2026年高考数学复习训练第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（学生版+解析）

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（举一反三综合训练）

（全国通用）

（考试时间：120分钟；满分：15（）分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、挂考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025・四川成都•一模）在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加

志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一天，则甲不在相邻两天的安排方法有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

2.（5分）（2025•浙江金华•一模）已知随机变量X〜N（2R2）,且P（X<0）=0.3,贝l」P（0<X<4）的值为

（）

A.0.2B.0.4C.0.7D.0.35

3.（5分）（2025•江西•模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有60%

的学生牙齿健康，大约有30%的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有70%的学生牙齿健康.现

从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（）

A.巴B.2C.空D.2

70703535

4.（5分）（2025・湖南永州•模拟预测）（/-%-2y）5的展开式中，％5y2的系数为（）

A.80B.40C.-60D.-120

5.（5分）（2025・湖北武汉•三模）如图，某社区为墙面力、B、C、0四块区域宣传标语进行涂色装饰，每

个区域涂--种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜

色的涂法有（）

AB

CD

A.12种B.24种C.48种D.144种

6.（5分）（2025•广东佛山•模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国占代的数学成就，先后去图书

馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》和《张丘建算经》，

该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）.则最先借阅的两

本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（）

A.上B.2C.空D.工

1512512S30

7.（5分）（2025•湖南长沙•三模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为90%,从该群体中随

机抽取io人，设这io人中持满意态度的人数为x,随机变量y=2x+3,则。（y）=（）

A.1.8B.3.6C.4.2D,4.8

8.（5分）（2025•全国•模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对

的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.若选项中有i（其中i=2,3,4）个选项符合题目要求，记

随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量&（i=2,3,4）,则（）

A.2E«3）>4F«2）>E«4）

B.4E&）>以&）>2Ea）

C.2E«3）>E（f4）>4E«2）

D.4E&）>2E&）>E（G）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（6分）（2025•浙江杭州•一模）在（2%+55的展开式中，（）

A.常数项为20

B.含％的项的系数为80

C.各项系数的和为32

D.各项系数中的最大值为80

10.（6分）（2025・湖南长沙•三模）设两个随机变量X、V满足X服从正态分布N（0,l）,丫服从二项分布8（2；）,

则（）（若随机变量Z〜N（〃,02）,。（〃一^0.6826）

A.E(X)<E(r)B.o(x)vo(y)

C.P(X<0)>P(Y<0)D.P(X<1)>P(Y<1)

II.（6分）（2025・四川成都•一模）眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件4）和“老

花”（设为事件8）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设PQ4）=5P（8）=g,P：B\A）=l，

则（）

A.A与8互为对立B.A与8相互独立

C.PQ4+8）=P（亘）D.P（A\B）=P（A\B）

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2025・湖南永州•模拟预测）将6个不同的球分给3个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），

则不同的分配方法的种数为.

13.（5分）（2025•甘肃甘南•模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜.甲、

乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为:各局比赛结果相

互独立.已知前两局比赛中，甲、乙各胜I局，则最终乙获胜的概率为.

14.（5分）（24-25高二下•河北衡水•阶段练习）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.

一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.

李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,且每次考试是否通过相互独立，则

李明在一年内参加考试次数X的期望为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

223

15.（13分）（2025•福建泉州•二模）（1）已知（4/-4x+I）=的+的（％+1）+a2（x+I）+a3（x4-1）4-

4

a4（x+l）,求%+电++。4的值;

（2）解不等式：3AJ<2AMi+6A]

16.（15分）（2025・江苏盐城・三模）（1）计算：禺+禺+熊+%

（2）利用0,1,2,4,5,7这六个数字，组成无重复数字的三，立数，其中奇数有多少个？

（3）甲乙丙丁戊五个同学，分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法?

17.（15分）（2025•全国•模拟预测）随着郑钦文获得2024年巳黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀

起网球热.某小区举行“贺岁杯叫M球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势

为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军.已知甲胜乙、丙的概率均为不乙胜丁的概率为|,甲

胜丁的概率为：，且各场比赛的结果相互独立.

（1）求甲获得冠军的概率；

（2）如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先嬴三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜

的概率为泉求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率.

18.（17分）（2025・山东•一模）某工厂的某生产车间2020年至2024年生产的年利润y（百万元），统计

数据如表所示：

年份20202021202220232024

年份代号X12345

年利润y2.83.43.64.44.8

（1）已知变量％y具有线性相关关系，求年利润y（百万元）关于年份代号》的经验回归方程y=+K并预

测2025年该车间的年利润；

（2）已知该工厂共有6个车间，根据每个车间的年利润分为“A类车间”和“8类车间”两类，其中“力类车间”4个,

“B类车间”2个，现从这6个车间中任取3个车间，记随机变量1为“力类车间''的个数，求X的分布列及其数

学期望.

£%々/-的(々一元)(乂一刃

参考公式:c__X%

-2Mxi)2一-er)2'a=y-bx.

19.(17分)(2。25•陕西商洛•模拟预测)在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重

要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高.为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某

品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其

满意度评分X(单位：分，总分100分)制作了如下的频数分布表：

满意度评分X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数101520301510

(1)计算满意度评分X的样本平均数元和样本中位数；(每组数据以该组区间的中点值为代表)

(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分X近似地服从正态分布

NS，，)，其中〃近似为样本平均数元。近似为样本的标准差s,并求得S、14.31.若该市恰有I万名该品牌

的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间(41.88,84.81］的人数；

(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌45店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如

下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球(形状、大小、质地完全相同)的抽奖箱

里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还100()元现金，其

余恃况不返还任何现金(两次抽奖返现金额叠加).已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为匕求随

机变量丫的分布列和数学期望.

参考数据：若随机变量X〜NR,/),则P(〃一。VXW〃+(T),0.6827,P(〃-2(TVXW〃+2(7)、

0.9545,P(〃-3(T<X</z+3a)«0.9973.

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（举一反三综合训练）

（全国通用）

（考试时间：120分钟;满分：15（）分）

注意事项：

1.本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、往考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对•应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2025・四川成都•一模）在连续五天时间里，甲、乙、丙、丁四名同学分别到夕阳红敬老院参加

志愿者活动，每天一人，其中甲参加两天，其余三人各参加一-天，则甲不在相邻两天的安排方法有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

【答案】B

【解题思路】先安排乙、丙、丁三名同学，再用插空法排甲最后可计算所有排法.

【解答过程】先排乙、丙、丁三名同学共有=3x2x1=6种排法；

再从三人所产生的四个空中选两个空给甲，有第=笠=6种方法：

所以共有A恭第=6x6=36种安排方法.

故选：B.

2.（5分）（2025•浙江金华•一模）已知随机变量X〜N（2,d）,且P（X<0）=0.3,贝”（0<X<4）的值为

（）

A.0.2B.0.4C.0.7D.0.35

【答案】B

【解题思路】利用正态分布曲线的对称性求概率即可.

【解答过程】由题设P（X<2）=0.5,且P（X<0）=0.3,则P（0<XV2）=0.2,

由正态分布曲线关于X=2对称,则P（0<X<4）=0.4.

故选：B.

3.（5分）（2025•江西•模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有60%

的学生牙齿健康，大约有30%的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有70%的学生牙齿健康.现

从不是早晚都刷牙的学生中任意调杳一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（）

【答案】A

【解题思路】设出事件，利用全概率公式和条件概率公式进行求解.

【解答过程】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占60%-30%x70%=39%.

记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A,“该学生牙齿健康”为事件B,

则。（力）=1-0.3=0.7,P（AB）=0.39,所以P（B|A）==翳二祭

故选；A.

4.（5分）（2025・湖南永州•模拟预测）（/-x-2y）5的展开式中，好r的系数为（）

A.80B.40C.-60D.-120

【答案】D

【解题思路】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解.

【解答过程】S个因式，2个因式中取/，1个因式中取-x.2个因式中取一2y,

即可得出含%5y2的项,其为C式%2）2.Cj（-x）-C1（-2y）2=一120%5y2,

故%Sy2的系数为一"（I

故选：D.

5.（5分）（2025・湖北武汉•三模）如图，某社区为墙面4、B、C、。四块区域宣传标语进行涂色装饰，每

个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜

色的涂法有（）

AB

CD

A.12种B.24种C.48种D.144种

【答案】C

【解题思路】由题，三种颜色的涂法有两种，即A与。同色或8与C同色，由“数原理列式求解.

【解答过程】三种颜色的涂法有两种，即?!与0同色或8与C同色，

所以恰好使用3种颜色的涂法有底•（Ag+Al）=48种.

故选：C.

6.（5分）（2025•广东佛山•模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书

馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》和《张丘建算经》，

该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（己借阅的不会重复借阅）.则最先借阅的两

本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（）

A.上B.&C.2D.工

1512512530

【答案】D

【解题思路】由古典概率的计算公式求解即可.

【解答过程】所有可能的借阅顺序总数为：A1=5x4x3x2xl=120,

最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》，

所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有2种情况，

最后一本已经确定是《孙子算经》，中间2本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有2种情况，

设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件力，

则PQ4）=咨=工，

故选：D.

7.（5分）（2025•湖南长沙•三模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为90%,从该群体中随

机抽取io人，设这io人中持满意态度的人数为x,随机变量y=2x+3,则。（匕）=（）

A.1.8B.3.6C.4.2D.4.8

【答案】B

【解题思路】判断出随机变量X服从二项分布，利用二项分布的方差公式求出O（X）.然后，根据随机变量丫=

2X+3,依据随机变量线性变换后的方差性质。（。》+8）=。2。/）（其中0、匕为常数），求出。«）.

【解答过程】已知从群体中随机抽取10人，对某活动持满意态度的人数比例为90%=0.9,

设这10人中持满意态度的人数为X,那么X服从参数为九=10（试验次数），p=0.9（每次试验成功的概

率）的二项分布，即X〜3（10,0.9）.

对于二项分布X〜8（九,p）,其方差公式为D（X）=np（l-p）.

将=10,p=0.9代入公式可得：D（X）=10x0.9x（l-0.9）=10x0.9x0.1=0.9.

已知随机变量y=2X+3,根据随机变量线性变换后的方差性质。(ax+b)=Q2O(X),

所以。(V)=D(2X+3)=22/)(X).由前面已求得。(X)=0.9,则D(Y)=4x0.9=3.6.

所以。①)=3.6.

故选：B.

8.(5分)(2025•全国•模拟预测)已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对

的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.若选项中有i(其中i=2,3,4)个选项符合题目要求，记

随机作答该题时(至少选择一个选项)所得的分数为随机变量&(i=2,3,4),则()

A.2E&)>4E⑥)>£(4)

B.4E&)>E&)>2Ed)

C.2E&)>E&)>4E&)

D.4E&)>2E&)>E(&)

【答案】D

【解题思路】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有24-1=15(种)可能，根据期望的定义分别求

E(《3)，E&)，E(f4)，进而分析判断.

【解答过程】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有24-1=15(种)可能，

因为$可取。，2,5,

且P&=5)=P&=2)=亲=卷,P(G=0)=1-管=%

所以E&)=答，

又因为心可取。，2,5,

且t&=5)=3/&=2)=警="&=0)=1_誉=*

所以E«3)=等=某

而§4可取2,5,且P(n=5)=高则P(&=2)=1-2=v，

所以玖&)=等=工；

即4E&)=9,2E(f3)=青所以4E&)>2£&)>E(&)，故D正确.

OXD

故选:D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2025•浙江杭州•一模)在(2%+^)的展开式中，()

A.常数项为20

B.含％的项的系数为80

C.各项系数的和为32

D.各项系数中的最大值为80

【答案】BD

【解题思路】根据二项式展开式的通项特征即可求解AB,根据二项式系数的定义可求解C,求出展开式的

prn5-r>pr-1n6-r

{荔Y求解即可判断D。

【解答过程】2x和;只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，放A不正确;

含I的项为废仁无尸6了=80%,故x的系数是8(),所以B正确；

各项系数的和是令％=1时得到，即3$,故C错误.

5r52r

(2'+：)5的展开式的通项公式为：Tr+1=CW(2x)5-r(%T)r=Cl2-X-f

设第r+1项的系数最大，系数为铲工则{嚣二邕:「

解得：〃=1或丁=2,此时系数为玛24=第23=80,故D正确；

故选：BD.

10.(6分)(2025•湖南长沙•三模)设两个随机变量X、丫满足X服从正态分布N(0,l),丫服从二项分布B(2,；),

则()(若随机变量Z〜PQ-。wz工〃一O)《0.6826)

A.E(X)<E(Y)B.D(X)<D(Y)

C.P(X<0)>P(Y<0)D.P(X<1)>P(K<1)

【答案】ACD

【解题思路】根据二项分布和正态分布的概率公式、期望与方差公式及正态分布的对称性，依次判断各选项

即可.

【解答过程】对于A,E(X)=0,E(r)=2x1=1,E(X)<E(r),A正确；

对于B,D(X)=1,D(r)=2x-x-=i,D(X)>O(V),B错误；

222

对于C,P(X<0)=0.5,P(r<0)=C^Q)2=0.25,P(X<0)>P(Y<0),C正确；

22

对于D,P(X41)=0.5+0.6826+2=0.8413,P(Y<1)=C?Q)+G=0.75,

p（x<i）>p（r<i）,D正确.

故选：ACD.

11.（6分）（2025・四川成都•一模）眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始.“近视”（设为事件A）和“老

花”（设为事件8）是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素.设PQ4）=}P（B）=§P®4）=全

则（）

A.A与8互为对立B.4与8相互独立

C.P（A+5）=P（B）D.P（川B）=P（4历）

【答案】BCD

【解题思路】根据对立事件及独立事件定义判断A,B,应用条件概率公式判断D,应用概率基本性质判断C

即可.

【解答过程】因为PQ0=%P⑻，P（即4）=泉

则P（月历）=2罂=§所以P（月4）=：，

所以P（4）-P（月4）=P（4B）贝必与B不对立，故A错误；

236

得到P（4B）=PG4）P（8）,4与8相互独立,故B正确；

而P（A+8）=P（/l）+P⑻-P（AB）=：+：_：=；,尸⑸=1-P⑻=1_：=：,故PQ4+8）=P⑸,故

236333

CF确;

121

需

幽

-1-一-1

6pZA⑶一33

-(-=

。⑷B）=需1-£)2一

2K2

--

33

所以P（4|B）=P（川8）,故D正确:

故选：BCD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2025.湖南永州.模拟预测）将6个不同的球分给3个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），

则不同的分配方法的种数为.

【答案】540

【解题思路】对每组的球的数量进行分类讨论，按照先分组再分配原则计算出每种情况下不同的分配方法种

数，综合可得结果.

【解答过程】先给不同的6个球分成三组，不同的分组方式如下:

第一种情况，一组1个、一组2个、一组3个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则,

分配给不同的3个盒子，则不同的分配方法种数为屐第瑶AW=360种；

第二种情况，一组1个、一组1个、一组4个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则,

分配给不同的3个盒子,则不同的分配方法种数为啜=9。种;

第三种情况，一组2个、一组2个、一组2个.此为平均分组，遵循先分组再分配原则,

分配给不同的3个盒子,则不同的分配方法种数为警=9。种.

综上所述，不同的分配方法种数为360+90x2=540种.

故答案为：540.

13.（5分）（2025•甘肃甘南•模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜.甲、

乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为|，乙在每局比赛中获胜的概率为|,各局比赛结果相

互独立.已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为.

【答案】/

【解题思路】讨论｛第3局乙负，第4,5局乙胜）、｛第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜｝、（第3,4局乙

胜｝三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可;

【解答过程】乙最后的胜利包含三种情况:

一是第3局乙负，第4,5局乙胜，此时乙胜的概率为高；

O3DJLO

二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为=

三是第3,4局乙胜，此时乙胜的概率为:x5=^.

乙获胜的概率为2+”+2一篇.

故答案为：我.

14.（5分）（24-25高二下•河北衡水•阶段练习）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.

一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会.

李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,且每次考试是否通过相互独立，则

李明在一年内参加考试次数X的期望为.

【答案】1.52

【解题思路】根据题意，X的取值分别为1,2,3,分别求出P(X=1),P(X=2),P(X=3),由此能求出

李明参加考试次数的分布列.

【解答过程】由题意，X的取值分别为1,2,3.

P(X=1)=06P(X=2)=(1-0.6)x0.7=0.28,P(X=3)=(1-0.6)x(1-0.7)=0.12.

，李明参加考试次数X的分布列为：

X123

P0.60.280.12

E(X)=1X0.6+2X0.28+3x0.12=1.52.

故答案为:1.52.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

223

15.(13分)(2025•福建泉州•二模)(1)己知(4/—4x4-1)=a0+a,(x+1)+a2(x+l)4-a3(x+l)+

4

a4(x+l),求处+做+的值；

(2)解不等式：3Ag<2A，i4-6AJ.

【答案】(1)-80；⑵x=3或4

【解题思路】(1)令X=0可得出的+%+。2+。3+的值，令％=-1可得出的值，即可得出。1+。2+

+%的值；

(2)由题意可得出工之3,利用排列数公式可得出关于的不等式，解出工的范围，结合％二3,父WN*,可得

出％的值.

4234

【解答过程】(1)由题意得(2x-I)=a0+a^x+1)+a2a+l)+Q3a+I)+a4(x+l),

423

在[2(%4-1)—3]=a0+at(x+1)+a2(x+l)+a3(x+l)+a4(x+1)，中，

令x=0,得(2—3)4=a。+=1，

4

令x=-1得(0-3)=a0=81,

所以+。2+。3+。4=(ao+Q1+。2+。3+。4)一的=1-81=-80；

(2)因为3A£V2A"i+6A"可知x23,且3H<2>2+6H,

"x+lx(X-3)!(x-1)!(x-2)»

整理可得37-17x+10<0,解得:<x<5,

因为力Z3,xEN\所以％=3或4.

16.(15分)(2025・江苏盐城•三模)(1)计算：CJ十最十a+C)

（2）利用0,I,2,4,5,7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？

（3）甲乙丙丁戊五个同学，分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有多少种不同分配方法？

【答案】（1）35；（2）48；（3）150

【解题思路】（1）根据组合数的性质求解即可；

（2）分不选0和选。两种情况，结合分类加法和分步乘法原理求解；

（3）把5人按1,1,3或2,2,1分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可求解.

【解答过程】（1）废+禺+髭+底=C：+C；+髭+总=玛+熊+廉=髭+以=35；

（2）不选。时，先从1,5,7中选一个数放在个位，

然后剩下的4个数中选2个排在十位和百位，则有&A?=36个奇数；

选0时，先把0放在十位，然后从1,5,7中选一个数放在个位，

再从剩下的4个数中选1个放百位，则有玛禺=12个奇数；

所以共有36+12=48个奇数；

（3）由题意，先把5人按1,1,3分组，有髭种分组方法，

按2,2,1分组，有饕种分组方法，因此不同分组方法数为髭+要，

再把每一种分组安排到三个城市，有AW种方法，

所以不同分配方法种数是（髭+鬻）A』=（10+15）X6=150.

17.（15分）（2025.全国.模拟预测）随若郑钦文获得2024年巳黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀

起网球热.某小区举行“贺岁杯''网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势

为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军.已知甲胜乙、丙的概率均为M乙胜丁的概率为:甲

胜丁的概率为:，且各场比赛的结果相互独立.

4

（1）求甲获得冠军的概率：

（2）如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先嬴三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜

的概率为|.求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率.

【答案】（底

【解题思路】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式列式计算.

<2）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率求出条件概率.

【解答过程】(1)设/=“甲胜丙”；8="乙胜丁”；。=“甲胜乙”；0=“甲胜丁”；£<="甲获得冠军”,

则P(/l)=|,P(B)=g,P(C)=g,P(D)=%

P(£)=PG48c+ABD)=-x-x-+-x-x-=-+-=-,

V,'7353354IS515

所以甲获得冠军的概率是高

(2)记?=”决赛中甲获胜“，G二"比赛打满5盘”，

甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜''三种情况.

因此P(F)=(1)3+C洎2x|x1+鬣(|)2XG)2X|=*，P(FG)=鬣(|)2X©2X|=碧，

因此P(G|F)=^=*=%所以在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率为%

18.(17分)(2025•山东•一模)某工厂的某生产车间2020年至2024年生产的年利润y(百万元)，统计

数据如表所示：

年份20202021202220232024

年份代号工I2345

年利润y2.83.43.64.44.8

(1)已知变量％y具有线性相关关系，求年利润y(百万元)关于年份代号工的经验回归方程y=/x+：,并预

测2025年该车间的年利润；

(2)已知该工厂共有6个车间，根据每个车间的年利润分为2类车间”和“8类车间”两类，其中“4类车间”4个,

“B类车间”2个，现从这6个车间中任取3个车间，记随机变量X为2类车间”的个数，求X的分布列及其数

学期望.

.考"."豆①-〃⑸2一毙式—)2'QTbx.

【答案】(1)9=0.5K+2.3,5.3百万元.

⑵分布列见解析，2

【解题思路】(1)由最小二乘法口】可求解回归方程，代入方程即可预测，

(2)利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式得解.

【解答过程】(1)由题意，根据表格中的数据、可得：

元=：(1+2+3+4+5)=3,y=*(2.8+3.4+3.6+4.4+4.8)=3.8,

X：苫=55,%1爸%=62,可得5=喜?著=磊箸=1=0.5.

所以6=y-5%=3.8-0.5X3=2.3,

故x的线性回归方程9=0.5x+2.3,

令x=6,得夕=0.5x6+2.3=5.3,故2025年该车间年利润约为5.3百万元.

（2）随机变量X的可能值为1,2,3,

可得P(X=1)=等=gp(x=2)=萼=gP(X=3)=3

%3L6bL6

所以X的分布列为:

X123

131

p

555

所以期望为：EW=lxi+2x1+3xl=2.

19.（17分）（2025•陕西商洛•模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重

要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高.为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某

品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车