2026高考数学高频考点对点练：三角函数公式及其运用

三角函数公式及其运用

一、单选题

1.已知cos。=5则tan(a+"=()

cosa-sinaI47

A.26+1B.2x/3-lC.3D.1-73

2

【答案】B

CCACl

【解析】先将一巴二一弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

因为—cosJ=6,

cosa-sina

所以-------=G,=>tana=1--,

1-tana3

山八।♦(兀、tana+1_rz.

所以lana+:=----------=2j3-l,

\471-tana

故选：B.

,乃)2

2.若tana+£=—,则sin2a=()

4J3

5「5-12n12

A.----B.——C.------D.—

13131313

【答案】A

【解析1由已知利用两角和的正切公式求得tana,再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解.

7T

tana+tan—,..

•・/兀'n

.tan(a--)=---------------4-=-ta-n--a---+--1-=2-,解得tanct=--1

41-tanatan^[~Vdna35

4

2sinacosa2tana

sin2a=2sinacosa=

siirof+cos2atan2«+I

故选:A.

3.在平面直角坐标系xQv中，角。以。r为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（）

A.sin(兀+。)B.cos(jr-a)C.sin2aD.cos2tz

【答案】C

【解析】先得到sina>0,cosa>0,利用诱导公式和倍角公式得到AB错误，C正确，举出反例得到D错误.

由题意得sina>0,cosa>。

A选项，sin（n+a）=-sina<0,A错误；

B选项，cos（兀-a）=-cosavO,B错误；

C选项，sin2cr=2sinacosa>0,C正确;

D选项‘cos2a=cos%-sin%,若。兰，此时cos2a=0,D错误.

故选：c

.,n.2n

4.tan—sin—+sin—=()

5510

A.3

B.1C

4-ID-i

【答案】B

兀.2兀712兀'

【解析】利用二倍角公式以及切化弦化简tan—sin一，再变形⑥哈=sin，利用诱导公式和二倍角公式化简

552"T>

即可.

It.2jtc7C7t«7Cc.2加

tan—sin—=2tan—cos—sin—=2sin—,

55555

.n.祥)2n

sin—=sin=cos一=l-2sin2-,

1055

T日it.2兀.7t,

是tan—sin—+sin——=1.

5510

故选：B.

5.若sin(e+(1

则cos0-^-=()

3I，/

B.-2N/2D・考

AC.

-I—

【答案】A

【解析1利用两角之间的关系并根据诱导公式进行计算即可.

/\/\t

717C7Tt7C1)I

,.,sinl6^+—|=cos-0+—=cos——0=cos0n——=-

21443

M司4

故选：A

6.设函数/(%)=〃(x+l)2-l,g(x)=ccsx+2axt当xe(T』)时,曲线＞=/(X)与丁二g(x)恰有一个交点，贝lja=()

A.-1B-IC.ID.2

【答案】D

【解析】解法一：令分析可知曲线＞，=厂(')与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对

称性可知该交点只能在y轴上，即可得。=2,并代入检验即可；解法二：令秋x)=/(x)-gWTl),可知〃(“为

偶函数，根据偶函数的对称性可知力(力的零点只能为0,即可得。=2,并代入检验即可.

解法一：令/(#=8(彳)，即。。+1)2-1=34+2办，可得0¥2+4_[=8$_¥,

令F(x)=ttr2+«-l,G(x)=cosx,

原题意等价于当XG(-1,1)时，曲线y=尸")与)，=G(x)恰有一个交点,

注意到尸(X),G(K)均为偶函数，可知该交点只能在)，轴匕

可得尸(0)=G(0),即。一1=1,解得a=2,

若4=2,令E(x)=G(x),可得2X2+"COSX=0

因为xw(—l,l),则2/20,l-cosx20,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2/+l-8SX20,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2/+1—cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线V=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,

所以。=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x)=o¥2+4-l-cosx,xe(-l,l),

原题意等价于〃(“有且仅有一个零点，

因为〃(T)=〃(r)2+^-l-cos(-x)=ar2+67-l-cosx=/?(x),

则〃(工)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知〃(力的零点只能为0,

即可。)=〃-2=0,解得a=2,

若以=2,贝ij〃(x)=2f+1—cosx,xe(—1,1),

又因为2/之o,l-cosxNO当且仅当x=0时，等号成立，

可得MM20,当且仅当x=0时，等号成立，

即〃有且仅有一个零点0,所以〃=2符合题意；

故选:D

7.已知函数/(*)=cos(2x।0),若/(玉)=/仁)=3,贝”外引的最小值为()

71c乃八兀c兀

A.-B.—C.—D.一

6432

【答案】C

【解析】由〃x)=＜，可得x=/eZ,结合周期分析可求得最小值.

2o2

1jr

由f(^)-cos(2x+,可得2X+R=2E±—,keZ,

23

解得x=K±巴—”/€Z,

62

又函数/(x)=cos(2x+°)的最小正周期为苗=兀，

故禺-回取的最小值时，不再在同一个周期内，

当司=二，x2=-^,/CGZ,此时-占|==,

663

当X=*，占二卷时,|'一引=?，

oo3

所以|x,-x2|的最小值为5.

故选：C.

8.设函数.f(x)=sin5®>0).已知/(与)=-1,/(x,)=l,且|%-七|的最小值为则刃=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.

由题意可知：4为/(工)的最小值点，&为/(”的最大值点，

则N72L=5=5'即7=兀，

且出>0,所以3=半=2.

故选:B.

二、多选题

9.已知复数(y=cosl20o+isinl20。(i是虚数单位)，则()

A.同=1B.(,)I2=(0C.苏+<w+l=0D.———1

(O'(!)

【答案】ABC

【解析】先化简求出。=-1+且i，再利用复数的模、共规复数以及四则运算对各个选项验证即可得出结论.

22

因为cosl200=-』,sinl200=立，所以0=cosl2()o+isinl2Oo=-」+^i,

2222

|(o|=jg=亚=I»故选项A正确；

仪-9孚)=3孚'而修岩"与苏相等，故选项B正确:

+。+『"封£」+当+川

co2故选项C正确;

2222

I_]_2_2(_1+后)___[+西

-1--\/3i-1—\/3i(-11+\/^i)22

2

1_I_I22J173.

石二中，」+西心一乌厂2F

22(22人22)

所以当卜鸟-川j故选项D错误.

故选：ABC

10.已知tan^=g,贝I」()

B.tan«=—

4

C.sin2a=—D.l+coscr=2sincr

25

【答案】ACD

【解析】根据两角和的正切公式即可判断选项A；根据二倍角的正切公式即可判断选项B；根据二倍角的正弦公式,

进行弦化切，结合选项B即可判断选项C；根据二倍角的正弦公式、余弦公式及商数关系即可判断选项D.

,a

/\1+tan—

Vtan|=---------2=3,.,.选项A正确；

12"i-tan-

2

2tan—n44

Vtancr=----------=—,/.选项B不正确;

1-tan2-3

2

2sinacosa2tancr24

*.*sin2a=2sinacosa=而GT币赤'选项c正确,

r.aa

2sin—cos—.

s】na92al、“々八

----------=---------------=can—=-,；•选项D正确.

,+cosa28s2q22

2

故选：ACD.

II.已知sintzcos/?=-,则以下等式可能成立的有（）

乙

A.cosasinB=—

2

・c2

B.coscrsinp=--

C1

C.cos2a=—

3

c2

D.cos2a=—

3

【答案】AC

【解析】根据特殊值判断A,根据两角差的正弦公式判断B,利用二倍角的余弦公式判断CD.

当々=//='时，满足sinacos〃=；,此时cosasinQ=；,故A正确;

422

2]27

若cosasinp=—,则sin(a-/?)=sinacos/?-cosasinp=—+—=—>故B错误;

3236

因为sinacos/?=一,所以而上永

所以cos2a=l-2sin%w,故C正确，D错误.

故选：AC

三、填空题

12.若0€（O,]）,tan.二;，则sin6-cose=.

【答案】一走

5

【解析】根据同角三角关系求sin。，进而可得结果.

/JI、

因为，e0,—,贝iJsin0>O,cos〃>O,

<2,

又因为ian®=啊g,贝l]cosO=2sin。，

cos。2

且cos?夕+sin?O=4sin29+siif0=5sin，0=1,解得sinO=且或sin0=-立（舍去）,

55

所以sin8—cos夕=sin。-2sin，=一sin夕=

5

故答案为：一正.

5

13.已知tan。+—-—=3,则sin2，=__.

tan6?

【答案】|2

【解析】先根据切化弦将已知条件进行转化，再利用三角函数的平方关系求出sinOcosO的值，最后通过二倍角公式计

算.

sin。r/曰1COS。

根据题意，tanO='可得高方=而方

cos。

将其代入lan夕+---^=3中，得到----+^—=3.

tan0cos0sin0

进行通分，即sE-0+cos20=3.则—1—=3,所以cosesine=2.

cosOsin0cosOsin。3

2

则sin2e=2singcos0=(.

2

故答案为：j

14.若COS(Q+A)=W，tandztan/?=2,贝i]cos(2a-2£)=.

【答案】1/0.125

o

【解析】利用两角和的余弦公式和正切定义解得cosacos〃=-；,sinasin/?=-l,再利用两角差的余弦公式和二倍

角的余弦公式即可得到答案.

根据题意，因为cos(a+S)=:,tanalan夕=2,

sinsinQ

所以cosacos/y-sinasin/?=-,tanatan/7=------------=2,

4cosacosp

计算可得cosacos〃=一w,sin«sinp=-^,

一3

y,cos(«-/?)=cosacos/?+sin«sinft=一j,

(3\2i

cos(2cr-2/7)=2cos2(cr-/7)-l=2x1-1=—.

故答案为：

o

15.已知cos(a-/7)=—,s