2025-2026学年江苏省南通市启东市第一中学高二下学期第二次素质检测数学试题-含解析

/数学（考试时间150分钟，试卷满分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列选项正确的是（）A. B.C. D.3.已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（）．A.4.5 B.5 C.5.5 D.64.已知随机变量服从正态分布，若，则实数（）A.－2 B.1 C.2 D.35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（）A. B.1 C.2 D.6.从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）A.48 B.60 C.72 D.1007.某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（）A.0.30 B.0.26 C.0.24 D.0.208.若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（）A. B.C. D.10.设函数，则（）A. B.C. D.11.已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（）A.若是棱的中点，则平面B.点到直线的距离的最小值为C.棱上存在点，使得D.若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.写出命题“”的否定：_____.13.已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____．14.随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.设函数（1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数；（2）当时，求表达式的展开式中的常数项．16.实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下：x1012141618y87654（1）求相关系数r，并说明其意义；（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数）（参考数据：，，，，）（参考公式：，）17.甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响.（1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望；（2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率.18.如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点．（1）若、分别为棱，的中点，证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若是的极小值点，求实数的取值范围；（3）当时，若，求实数的最大值．

数学（考试时间150分钟，试卷满分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：由已知可得，，在复平面内对应点为，位于第四象限．2.下列选项正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD.解答过程：对于A，因为，所以，错误；对于B，因为，所以，错误；对于C，因为，所以，错误；对于D，因为，所以，正确.故选：D3.已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（）．A.4.5 B.5 C.5.5 D.6答案：D解析：解答过程：已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则，解得.将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据，由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6.4.已知随机变量服从正态分布，若，则实数（）A.－2 B.1 C.2 D.3答案：D解析：思路：根据正态分布的对称性可求实数的值.解答过程：因为，故，故，故选：D.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（）A. B.1 C.2 D.答案：B解析：思路：利用圆柱的侧面积公式和圆锥的侧面积公式可求母线长之比.解答过程：设圆柱的母线长为，圆锥的母线长为，它们底面半径为，由题意得，，故.故选：B.6.从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）A.48 B.60 C.72 D.100答案：A解析：思路：由分步乘法计算原理可求.解答过程：根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排，所以组成无重复数字的三位数的个数为.故选：A.7.某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（）A.0.30 B.0.26 C.0.24 D.0.20答案：B解析：思路：利用全概率公式进行计算即可.解答过程：利用全概率公式计算，即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是，故选：B.8.若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设圆锥的半径为，则高为12−r2所以该圆锥的体积为V=令12−r2=因为，所以，所以，令f(所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以f(所以.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D.解答过程：利用全概率公式计算：，故A正确；由，，而，故B错误；由，故C正确；由，故D正确；故选：ACD10.设函数，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：求导研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可判断AB，举反例判断C，按照、和分类讨论的符号即可判断D.解答过程：设，则，令，即，解得，当时，，即函数单调递增，当时，，即函数单调递减，因为，所以，故A正确；因为，所以，又，且，所以，所以，故B正确；当时，，故选项C错误；，当时，，当时，，所以，当时，，所以，综上，，故D正确.故选：ABD11.已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（）A.若是棱的中点，则平面B.点到直线的距离的最小值为C.棱上存在点，使得D.若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为答案：ACD解析：思路：对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值.解答过程：如图，设的中点为，连接，是中点，，且，对于A，若是中点，，且，，且，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，故A正确；根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系，设，，，，所以点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为，故B错误；对于C，，所以，则，当时，，即，所以棱上存在点，使得，故C正确；对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心，所以，又正方体外接球半径，所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.写出命题“”的否定：_____.答案：解析：思路：根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题.解答过程：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“”的否定是故答案为：13.已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____．答案：4解析：思路：由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可.解答过程：因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面，则，即，，当时，，所以，即，且，此时为梯形，所以.故答案为：4.14.随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________．答案：①.4②.##0.75解析：思路：根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解.解答过程：由，得，，又，因此；又，，则，解得，而，所以当时，.故答案为：4；四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.设函数（1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数；（2）当时，求表达式的展开式中的常数项．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求出的通项，然后令即可求解项的系数；（2）先求出的通项，然后令即可求解常数项.（1）当时，，其展开式通项为，令，得，所以展开式中含有项的系数为．（2）当时，，的展开式通项为，令，得，所以展开式中的常数项为．16.实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下：x1012141618y87654（1）求相关系数r，并说明其意义；（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数）（参考数据：，，，，）（参考公式：，）答案：（1），与完全负相关（2）（3）16元解析：（1），，故，故与完全负相关．（2），故，回归方程为．（3）由题设，此时，故，故定价最高为16元．17.甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响.（1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望；（2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率.答案：（1）分布列见解析，.（2）解析：思路：（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1，3由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解；（2）利用对立事件的概率计算方法，求出总分小于3分的概率，计算即可得出结果.（1）的可能取值为，，...所以得分的概率分布列为：数学期望.（2）至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2.总分得0分的概率为：总分得1分的概率为：总分得2分的概率为：所以总分小于3分的概率为：所以至少得3分的概率：18.如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点．（1）若、分别为棱，的中点，证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值.（3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值；法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值．（1）取的中点，连接，因为、分别为棱，的中点，所以，因为平面平面，所以平面，同理平面，因为平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）由题意中平面得两两垂直，以为正交基底建立空间直角坐标系，则因为，所以，所以．设平面的一个法向量，则，不妨设，则，即：，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．（3）法一：设点到平面（也即平面）的距离为，三棱锥体积为，则，由（2）可知平面的一个法向量，点到平面距离，因为，所以点到平面距离．，所以，即为直角三角形，所