逐一判断各选项即可.解答过程：

对于A：在中，由可得，由正弦定理，可得，因，则，故A正确；对于B：中，由可得，因在上单调递减，则，即得，故B错误；对于C，由和正弦定理，得，即，因，由知，故或，即得或，故是等腰三角形或直角三角形，即C正确；对于D，因，，由余弦定理，得，即得，则，故必是等边三角形，故D正确.11.已知正方体，，分别为棱，的中点，下列说法正确的是（）A.B.若平面与平面的交线为，则与所成的角为C.棱与平面所成角的正切值为D.若正方体棱长为，则经过，，的平面截此正方体所得截面图形的周长为答案：ABD解析：思路：对于A：利用向量点积为0可证得垂直；对于B：结合图形可得交线为，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过，，的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形

.解答过程：如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则、、、，、、、、、，选项A：，，点积为，故，A正确；选项B：结合图形可知

为平面与平面的交点，则交线即为直线.，则.可得，与所成角为，B正确；选项C：设平面

的一个法向量，则有，令

，则

，即

.，则，从而，可知棱

与平面所成角的正切值为，C不正确；选项D：如图，取棱

的中点，连接.∵

分别为的中点，则

且

.又∵

且，则且，∴

为平行四边形，则.∵

分别为的中点，则且

，∴

为平行四边形，则.∴

.同理可证.∴经过的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形.∴​，则其周长为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.__________．答案：.解析：思路：利用化简表达式，由此求得表达式的值.解答过程：由于，故.方法提示：本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13.已知向量，且，则向量与向量的夹角余弦值为___________.答案：解析：思路：利用向量数量积的坐标运算即可求解.解答过程：由，则，若，则，解得.向量与向量的夹角余弦值.故答案为：14.已知的内角，，满足，其外接圆半径为，则的面积为_____．答案：3解析：思路：先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果.解答过程：因为

，可得

.又

，故

，.所以.所以

，可得，即.因该三角形的外接圆半径为2，由正弦定理，得，所以的面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四边形中，为等边三角形，且，，．（1）求；（2）若是中点，求．答案：（1）（2）11解析：思路：（1）利用平面向量的线性运算将

用基底

表示，结合模长与数量积关系计算求解；（2）利用平面向量的线性运算将

用基底

表示，结合向量数量积的运算律及定义求解.（1）由，，，则，故，故；（2）由是中点，则，，故.16.已知，，且，．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角差的余弦公式计算即可得；（2）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式计算即可得.（1）由得，故，则；（2），则，即有，故，又，则，，则，故，即有、，由，，则，则，则.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面平面，点为上一点．（1）若平面，求证：点为中点；（2）求证：平面平面．答案：（1）详见解析；（2）详见解析.解析：思路：（1）连接AC交BD于O，连接OM，由PA∥平面MBD证明PA∥OM，利用平行四边形证明M是PC的中点；（2）△ABD中利用余弦定理求出BD的值，判断△ABD是Rt△，得出AB⊥BD，再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD，平面MBD⊥平面PCD．解答过程：（1）连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；因为PA∥平面MBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MBD＝OM，所以PA∥OM；因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，所以M是PC的中点；（2）△ABD中，AD＝2，AB＝1，∠BAD＝60°，所以BD2＝AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD＝3，所以AD2＝AB2+BD2，所以AB⊥BD；因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD；因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD．方法提示：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查了线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理，是中档题．18.锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围；（3）若为的角平分线，，求长的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：利用正弦定理边角互换求解即可；利用正弦定理边角互换后结合三角恒等变换求解；利用正弦定理边角互换后结合三角函数分析求解.（1）因为，由正弦定理得，在中，，所以，所以，所以，又则，所以，则，因为为锐角三角形，所以.（2）由（1）知，正弦定理，则，因为锐角，，所以，所以，所以，所以.（3）由角平分线定理，且，，又，由正弦定理，因为，所以，所以，所以.19.如图，在四棱锥中，是正三角形，，，．（1）求证：平面平面．（2）设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内．①求四棱锥的体积；②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．答案：（1）因，则全等于，从而，由是正三角形，三线合一，可得，又平面，所以平面，结合平面，可得平面平面；（2）①；②.解析：思路：（1）通过证明平面，结合题设可得答案；（2）①由题设可得为外心，由正弦定理可得外接球半