2025-2026学年江苏省连云港市东海、灌云、惠泽三校联考高二下学期5月阶段检测数学试题-含解析

/江苏连云港市东海、灌云、惠泽三校2025-2026学年高二第二学期5月月考数学试题一、单选题1．已知全集为实数集，集合，则（

）A． B． C． D．2．假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布(单位：).在正常情况下，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于的概率为(

)(若，则，)A．0.0015 B． C．0.003 D．3．在中，为中点，为上一点，且的延长线与的交点为，则（

）A．若，则在上的投影向量为B．C．D．4．已知，则（

）A． B．10 C． D．455．已知事件，且，则（

）A． B．C． D．6．一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（

）A． B． C．63 D．67．已知球与棱长为的正方体的各面都相切，则平面截球所得的截面圆与球心所构成的圆锥的体积为A． B． C． D．8．某年级每天排节课：语､数､外､理､化门每天必排，另一门从政､史､地､生中任取门；每门课每天至少排节；上午节，下午节.某天，如果要求数学不排下午第节，语文和外语不连排（上午第节与下午第节不算连排），那么排法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种二、多选题9．设为不同的直线，为不同的平面，下列说法不正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则10．为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员在某城市测得样本数据如下表：车流量辆车流量辆合计4111合计1220附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0742.7063.8415.0246.6357.87910.828下列说法正确的是（

）A．该城市在车流量时的概率的估计值为B．统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染越无关联C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为车流量大小与空气污染有关联D．根据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染没有关联11．已知和所在的平面互相垂直，，且点到平面的距离为，则（

）A．三棱锥的体积为B．与所成角的大小为C．与平面所成角的大小为D．二面角的正切值为三、填空题12．已知为虚数单位，复数在复平面中对应的点的坐标为_________.13．二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为______.14．已知一个正三棱台的上､下底面的边长分别为，若一球可与该正三核台的各个面都相切，则该正三棱台的侧棱长为_________.（用表示）四、解答题15．已知数列的前项和为，且，．（1），求证数列是等比数列；（2）设，求证数列是等差数列；（3）求数列的通项公式及前项和．16．如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面平面，.点分别在棱上.(1)求证：；(2)当分别为棱的中点时，求证：点共面：(3)当时，试判断二面角的大小能否为？若能，请指出点的位置：若不能，请说明理由.17．已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设.(1)求椭圆的标准方程：(2)当取何值时，等于椭圆短轴的长；(3)过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值.18．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表：（年龄/岁）26273941495356586061（脂肪含量/\%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6(1)计算样本相关系数（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度；(2)若关于的线性回归方程为，求关于的线性回归方程（精确到0.01）.并回答以下问题：（i）计算当年龄为60岁时的残差；（ii）计算决定系数，并说明线性回归方程的拟合效果.附：参考数据：.参考公式：样本相关系数，在经验回归方程中，.19．已知函数.(1)证明：曲线在处的切线也为曲线的切线；(2)当，求证：；(3)已知袋中有编号为1到100的100个形状大小相同的小球，从中随机地连续抽取20次，每次取1个球，且每次抽取后都放回，设抽到的20个小球的号码互不相同的概率为.证明：.参考答案1．D【详解】由，则或，又，所以.2．B【详解】由食盐质量服从正态分布，得，，则.由，结合正态分布的对称性，得.两包食盐质量均大于515g为独立事件，故所求概率为.3．B【详解】对于A，取的中点为，则，故在上的投影向量为，而，故在上的投影向量为，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，因为三点共线，故存在实数，使得，而为共线向量，故存在实数，使得即，因为不共线，所以，故，故，故C错误；对于D，由C的分析可得，故，所以，所以，故D错误.4．A【详解】，.故选：A5．C【详解】选项D，由，故D错误；选项B，根据条件概率的对立事件性质得：，故B错误；选项C，因为，所以，故C正确；选项A，由，故A错误.6．A【详解】根据题意一次试验成功的概率为，∴次重复试验中成功次数服从二项分布，故，总得分，故，故选A．7．C【详解】因为球与棱长为的正方体的各面都相切所以球O为正方体的内切球，则球O的半径球心O到A的距离为底面为等边三角形，所以球心O到平面的距离为所以平面截球所得的截面圆的半径为所以圆锥的体积为所以选C8．B【详解】由题意得，特定门课的全排列总数为种，①数学排在下午第节，则剩下的门课全排列，排法数为种；②语文和外语连排，首先内部有种排列（语外或外语），由于上午第节和下午第节不算连排，因此连排的节次组合有，共种位置组合，剩下的门课全排列，则排法数：种；③数学在下午第节，且语文外语连排，数学固定在下午第节（第节），语文和外语连排，可能的连排位置组合有，共种位置组合，剩下的门课全排列，则排法数为种；因此符合条件的排法数为种；又因为第门课有种选择（政、史、地、生），且每种选择下的排列情况是相同的，因此总排法为种，故B正确.9．AB【详解】对于A，若，可能有，A错误；对于B，若，，与可能平行，可能相交也可能在内，B错误；对于C，设，在直线上任取一点，在平面内过作于点，在平面内过作于点，因为，所以，同理，而过空间一点作一个平面的垂线有且只有一条，所以与重合，且重合为与的交线，即直线，所以，C正确；对于D，，说明直线的方向向量是平面的法向量，直线的方向向量是平面的法向量，，则平面的法向量与平面的法向量垂直，因此两平面垂直，D正确.10．ACD【详解】先补全列联表：车流量1500辆且的频数为，车流量<1500辆且的频数为，车流量1500辆的合计频数为，的合计频数为.车流量辆车流量辆合计4111合计1220对于选项A，车流量1500辆时，的概率估计值为，A正确.对于选项B，统计量的值越大，说明车流量大小与空气污染的关联性越强，B错误.计算.对于选项C，，故在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为车流量大小与空气污染有关联，C正确.对于选项D，，故根据小概率值的独立性检验，认为车流量大小与空气污染没有关联，D正确.11．ABD【详解】如图所示，在平面内，过点作，垂足为，因为平面平面，且平面平面，所以平面，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，且，可得，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，因为点到平面的距离为，可得，解得，即，对于A，因为平面，且，由，所以三棱锥的体积为，所以A正确；对于B，因为平面，且平面，所以，由，可得，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，即，所以与所成角的大小为，所以B正确；对于C，因为平面，所以为与平面所成的角，在直角中，由，所以，即直线与平面所成的角为，所以C错误；对于D，过点作，垂足为，连接，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角中，，可得，在直角中，可得，设二面角的平面角为，则，所以，所以D正确.12．【详解】，故对应点的坐标为.13．【详解】因为二项式系数的和为，解得，所以二项式的展开式的通项为，其中当，3，6时为有理项.因为二项式的展开式中共有9项，所以全排列有种排法，其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻，可先将6项非有理项全排列，共种排法，然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中，共种插法，所以有理项都互不相邻的概率为.故答案为：14．【详解】正三棱台上､下底面的边长分别为，分别是上、下底面的中心，，，因为球与该正三核台的各个面都相切，所以棱台的斜高，在直角梯形中，侧棱.15．(1)见解析;(2)见解析;(3)【详解】（1）由题意，，，两式相减，得，，，又由题设，得，即，，∴是首项为3，公比为2的等比数列；（2）由（1）得，，，即．∴数列是首项为，公差为的等差数列；（3）解：由（2）得，，即，∴．则．16．(1)由平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因为平面，所以.(2)如图所示，取的中点，连接，由于是中点，是的中点，在正方形中，有且，所以四边形是平行四边形，所以且，又因为是的中点，是的中点，在平面中，有且，由于且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，即点共面.(3)不能，如图，作交于点，延长交于点，连接，由，，，平面，所以平面，又平面平面，则平面，又，所以是二面角的平面角，若，则是等腰直角三角形，，又，所以在中，由大角对大边可知，所以，这与相矛盾，所以二面角的大小不能为.【详解】（1）略.（2）略.（3）略.17．(1)；(2)或时，等于椭圆短轴的长；(3)由（2）知当时，，此时，，当时，记直线的斜率为，则，直线的斜率为，所以，所以，综上，为定值．【详解】（1）由题意，所以，所以，所以椭圆方程为；（2）当时，，因此，设直线的方程为，，椭圆短轴长为2，由得，恒成立且，，所以，由，解得，所以或；（3）略18．(1)，人体脂肪含量和年龄的相关程度很强(2)；（i）；（ii），线性回归方程的拟合效果很好【详解】（1），，，由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；（2）因为回归方程为，即，所以；所以y关于x的线性回归方程为，（i）将代入线性回归方程得，年龄为60岁时的残差；（ii）R2因为决定系数，所以线性回归方程的拟合效果很好.19．(1)由函数，可得，则且，所以曲线在处的切线方程为，即，又由函数，可得，设曲线的切点为，可得且，所以切线方程为，若该切线为，可得，解得或，当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即，综上可得，是在处的切线方程,也是在处的切线方程，所以，曲线在处的切线也为曲线的切线.(2)令，可得其定义域为，且