2025-2026学年江苏省南通市第二中学高二下学期6月阶段检测数学试题-含解析

/数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则整数x的值为（）A.2 B.3 C.1或2 D.2或33.以下求导运算错误的是（）A. B.C. D.4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.5.已知两个变量y与x对应关系如下表：x12345y5m8910.5若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（）A.y与x正相关 B.C.样本数据y的第60百分位数为8 D.各组数据的残差和为06.下列说法正确的有（）A.若随机变量，且，则B.若随机变量，则方差C.若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为D.若随机变量X的分布列为，则7.已知事件和相互独立，，，则（）A. B. C. D.8.用0，2，3，5，7，8可以组成多少个无重复数字的六位偶数（）A.360 B.312 C.606 D.322二、多选题9.已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A. B.的实部是4C.的共轭复数 D.在复平面上对应点在第二象限10.如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（）A.甲从M到达N处的走法种数为20B.甲从M必须经过到达N处的走法种数为9C.甲、乙能在处相遇的走法种数为36D.甲、乙能相遇的走法种数为16411.已知函数，则下列说法正确的是（）A.既有极大值又有极小值 B.当时，最大值为C.有三个零点 D.若且，则三、填空题12.已知复数（其中为虚数单位），则__________．13.2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________.14.若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________．四、解答题15.已知全集，集合，集合，其中．（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．16.若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求展开式中所有的有理项；17.已知函数．（1）求的极值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值；（3）若过点的直线与曲线相切，求的方程．18.如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由．19.某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：生产线检测结果合计合格优良甲生产线20180200乙生产线60240300合计80420500（1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？（2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品.（i）求抽出的产品是优良品的概率；（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.附：；0.10.010.0012.7066.63510.828

数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以.2.若，则整数x的值为（）A.2 B.3 C.1或2 D.2或3答案：D解析：解答过程：根据组合数性质：若，则或.已知，分两种情况：①，解得；②，即，解得.且组合数上标均满足，，均成立.3.以下求导运算错误的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：选项A，，故选项A错误；选项B，，故选项B正确；选项C，，故选项C正确；选项D，，故选项D正确.4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由已知，正态曲线的对称轴是，由，可得，根据正态分布的对称性即可求得答案.解答过程：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是，则，又，所以，所以，故选：A.5.已知两个变量y与x对应关系如下表：x12345y5m8910.5若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（）A.y与x正相关 B.C.样本数据y的第60百分位数为8 D.各组数据的残差和为0答案：AD解析：思路：利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.解答过程：由回归直线方程知：，所以y与x正相关，即A正确；由表格数据及回归方程易知，即B错误；易知，所以样本数据y的第60百分位数为，即C错误；由回归直线方程知时对应的预测值分别为，对应残差分别为，显然残差之和为0，即D正确.故选：AD6.下列说法正确的有（）A.若随机变量，且，则B.若随机变量，则方差C.若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为D.若随机变量X的分布列为，则答案：ABD解析：思路：由正态分布求解判断出选项A正确，由二项分布即可判断选项B正确，由超几何分布求解概率即可判断选项C错误，由概率分布列的性质求解判断选项D正确.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，至少有一名女生的概率，故C错误；对于D，，，，故D正确．故选：ABD.7.已知事件和相互独立，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用相互独立事件概率公式计算即可.解答过程：因为事件和相互独立，事件为和事件，则，所以，解得；故选：D8.用0，2，3，5，7，8可以组成多少个无重复数字的六位偶数（）A.360 B.312 C.606 D.322答案：B解析：思路：分别按照0排在个位和0不排在个位这两类讨论求解.解答过程：0排在个位的无重复数字的六位偶数有，0不排在个位的无重复数字的六位偶数有.故用0，2，3，5，7，8可以组成无重复数字的六位偶数的个数为，故选项B正确.二、多选题9.已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（）A. B.的实部是4C.的共轭复数 D.在复平面上对应点在第二象限答案：AD解析：解答过程：选项A，，A正确；选项B，的实部是，是虚部，B错误；选项C，的共轭复数，C错误；选项D，复平面中，对应点为，横坐标负、纵坐标正，对应点在第二象限，D正确.10.如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（）A.甲从M到达N处的走法种数为20B.甲从M必须经过到达N处的走法种数为9C.甲、乙能在处相遇的走法种数为36D.甲、乙能相遇的走法种数为164答案：ABD解析：思路：由到的最短路径需要走6格，其中向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，再根据各选项的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.解答过程：A选项：需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以甲从M到达N处的走法种数为，故A正确；B选项：甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，根据分步乘法计数原理得：甲从M必须经过到达N处的走法种数为9，故B正确；C选项：由图可知，甲走到处需要3步，且乙走到处需要3步，又因为，甲经过的走法种数为9，乙经过的走法种数为9，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误；D选项：甲，乙两人沿着最短路径行走，可能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，所以两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，所以两人在处相遇的走法有1种.根据分类加法计数原理得：甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.既有极大值又有极小值 B.当时，最大值为C.有三个零点 D.若且，则答案：AC解析：思路：根据题意，求导分析函数单调性，根据单调性确定极值，可判断AB，由零点存在定理可判断零点个数判断C，利用极值点偏移问题可证明判断D.解答过程：因为，所以.由；由或.所以函数在和上单调递减，在上单调递增.所以函数的极小值为：，极大值.故A正确，B错误；又，.所以在，和上各有1个零点，所以函数有3个零点，故C正确；对D：若，且，则，.设，.所以.所以，令，，，，所以在时单调递减，则，即，在时单调递增，，即，则在时单调递减，所以，即，又，所以，又，，，且在上单调递减，所以，故D错误；故选：AC.三、填空题12.已知复数（其中为虚数单位），则__________．答案：3解析：解答过程：，，，.13.2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军.假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________.答案：解析：思路：根据比分可知前三局输一局第四局胜，根据独立重复事件的概率公式求解.解答过程：中国队以获胜，则一共打了4局比赛，且第4局一定是中国队获胜.前3局比赛中，中国队恰好赢2局、输1局，已知每局中国队获胜概率为，输的概率为，每局比赛独立，概率为.14.若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________．答案：解析：思路：根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解.解答过程：函数在定义域为R，求导得，依题意，，即恒成立，而，则，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题15.已知全集，集合，集合，其中．（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．答案：（1）或（2）解析：思路：（1）由集合的并集与补集运算求解即可；（2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可.（1）当时，，所以，所以或.（2）因为“”是“”的必要条件，所以，当时，则，即，符合题意；当时，则，即；综上所述：a的取值范围.16.若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；（2）求展开式中所有的有理项；答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可；（2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可.（1）由题，可得，即，即，又，所以，令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为，故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.（2）因展开式的通项公式为，，当时，为整数，即，，，所以展开式的有理项为.17.已知函数．（1）求的极值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值；（3）若过点的直线与曲线相切，求的方程．答案：（1）的极大值为；的极小值为（2）（3）解析：思路：（1）利用导数研究单调性求极值即可求解；（2）由（1）的单调性求出函数的最值即可求解；（3）设切点，利用导数的几何意义求切线方程，代入，解出即可求解.（1）由题意得：，令，解得或，由有：或，由有：，所以在单调递减，在单调递增，所以的极大值为，的极小值为（2）由已知有：对任意，都有恒成立，由（1）有在单调递增，在单调递减，又，所以，所以，所以实数的最小值为；（3）设切点为，所以，，所以切线方程为：，所以，又切线过点，所以，化简整理有：，即，解得，所以直线的方程为：，所以直线的方程为：.18.如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由．答案：（1）因为平面，平面，且平面平面，根据线面平行的性质定理，可得：.（2）取的中点，连接.如图：因为是中点，所以是的中位线，得，且.由题设，结合（1）中，可得

且，因此四边形是平行四边形，得.又平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得：平面.（3）线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下：由，，可得且，因此四边形是平行四边形，得.又平面，平面，所以平面.结合（2）的结论平面，且，平面，根据面面平行的判定定理，可得平面平面.因为是上动点，平面，根据面面平行的性质，可得平面.因此，线段上存在点，当为中点时满足平面.解析：思路：（1）直接由线面平行的性质定理可得；（2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；（3）取的中