复数的三角表示（基础练）原卷版

第七章复数

7.3.1复数的三角表示式（基础练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.已知i为虚数单位，复数z=sin―—icos—,则z在复平面内对应的点位于（）

66

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.将更数4cos（一卦isin昌化成代数形式，正确的是（）

A.4B.-4C.4zD.-4/

3.复数sin45—icos45的辐角主值是（）

A.45°B.135°C.225°D.315

4.复数-正+上，表示成三角形式正确的是()

22

,re..万

A.cos—+zsin—B.cos—+/sin—

6666

5期..54

C.cos-----1-isin—Dn.-cos—乃+.zs.in)—

6666

5.复数马=1,Z2由向量绕原点。逆时针方向旋转;而得到.则arg（二片）的值为

()

TC4乃

AB.—

-i3

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.已知亚数z=cose+isin〃（-2＜夕〈三）（其中i为虚数单位），下列说法正确的是（）

22

A.更数z在复平面.上对应的点可能落在笫二象限

B.z可能为实数

C.|z|=l

D.4的虚部为sin0

Z

7.下列复数不悬三角形式的是（）

J71..7l\c冗、.、兀

A.2cos---1sin—B.2cos—+/sin—

I33JI36

J7t..D.2fcos^/sin^

C.-2cos—+zsin—+

I33)I55)

8.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式

eix=cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天诉”.

根据此公式，则下列四个结论正确的是()

/可\2019

A.el5T+1=0：B.—i=-1

\22/

B.C.2cosx=eu+e^：D.2sinx=eLv-e-h.

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.若i为虚数单位，复数z=cos/-isin丝的共扼复数是5,则复数”在复平面内对应的

33

点位于第象限

10.复数z=-l+的三角形式为_____________,辐角主值为一

11.欧拉公式优=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数

函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，

而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,

*表示的复数在复平面中位于第一象限.

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.（1）把下列复数的代数形式化成三角形式.

①3-6；②e-

（2）把下列复数的三角形式化成代数形式.

①4cos—+isin-1；®3[cos—+isin—.

3）144,

7—11fZ-1i7T

13.若复数z满足——=-,arg——=-,则求z的代数形式.

z2\z)5

14.把复数办与z?对应的向量OAO8分别按逆时针方向旋转二和红后，重合于向量OM

43

且模相等，已知Z2=-l-6"则求复数4的代数式和它的辐角主值.

A级必备知识基础练

L［探究点一］复数.十

Ti的三角形式是（)

A.cos600+isin60°B.-cos600+isin600

C.cos120°+isin60°D.cos120°+isin120°

2」探究点一］已知z=cos3+isin3,则下列结论正确的是（

A/的实部为1B.z2=z-1

C.z2=D.|z2|=2

3」探究点一］复数cosTsin，的辐角主值是()

R3itBn7w

A.4BJC.4D.4

4」探究点二］复数cos：+isin［经过〃次乘方后，所得的复数等于

它的共甄复数，则〃的值等于()

A.3B.12

C.6匕1(Z£Z)D.6Z+1(〃£Z)

5」探究点二］［2(cos60°+isin60°)］3=.

6.［探究点三］计算(cos7r+isin7t)4-(cos3+isin3)=.

7［探究点一］已知复数zi=+i,若复数z满足2iz=zi,则复数

z的辐角主值为.

8.［探究点二］已知zi二；(c°S；+isi“；),Z2=6(cos6+isin6),计算

ZIZ2,并说明其几何意义.

9」探究点一、三］已知复数z=r(cos夕+isin求二的三角形

式.

B级关键能力提升练

n

io.若复数J3第为实数，则正整数〃的最小值是（

)

A.lB.2C.3D.4

*«

11.复数z二cos】£+isin”是方程r+0=0的一个根，那么a的值为

（）

々J1.V3

A-十.•n-十一♦

A.221B.221

12.计算:z=2/2（cos&十isim）］=，则|z|=.

13.莱昂哈德・欧拉发现并证明了欧拉公式，=cos夕+isin”从

而建立了三角函数和指数函数的关系若将其中的。取作兀就

得到了欧拉恒等式e-+l=0,它是数学里令人着迷的一个公式,

它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数（自然对数

的底数e,圆周率兀），两个单位（虚数单位i,自然数单位1）以及

0.请你根据欧拉公式：eM=cos9+isin仇解决以下问题：

W.

（1）试将复数由1写成〃+药（。/£R,i是虚数单位）的形式；

⑵试求复数的模.

14.计算下列各式的值：

1^3nn

⑴(二+Ti)・12(cos3+isirp)];

(2)3(cos63°+isin63°)-2(cos99°+isin99°)-5(cos108°+isin

108°).

15.求证：

।cos3fi>ism3^{C<M笛

仞，=cos9-isin0.

16.设z\=V3+i,Z2=1・i,Z3=sin，+icos^，求F务的值.

c级学科素养创新练

17.设A,B,C是3c的内角,z=(cosA+isinA)：(cosB+isin

B)・(cosC+isinO是一个实数，则XABC是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.形状不能确定

18.已知k是实数，①是非零复数，且满足arg

和一

60=*,(1+0")2+(l+i)2=l+k(D.

⑴求①;

(2)设z=cos夕+isin。，夕£[0,2兀),若|z■①|=1+&,求6的值.

参考答案

1+—

1.D令z=-2:i=a+bi(a,bWR),z的模是r,z的辐角是H,则

百卜。中=>・]

>T4bV31.*1

尸忆|=1,“二力=151n=二二丁...可取。=120°...・二？i的三角形式是cos120°+isin

120°.

"nl,b1.VIx13,V31.X

T一—一十—z，一+]—一—+一+—二

2.Bz=cos3+isin322i.z2=2:i)2=442i=-2?i,其实部为-二故A错

±+巨Z=l-^/£\/A

误;Z-l=-2%=/,故B正确；2?i*,故C错误;国=(-'}+(2)2=]，故口错误故

选B.

二n五67・7・

3.D复数cos-is"22i=cos4+isin4,

nti7w

所以复数cos.-isin"的辐角主值是'.故选D.

Gt!EEt!ft

4.C由题意，得cos石+isin。)"=cos34-isin3=cosLisin'由复数相等的定义，得

T解得3=2E?(k£Z),/.〃=6h1(A£Z).

5.-8A.=23[cos(60°x3)+isin(60°x3)]=8(cos180°+isin180°)=-8.

外n2w2w1.V1

(cos71+isinTI)4-(cos3+isin3)=cos3+isin3=-?工

7.3因为zi=-W+i,2iz=zi,

•百七_3TH)GO_1十巨二2

所以z=21的)22i=cos3+isin3,

所以复数Z的辐角主值为3.

-「(-+-)d+31(cosr+isin-J]

8.解ZIZ2=»6XLeos"6+isin</J=3=3i.

______5

首先作复数zi对应的向量0Z1,然后将oz】绕点。按逆时针方向旋转工再将其长度伸长为

原来的6倍，得到的向量即为Z|Z2所对应向量.

1(co»00-Hiin0^11

-=------------------="-

9解二"皿"皿②bos(O0-O)+isin(O°-0)]=r[cos(-O)+isin(-O)L

l-H21

10.B因为，所以由题意知i"为实数，所以正整数n的最小

值为2.

n贡

11.D因为z=cos"+isii产是方程f+aR的一个根,

wKnti

所以a=-x5=-cos13+isin1,:,5=-cos3-isin3

nn

12.26-2i6

4Z=2-rCOS+isinW)=2(cosO+isin

rntr

cos^isin^)]=4.cos-6)+isin(「)_|=2V^-2i,

OHL

则.2包」(26"3=、'.

13.解(1)根据欧拉公式可得

(2)由题意可知

因此,

coSW)J=(

14.解(1)+1S1I1=2(cos兀+isin

TC)=-2.

(2)3(cos630+isin630)-2(cos99°+isin99°)-5(cos1080+isin108°)=30(cos270°+isin

270°)=-30i.

15.证明左边=-a露

(co»239-Hiin23f)

叽cos(劭+isin(M

=cos6-isin。=右边.

重fl

16