2025-2026学年吉林延吉市第三高级中学高二下学期5月期中考试数学试题-含解析

/数学满分150分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则（）A. B. C. D.2.在等差数列中，，则（）A.5 B.10 C.12 D.153.下列求导运算结果错误的是（）A. B.C. D.4.已知数列满足，则（）A.1 B.5 C. D.5.等比数列中，为方程的两根，则等于（）A.6 B.12 C.6或12 D.-66.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.7.已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（）A. B.是等比数列C.是公差为2的等差数列 D.8.若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.的解集为B.函数有2个极值点C.函数的单调递增区间为D.是函数的极小值点二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知数列满足，其前项和为，且，则（）A. B.是递减数列C. D.是等差数列10.已知函数，则（）A.为奇函数B.C.当时，D.曲线在点处的切线方程为11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的最小值为B.函数有两个零点C.函数的单调递减区间为D.若方程只有一个实数解，则第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则__________.13.函数，的最小值是______．14.函数有个零点，则的取值范围是_____.四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分）15.已知函数在处有极值.（1）求实数的值；（2）求函数在上的最值.16.已知为数列的前n项和，且.（1）求该数列的通项；（2）若，求数列的前n项和.17.已知函数．（1）求函数的极值（2）若恒成立，求实数a的值范围．18.已知数列，，．（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．19.函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：（1）试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；（2）已知函数，求的凹的区间和凸的区间；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围.

数学满分150分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，可得，解得，所以.2.在等差数列中，，则（）A.5 B.10 C.12 D.15答案：B解析：思路：利用等差数列的性质即可求解.解答过程：因为为等差数列，所以，所以，则.故选：B.3.下列求导运算结果错误的是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，，，故ABC正确，D错误.4.已知数列满足，则（）A.1 B.5 C. D.答案：B解析：思路：根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可.解答过程：因为，所以，，，，……所以数列为周期数列，周期为3，又因为，所以.5.等比数列中，为方程的两根，则等于（）A.6 B.12 C.6或12 D.-6答案：B解析：思路：根据给定条件，利用等比数列性质求解即可.解答过程：由等比数列中，为方程的两根，得，，因此，，，所以.故选：B6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据实数的结构形式，构造函数，利用导数判断单调性，最后进行比较大小即可．解答过程：设，当时，单调递减，，，，因为，所以，即，故选：A．7.已知无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，若，则下列说法不正确的是（）A. B.是等比数列C.是公差为2的等差数列 D.答案：C解析：思路：先根据条件求解出数列的首项和公比判断A，然后根据等比数列通项公式和前n项和公式计算判断D，结合等比等差数列的定义判断判断BC.解答过程：对于A，因为无穷等比数列各项均为正整数、公比为，前项和为，则，解得，A正确；对于B，当时，，，因为，，所以是首项为，公比为的等比数列；B正确对于C，当时，，，因为，所以是公差为1的等差数列.C错误.对于D，当时，.D正确.故选：C.8.若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.的解集为B.函数有2个极值点C.函数的单调递增区间为D.是函数的极小值点答案：D解析：思路：由图可得的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得的正负，即可得单调性，从而可得B、C、D.解答过程：对A：由图可得，在、上单调递增，在上单调递减，故的解集为，故A错误；对B、C、D：由图可得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故函数有且仅有一个极小值点，故B、C错误，D正确.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知数列满足，其前项和为，且，则（）A. B.是递减数列C. D.是等差数列答案：ACD解析：思路：求出的值，分析可知数列为等比数列，确定该数列的公比，可得出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等比数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项.解答过程：因为数列满足，所以，，所以，故，A对，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故数列是单调递增数列，B错，，C对，，故数列是等差数列，D对.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.为奇函数B.C.当时，D.曲线在点处的切线方程为答案：AC解析：思路：化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D.解答过程：对于A，设，定义域为，则，故为奇函数，A正确；对于B，，则，故，B错误；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，设，则，则，则曲线在点处的切线方程为，即，D错误.故选：AC11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的最小值为B.函数有两个零点C.函数的单调递减区间为D.若方程只有一个实数解，则答案：AC解析：思路：利用导数得到函数的单调性和最值，并求出函数大致图像对选项进行判断即可.解答过程：的定义域为，.令，则，选项A：当，，单调递减；当时，，单调递增，因此在处取最小值，，A正确；选项B：令，因，故，仅得，函数只有个零点，B错误；选项C：由上述单调性分析，的单调递减区间就是，C正确；选项D：如图所示，结合的图像性质时（负方向趋近），最小值为，，时，因此，当时，有个解；时，有个解；时，有个解；时，有个解.方程只有个解时，或，D错误.第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则__________.答案：49解析：解答过程：因为成等比数列，所以，即，解得或（舍），所以.13.函数，的最小值是______．答案：解析：思路：通过求导确定函数在区间上的单调性，结合单调性分析最小值即可.解答过程：因为，，则，令，则，解得；令，则，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，且，，即，所以函数在上的最小值为.14.函数有个零点，则的取值范围是_____.答案：解析：思路：将函数有两个零点转化为两个函数与的图象有两个交点的问题，再利用导数求出两函数图象相切时的值，进而确定的取值范围.解答过程：解析：函数的零点，即为关于的方程的实根，将方程化为方程，令，，由导数知识可知，直线与曲线相切时有，所以关于的方程有两个不同的实根，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共77分）15.已知函数在处有极值.（1）求实数的值；（2）求函数在上的最值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出函数的导数，根据题意列出方程，求得的值，可得答案.（2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案.（1），，解得，则，若，则；若，则或,即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：（2）由（1）知，，，若，则；若，则或,在上单调递增，在上单调递减,又，.16.已知为数列的前n项和，且.（1）求该数列的通项；（2）若，求数列的前n项和.答案：（1），.（2）解析：思路：（1）应用计算得出等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解；（2）先应用对数运算，再应用裂项相消法计算求解.（1）当时，所以，整理可得，，，且当时，，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故，.（2）因为，所以，所以.17.已知函数．（1）求函数的极值（2）若恒成立，求实数a的值范围．答案：（1）极小值为，无极大值；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用导数求出函数的极值.（2）由恒成立的不等式分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可.（1）函数的定义域为R，求导得，令，解得，函数在上单调递增，令，解得，函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，无极大值．（2）不等式恒成立，即恒成立，不等式等价于恒成立，令，，令，求导得，函数在上单调递增，又，则存在唯一，使得，则，即，于是，由（1）知，函数在上单调递增，则．当时，，，则函数在上单调递增；当时，，，则函数在上单调递减，因此，则，所以实数a的取值范围为.18.已知数列，，．（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．答案：（1）证明见解析，（2）解析：思路：(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得.（1），且因此，是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）：，因此令两式相减得：所以，.19.函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：（1）试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；（2）已知函数，求的凹的区间和凸的区间；（3）若时，恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）图象是凸的，证明见解析；（2