2025-2026学年湖南省长沙市浏阳市高二下学期期中质量监测数学试题-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.计算（）A.13 B.23 C.29 D.1982.设为虚数单位，则的展开式中含的系数为（）A. B.20i C.-15 D.153.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为A.100 B.200 C.300 D.4004.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是A. B.C. D.5.若实数，则等于()A.32 B.－32 C.1024 D.5126.4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为()A. B. C. D.7.下列说法正确的个数为（）①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种②有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是③从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法④有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种A.1 B.2 C.3 D.48.某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列关于的二项展开式，说法正确的是（）A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024C.展开式的常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大10.某公司近5年的利润情况如下表所示：第年12345利润/亿元23457利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（）A.变量与正相关 B.回归直线一定过点C. D.预测该公司第7年的利润约为9亿元11.下列结论正确的有（）A.若数据，，…，的方差为9，则数据，，…，的方差为4B.若一组数据3，6，，，12的60%分位数为8，则，的值分别可能为7，9C.若，，，则D.在的展开式中，项的系数为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_____________．13.随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差且，则期望___________．14.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？16.已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.（1）求的值；（2）求的值；（3）判断的展开式中第几项系数最大.17.某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据：“我心中的好老师”编号12345工作年限/年4681012得票数/百张1020406050（1）若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数；（2）若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率.18.2021年3月北京市政府为做好“两会”接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（1）求该海产品不能销售的概率；（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损元（即获利元）．已知一箱中有该海产品件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出数学期望．19.在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.（1）求；（2）记事件“且甲获胜”的概率为.①求；②求.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.计算（）A.13 B.23 C.29 D.198答案：B解析：解答过程：C72.设为虚数单位，则的展开式中含的系数为（）A. B.20i C.-15 D.15答案：C解析：解答过程：的展开式中含的系数为C62⋅3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为A.100 B.200 C.300 D.400答案：B解析：解答过程：试题分析：设没有发芽的种子数为，则，，所以考点：二项分布【方法方法提示：一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.4.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：试题分析：因为商品销售量与销售价格负相关，所以排除B，D选项，将代入可得，不符合实际．故A正确．考点：线性回归方程．【方法方法提示：本题主要考查线性回归方程，属容易题．线性回归方程当时负相关；当时正相关．5.若实数，则等于()A.32 B.－32 C.1024 D.512答案：A解析：解答过程：由题意可得：本题选择A选项.6.4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为()A. B. C. D.答案：B解析：思路：本题由题，先求得第一次取得合格的第二次也取得合格的，再利用条件概率求得答案即可.解答过程：记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝3×2＝6，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝3×3＝9，所以P(B|A)＝.故选B方法提示：本题考查了条件概率，熟悉条件概率的定义和性质是解题的关键，属于较为基础题.7.下列说法正确的个数为（）①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种②有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是③从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法④有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：利用排列组合知识，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行求解解答过程：①将5封信投入3个邮筒，每封信均有3种选择，不同的投法共有种，①正确；②有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是，②错误；③从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法，③错误；④由题意可知，3个房间中的人数安排为，若甲单独住在一个房间，剩余4人平均分为两组，故共有种选择，若乙单独住在一个房间，同理，有种选择，若甲，乙均不单独住，则将3人中的两人分别与甲，乙分在一起，第3人单独住一间，有种选择，再分别安排到3个房间，故有种选择，则不同的住宿安排有种，④正确，正确的个数为2.8.某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率.解答过程：设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅，则,，则,故,,则，故选：B方法提示：关键点睛：解答本题的关键是要求出第2天去A，B餐厅的概率，继而结合全概率公式求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列关于的二项展开式，说法正确的是（）A.展开式共有10项 B.展开式的二项式系数之和为1024C.展开式的常数项为8064 D.展开式的第6项的二项式系数最大答案：BD解析：思路：由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确.解答过程：由题意可知，展开式共有11项，故A错误；展开式的二项式系数之和为，故B正确；展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项为，故C错误；当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确.故选：BD.10.某公司近5年的利润情况如下表所示：第年12345利润/亿元23457利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为，则（）A.变量与正相关 B.回归直线一定过点C. D.预测该公司第7年的利润约为9亿元答案：ACD解析：思路：根据回归方程判断与成正相关，即可判断A；求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，即可判断BC；令求出，即可预测第7年的利润，即可判断D.解答过程：因为回归直线方程为，且，所以与成正相关，故A正确；由题意可得：，，因为回归直线方程为必过样本中心点，故B错误；则，解得，故C正确；当时，，即该公司第7年的利润约为9亿元，故D正确.11.下列结论正确的有（）A.若数据，，…，的方差为9，则数据，，…，的方差为4B.若一组数据3，6，，，12的60%分位数为8，则，的值分别可能为7，9C.若，，，则D.在的展开式中，项的系数为3答案：BCD解析：思路：利用方差的线性变换性质判断A，根据60%分位数的定义和计算方法验证B，利用条件概率和独立事件的性质计算C，用二项式展开的通项公式求指定项系数D.解答过程：对于选项A，已知，，则，故A错误；对于选项B，数据共个，，因此60%分位数为第、个数的平均值，将数据从小到大排列后，第3、4个数的平均值为8，当时，数据排序后为3，6，7，9，12，此时第3、4个数的平均值为，满足条件，故B正确；对于选项C，因为，则，所以，即独立，，故C正确；对于选项D，展开式的通项为：，的通项为：，令，即，且.：系数，：系数，总系数为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_____________．答案：180解析：思路：将改写成，利用二项式的展开式的通项公式即可求出结果.解答过程：因为，其展开式的通项公式为，令，则，故答案为为：180.13.随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差且，则期望___________．答案：解析：思路：推导出，由方差，，列出方程组求出，由此能求出期望．解答过程：设群体的每位成员使用微信支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，则，方差，，，解得，期望．故答案为：414.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是________．答案：①②④.解析：思路：①根据古典概型概率公式结合组合知识可得结论；②根据二项分布的方差公式可得结果；③根据条件概率进行计算可得到第二次再次取到红球的概率；④根据对立事件的概率公式可得结果.解答过程：①从中任取3个球，恰有一个白球的概率是，故①正确；②从中有放回的取球次，每次任取一球，取到红球次数，其方差为，故②正确；③从中不放回的取球次，每次任取一球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有个红球个白球，则第二次再次取到红球的概率为，故③错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为，至少有一次取到红球的概率为，故④正确，故答案为①②④.方法提示：本题主要考查古典概型概率公式、对立事件及独立事件的概率及分二项分布与条件概率，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．（1）任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？答案：（1）21；（2）336；（3）146.解析：思路：(1)根据条件利用分类加法计数原理即可计算得解；(2)根据条件利用分步乘法计数原理即可计算得解；(3)先分三类，再将每一类分两步用分步乘法计数原理求出对应结果，然后将各类的计算结果相加即得.解答过程：（1）分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分类加法计数原理，知共有种不同的选法；（2）分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法；（3）分三类，每类又分两步：第一类，从高一，高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法，第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，第三类，从高二，高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，由分类加法计数原理，知共有种不同的选法．16.已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.（1）求的值；（2）求的值；（3）判断的展开式中第几项系数最大.答案：（1）（2）（3）第5项解析：思路：（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用赋值法计算即可求解；（2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值；（3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数；（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以，令，；（2）令，得.令，得，所以；（3）展开式的通项.由得因为为整数，所以，所以的展开式中第5项系数最大.17.某市开展“我心中的好老师”评选活动，现对评选出的五位候选人的工作年限和得票数进行了统计，得到如下数据：“我心中的好老师”编号12345工作年限/年4681012得票数/百张1020406050（1）若得票数与工作年限满足线性相关关系，试求经验回归方程，并就此估计“我心中的好老师”的工作年限为15年时的得票数；（2）若用表示统计数据时得票数的“即时均值”（四舍五入到整数），从5个“即时均值”中任选2个，求这2个数据之和小于8的概率.答案：（1），78（2）解析：思路：（1）先计算样本中心点x‾,y‾，再通过公式计算回归系数，进而求得截距，最后代入（2）先计算每个数据的“即时均值”并四舍五入取整，再用组合数计算从5个数据中任选2个的总情况数，最后找出和小于8的情况数，利用古典概型公式计算概率.（1）由题可得，则，.所以.当时，.（2）5个“即时均值”分别为3，3，5，6，4.从5个“即时均值”中任选2个，共有（种）情况，其中2个数据之和小于8的有，，共3种情况，所以这2个数据之和小于8的概率为.18.2021年3月北京市政府为做好“两会”接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为